数学学案（新教材人教A版）第八章810圆锥曲线中求值与证明问题

圆锥曲线中求值与证明问题题型一求值问题例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝2eq\r(2)，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]思维升华求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，焦距与长轴之比为eq\f(\r(2),2)，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．(1)求椭圆C的方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(BM,\s\up6(→))，求△PMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二证明问题例2(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程；(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．跟踪训练2(2022·宁德模拟)若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))，C(0,1)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))四点中恰有三点在椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆T的方程；(2)动直线y＝eq\f(\r(2),2)x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________