2023届广东省惠东县惠东中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则（）A． B． C． D．2．设函数可导，则等于（）A．B．C．D．3．给定下列两种说法：①已知，命题“若，则”的否命题是“若，则”，②“，使”的否定是“，使”，则（）A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确4．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数（）A． B． C． D．5．设随机变量服从正态分布,若,则

=A． B． C． D．6．已知点与抛物线的焦点的距离是，则的值是（）A． B． C． D．7．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是()A． B． C． D．8．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．若，，0，1，2，3，…，6，则的值为()A． B． C．1 D．210．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．11．已知函数，且，则=（）A． B．2 C．1 D．012．已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程是（）A． B．或C． D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为________.14．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____15．已知实数满足则的最大值为__________．16．方程的正整数解的个数__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为．（1）求的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．18．（12分）已知函数(是自然对数的底数).(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；(2)当时，记，其中为的导函数.证明：对任意，.19．（12分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．20．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从采访的女性用户中按分层抽样的方法选出10人，再从中随机抽取3人赠送礼品，求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：P（）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式：，其中.21．（12分）设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，求实数的取值范围.22．（10分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】,，故选B.2、C【解析】，故选C.3、D【解析】

根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假.【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故①正确；②中，特称命题的否定是全称命题，所以②正确，综上知，①和②都正确.故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.4、B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案.详解：，.故选：B.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.5、B【解析】分析：根据正态分布图像可知，故它们中点即为对称轴.详解：由题可得：，故对称轴为故选B.点睛：考查正态分布的基本量和图像性质，属于基础题.6、B【解析】

利用抛物线的焦点坐标和两点间的距离公式，求解即可得出的值.【详解】由题意可得抛物线的焦点为，因为点到抛物线的焦点的距离是5.所以解得.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，还结合两点间距离公式求解.7、C【解析】共6种情况8、A【解析】

由已知可得对任意的恒成立，设则当时在上恒成立，在上单调递增，又在上不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上单调递增，在上单调递减，又，故选A.9、C【解析】

根据题意，采用赋值法，令得，再将原式化为根据二项式定理的相关运算，求得，从而求解出正确答案．【详解】在中，令得，由，可得，故．故答案选C．【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力．10、C【解析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.11、D【解析】

求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．【详解】因为，所以，解得，故选D．【点睛】本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．12、B【解析】

根据题意，有，根据斜率公式求出的值，进而联立组成方程组求出，的值，将其代入双曲线的标准方程即可得出结果.【详解】解：根据题意双曲线的焦距为，则双曲线的一个焦点为，则①，双曲线的两条渐近线的夹角为，一条渐近线的斜率为或则或②，联立①、②可得或.则双曲线的标准方程是或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由二项式定理及展开式通项得：，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，得解．【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为，又展开式的常数项的值不大于15，则，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．14、-1【解析】

计算的值，找出周期，根据余数得到答案.【详解】依次计算得：….周期为32019除以3余数为0，故答案为-1【点睛】本题考查了程序框图的相关知识，计算数据找到周期规律是解题的关键.15、3【解析】分析：画出不等式组对应的可行域，利用线性规划就可以求出的最大值．详解：可行域如图所示，由的，当东至县过时，，故填．点睛：一般地，二元不等式（或等式）条件下二元函数的最值问题可以用线性规划或基本不等式求最值．16、【解析】

本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【详解】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．

故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)见解析.【解析】

（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意可得，解得，又，所以椭圆方程为.（2）证明：设直线的方程为，，,由，消去，得则，且，故即直线，，的斜率依次成等比数列.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18、（1）；（2）见解析．【解析】

(1)求得，由，得，令，利用导数求得，进而求得参数的取值范围；(2)当时，得，令，利用导数求解函数的单调性和最值，得，进而证得结论．【详解】(1)由得，，由得.令，则令的，当时，，递减；当时，，递增.则的取值范围取值范围是.(2)当时，，令，所以令得.因此当时，，单调递增；当时，，单调递减..即又时，故)，则，即对任意，【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19、（1）X

0

1

2

3

1

P

（2）【解析】

试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的1人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有1人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20、（1）没有；（2）【解析】

（1）根据列联表及公式计算出，与比较大小即可得出答案；（2）分成抽样可得“微信控”有6人，“非微信控”有4人，由古典概型的概率公式可得所求概率.【详解】解：（1）由题意得由于，故没有的把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）在所选出的10人中“微信控”有6人，“非微信控”有4人.记事件A表示“抽取3人中恰有2人为“微信控”，则，所以，抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.【点睛】本题考查独立性检验统计案例，考查古典概型的概率，是基础题.21、【解析】试题分析：分别求出命题，成立的等价条件，利用且为假．确定实数的取值范围．试题解析：真时，合题意.时，．时，为真命题.真时：令，故在恒成立时，为真命题.为真时，.为假命题时，.考点：复合命题的真假.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）在内过点作