高中数学人教B版正弦函数的性质与图像

正弦函数的性质与图像

高一年级数学研究函数的一般方法图像数形结合性质（定义域、奇偶性、周期性、单调性、值域、零点等）性质情境与问题到地面的高m转轮半径m以为终边的角为rad点离地面的高度为m情境与问题问题：你能写出关于的表达式吗？当角的终边在第一、二象限或纵轴正半轴上时，情境与问题问题：你能写出关于的表达式吗？当角的终边在第三、四象限或纵轴负半轴上时，情境与问题问题：你能写出关于的表达式吗？当角的终边在横轴上时，情境与问题对于任意一个角，都有唯一确定的正弦与之对应，因此是一个函数，一般称为正弦函数.问题：

是的函数吗？这个函数有什么性质呢？正弦函数的性质问题:借助单位圆，你能得到正弦函数具有哪些性质呢？终边与单位圆交点的纵坐标角正弦函数的性质1.定义域正角零角负角转角实数定义域为

正弦函数的性质1.定义域对任意的角来说，设是终边上异于原点的任意一点，，定义域为

正弦

角的终边位置

正弦函数的性质2.奇偶性一般地，函数的定义域为，

，都有，

奇函数

偶函数正弦函数的性质2.奇偶性问题：角和

的终边与单位圆

交点纵坐标的关系?与的终边的关系?关于轴对称纵坐标互为相反数正弦函数的性质2.奇偶性

交点纵坐标相反数交点纵坐标正弦函数的性质2.奇偶性

交点纵坐标相反数交点纵坐标诱导公式

正弦函数是奇函数，图像关于原点中心对称正弦函数的性质3.对称性

问题：正弦函数还有其它的对称中心吗？正弦函数的图像问题：你能用所学知识严格证明正弦曲线关于中心对称吗？正弦函数的图像问题：你能用所学知识严格证明正弦曲线关于中心对称吗？正弦函数的性质3.对称性问题：正弦函数还有其它的对称性吗？正弦函数关于直线对称正弦函数的性质3.对称性正弦函数关于直线对称正弦函数的性质问题：从交点纵坐标的变化，你能观察出正弦函数是否具有周期性呢？4.周期性正弦函数的性质终边旋转整数圈4.周期性交点纵坐标重复出现终边相同的角正弦值正弦函数的性质4.周期性问题：正弦函数的周期是多少呢？是周期吗？正弦函数的性质4.周期性问题：正弦函数的周期是多少呢？正弦函数的性质4.周期性问题：正弦函数的周期是多少呢？不是周期正弦函数的性质4.周期性周期：最小正周期：正弦函数的性质4.周期性问题：你能抽象出一般函数周期性的定义吗？1.定义域中的每一个自变量2.自变量增加或减少同一个非零常数时，函数值总是相等的。正弦函数的性质4.周期性问题：你能抽象出一般函数周期性的定义吗？1.定义域中的每一个自变量2.自变量增加或减少同一个非零常数时，函数值总是相等的。正弦函数的性质一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个，都满足那么就称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的周期.正弦函数的性质函数的性质单调性奇偶性周期性正弦函数的性质问题：从交点纵坐标的变化，你能得到正弦函数的单调性吗？5.单调性周期性正弦函数的性质5.单调性正弦函数的性质5.单调性正弦函数的性质单调递增区间

单调递减区间5.单调性正弦函数的性质6.值域(最值)值域为正弦函数的性质

角的终边落在轴上6.零点正弦函数的性质单位圆角终边与单位圆交点的纵坐标直观化解释模型正弦函数数形结合正弦函数的图像问题：正弦函数的性质对作出正弦函数的图像有什么帮助呢？列表描点周期性长度为的闭区间奇偶性关于原点对称对称性关于对称正弦函数的图像问题：正弦函数在闭区间递增，图像的大致形状是怎样的呢？是一条直线？是增加的越来越快？还是越来越慢呢？正弦函数的图像角的变化量函数值变化量交点纵坐标的变化量正弦函数的图像列表正弦函数的图像描点连线正弦函数的图像正弦函数的图像正弦函数的图像正弦函数的图像正弦函数的图像正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值有什么特征呢？正弦函数的图像问题：观察正弦函数的图像，你能说出在确定

的图像形状时，哪些点起着关键作用？为什么？

开口，对称轴顶点，交点单调性、渐近线、与轴的交点性质图像形状特征示意图正弦函数的图像五点作图法波峰波谷的平缓过渡对称中心左右曲线凹凸正弦函数的性质与图像数缺形时少直观，形缺数时难入微五点作图数形结合借助单位圆分析性质借助性质利用单位圆研究图像根据图像进一步理解性质例:不求值，比较和的大小.单位圆正弦函数的单调性分析：求函数最值的本质是什么呢？

值域

函数的单调性

这类函数的最值问题如何处理呢？

换元法

例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时

的值.解：函数与同时取得最值，所以例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时

的值.解：令，则例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时

的值.解：根据二次函数闭区间上的单调性，可得

即此时例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时

的值.解：根据二次函数闭区间上的单调性，可得

即

或，此时例:求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时

的值.例:用五点法作函数的图像.解：找关键的五个点，列表如下例:用五点法作函数的图像.解：描点作图位置关系？向上平移1个单位小结正弦函数单位圆抽象函数图像直观数形核心任务：利用单位圆研究正弦函数的性质与图像同角三角函数基本关系式诱导公式变量间的变化过程变化趋势作业1.不求值，比较和

的大小.作业2.求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和