2021-2022学年江西省上饶市乐亭中学高二数学理期末试题含解析

2021-2022学年江西省上饶市乐亭中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}为等比数列，且a4?a6=2a5，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b5=2a5，则S9=(

)A．36 B．32 C．24 D．22参考答案：A【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可知，，结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式S9==9b5可求【解答】解：由等比数列的性质可知，∴∴a5=2∴b5=2a5=4则S9==9b5=36故选A【点评】本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题2.如右图，在正方体-中，为的中点，则与所在直线所成角的余弦值等于

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略3.甲、乙两工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20则有结论（）A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些

B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好

D．无法判断谁的质量好一些参考答案：B略4.在下图中，直到型循环结构为

（ ）参考答案：A5.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为

(

)A.0.28J

B.0.12J

C.0.26J

D.0.18J参考答案：D6.将的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O：x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则+的值为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率结合隐含条件求得，设A（xA，yA），B（xB，yB），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B是xP?x+yP?y=b2和圆x2+y2=b2的交点，求出点M（，0），N（0，），从而得到==（）?=，答案可求．【解答】解：，∴，得．设A（xA，yA），B（xB，yB），则切线PA、PB的方程分别为xA?x+yA?y=b2，xB?x+yB?y=b2．由于点P是切线PA、PB的交点，∴点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PB的方程．∴A，B是xP?x+yP?y=b2和圆x2+y2=b2的交点，故点M（，0），N（0，）．又，∴==（）?==．故选：D．8.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x2＜0参考答案：A【考点】命题的否定；全称命题．【分析】根据全称命题“?x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“?x0∈M，￢p（x）”即可得出．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“?x0∈R，使得”．故选A．9.若，，则下列命题中成立的是

(

)

A．

B

C．

D．参考答案：C略10.已知直角三角形的两直角边长的和为4，则此直角三角形的面积满足(

) A．最大值2 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值4参考答案：A考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设直角三角形的两直角边长为a，b，则a+b=4，运用基本不等式可得三角形的面积的最大值．解答： 解：设直角三角形的两直角边长为a，b，则a+b=4，直角三角形的面积S=ab≤?（）2=?4=2，当且仅当a=b=2，取得最大值，且为2．故选：A．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查直角三角形的面积公式及最值的求法，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在一万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，那么钻到石油层的概率是

。参考答案：12.如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=__________；f（n）=__________．（答案用数字或n的解析式表示）参考答案：考点：进行简单的合情推理．专题：规律型．分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．考点：进行简单的合情推理．专题：规律型．分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．点评：一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式，结合合情推理出现一题多空，较好地再现了推理的过程．三空的问题环环相扣，难易程度十分合理，前两空简单易求，第三空难度有所增加，需要学生具备较高层次的数学思维能力．本题以组合计算为工具，考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力．13.已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是__.参考答案：略14.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数k的取值范围是______________.参考答案：略15.在如图所示的数阵中，第行从左到右第3个数是

参考答案：略16.三棱锥中，，，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为________.参考答案：如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

17.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，则其表面积等于__________．参考答案：由题意知三棱柱的底面是一个边长为的正三角形，侧棱长是，且侧棱与底面垂直，∴三棱柱的表面积是：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分8分）．设复数满足,且是纯虚数,求．参考答案：解：设，由得；………1分是纯虚数，则,…2分，……5分．…………………8分

略19.（本小题满分12分）已知定点F(2,0)和定直线，动圆P过定点F与定直线相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程.（2）若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程参考答案：解：（1）由题意知，P到F的距离等于P到的距离，所以P的轨迹C是以F为焦点，为准线的抛物线，它的方程为

5分（2设则

由AB为圆M的直径知，故直线的斜率为直线AB的方程为即

12分

略20.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

参考答案：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.(2)向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设，0≤λ≤1.方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.(2)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F-AB-P的平面角．21.（本题10分）如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点,且.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.参考答案：(1)设M的坐标为,P的坐标为,由已知得，∵P在圆上,，即C的方程为.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为,设直线与曲线C的交点为A,B将直线方程代入C的方程,得，即，得，∴线段AB的长度为.22. 已知函数，。 （1）求函数的解析式； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）设，，且，求证：