河北省邯郸市武安第四中学高二数学理期末试卷含解析

河北省邯郸市武安第四中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.使不等式2x﹣4＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞2 B．x＞3 C．x＞1 D．x∈{1，2}参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出不等式，结合集合的包含关系求出充分必要条件即可．【解答】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，不等式成立的一个充分不必要条是：x＞3，故选：B．2.设展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中项的系数为

(

)

A.250B.–250C.150D.–150

参考答案：B略3.设直线l交于抛物线C：相交于A，B两点，与圆C1：相切于点M，且M为线段AB的中点。若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围为(

)（A）(1,3)

（B）(2,4)

（C）(2,5)

（D）(2,6)参考答案：D4.已知命题，则（

） A． B．C．

D．参考答案：A5.已知a，b∈R＋，直线ax＋by＝6平分圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0的周长，则的最大值为()A．6B．4C．3D.参考答案：C6.下列各组函数的图象相同的是（

）A、

B、C、

D、

参考答案：D7.命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选D．8.命题“?∈R，x2≥0”的否定是（）A．?x?R，x2≥0 B．?x?R，x2＜0 C．?x∈R，x2≥0 D．?x∈R，x2＜0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“?∈R，x2≥0”的否定是?x∈R，x2＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．9.记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（） A． B． C． D． 参考答案：A【考点】进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型． 【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】因为=（a1×103+a2×102+a3×10+a4）， 括号内表示的10进制数，其最大值为9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987 所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 则第2013个数是 故选A． 【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可． 10.已知函数为R内的奇函数，且当时，，记，则a，b，c间的大小关系是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，，所以在内单调递减又，故，选D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值为_________。参考答案：12.已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用解直角三角形求出|BF|，再利用椭圆的对称性质能求出椭圆的离心率．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，∴|BF|2=|AB|2﹣|AF|2=100﹣36=64，∴|BF|=8，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=|AF|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6=14，2c=10，解得a=7，c=5，∴e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的合理运用．13.圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．参考答案：2﹣3【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项

④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是（填序号）．参考答案：①②④【考点】等差数列的性质．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④【点评】本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．15.命题?x∈R，|x|＜0的否定是．参考答案：?x0∈R，|x0|≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：?x0∈R，|x0|≥0．故答案为：?x0∈R，|x0|≥0．16.若三棱锥P-ABC的侧棱长都相等，则点P在底面的射影O是△ABC的_________心参考答案：外17.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.过抛物线

=的焦点作直线与抛物线交于M和N两点，求弦MN的中点P的轨迹方程。参考答案：解析：＝4，焦点F（0，1），可设直线方程为代入抛物线方程整理得－4－4＝0，设M（，），N（，）,P()，则，＝＋1＝2＋1，联立取消得中点P的轨迹方程为＝2－219.（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线y=g(x)﹣是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，当a＜﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．20.（本小题满分12分）已知，证明：.参考答案：证明：因为，要证，

只需证明.

….4分即证.……7分

即证，即.

由已知，显然成立.

………..10分

故成立.

….12分（其它证法参照赋分）略21.

数列{}的前n项和为Sn，满足2Sn=2+n，>0(