北师大版九年级数学上册《第一章总复习》练习题教学课件PPT初三公开课

第一章·特殊平行四边形数学·北师大版·九年级上册1菱形的性质与判定课时1菱形的性质1.[2021浙江宁波模拟]如图,若要使▱ABCD成为菱形,则需要添加的条件是(

)A.AB=BC

B.AD=ACC.AB=CD

D.AC=BD答案1.A

知识点1菱形的定义2.[2020湖北荆门中考]如图,菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为(

)A.20 B.30 C.40 D.50答案2.C

【解析】

∵E,F分别是AD,BD的中点,∴EF是△ABD的中位线,又∵EF=5,∴AB=10.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=10,∴菱形ABCD的周长为40.故选C.知识点2菱形的性质3.[2020甘肃武威中考]如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到60cm,菱形的边长AB=20cm,则∠DAB的度数是(

)A.90° B.100° C.120° D.150°答案3.C

【解析】

如图,连接AE.∵A,E间的距离调节到60cm,木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,∴AC=20cm.∵菱形ABCD的边长AB=20cm,∴AB=BC=20cm,∴AC=AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠DAB=120°.故选C.知识点2菱形的性质4.[2021山东枣庄峄城区期中]如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是BC,CD边上的点,以下不能判定△ABE≌△ADF的条件是(

)A.∠BAF=∠DAE

B.EC=FCC.AE=AF

D.BE=DF答案4.C

【解析】

∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.当∠BAF=∠DAE时,∠BAE=∠DAF,由“ASA”可判定△ABE≌△ADF,故选项A不符合题意;当EC=FC时,BE=DF,由“SAS”可判定△ABE≌△ADF,故选项B不符合题意;当AE=AF时,△ABE和△ADF的两边和其中一边的对角对应相等,不能判定两个三角形全等,故选项C符合题意;当BE=DF时,由“SAS”可判定△ABE≌△ADF,故选项D不符合题意.故选C.知识点2菱形的性质5.原创题如图,一块三角板放在一张菱形纸片上,三角板的斜边与菱形的一边平行,则∠1的度数是(

)A.75° B.60° C.50° D.45°答案

知识点2菱形的性质6.[2020江苏南京秦淮区期中]如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是

.

答案

知识点2菱形的性质

解答本题的关键是利用菱形的性质和勾股定理求出线段长,再根据象限定符号.名师点睛7.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E,则线段BE的长是

.

答案

知识点2菱形的性质

本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质,证得△ABD是等边三角形是解题的关键.名师点睛

答案8.45°

【解析】

设尺规作图所作直线与AB交于点F,由尺规作图可知,EF是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠A=∠EBA=30°.由菱形的性质可知AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°.知识点2菱形的性质9.[2021北京大学附中开学考试]如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是

.

答案

知识点2菱形的性质10.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连接DF.(1)求证:AF=DF.(2)若∠BAD=70°,求∠FDC的度数.答案10.【解析】

(1)连接BF.∵EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF,∴△DAF≌△BAF,∴DF=BF,∴AF=DF.(2)∵∠BAD=70°,∴∠DAF=35°,∠ADC=110°.∵AF=DF,∴∠ADF=∠DAF=35°,∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=75°.知识点2菱形的性质1.[2020广东珠海北大附属实验学校段考]如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF的度数是(

)

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°答案1.B

【解析】

连接AC,根据垂直平分线的性质和菱形的邻边相等,可得△ABC,△ACD都是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠BCD=120°.在四边形AECF中,由四边形的内角和为360°,可得∠EAF=360°-90°-90°-120°=60°.故选B.2.[2021安徽滁州五中月考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为(

)A.6

B.8

C.10

D.12答案

答案

答案

5.[2020山东泰安期末]如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在直线上的C'处,折痕为DE,则∠DEC=

°.

答案5.75

【解析】

如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD,∠ADC=120°,∠C=60°,△ABD是等边三角形.∵P为AB的中点,∴DP平分∠ADB,∴∠ADP=30°,∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=90°,由折叠的性质可知∠CDE=∠PDE,∴∠CDE=45°.在△DEC中,∠DEC=180°-∠C-∠CDE=75°.6.[2021陕西渭南月考]如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时从A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s.若经过ts时,△DEF为等边三角形,则t的值为

.

答案

7.如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.答案

答案

素养提升8.[2020河南平顶山一模]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC的延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.如图1,当点E是线段AC的中点时,易证BE=EF.(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,请你判断结论:BE=EF

.(填“成立”或“不成立”)

(2)如图3,当点E是线段AC的延长线上一点,其他条件不变时,结论BE=EF是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.答案8.【解析】

(1)成立过点E作EG∥BC交AB于点G,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°,答案又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形,∴AG=AE=GE,∴BG=EC.∵CF=AE,∴GE=CF,又∵∠BGE=∠ECF=120°,∴△BGE≌△ECF,∴BE=EF.(2)结论BE=EF成立.证明如下:过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵EG∥BC,∴∠AGE=∠ABC=60°,又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形,∴AG=AE=GE,∴BG=EC.∵CF=AE,∴GE=CF,又∵∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF,∴BE=EF.课时2菱形的判定1.易错题[2021陕西宝鸡渭滨区月考]下列条件中,能判定四边形为菱形的是(

)A.对角线相等的平行四边形B.对角线互相垂直且相等的四边形C.对角线互相平分且垂直的四边形D.对角线互相垂直的四边形答案1.C知识点1菱形的判定2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(

)A.AC⊥BD B.AB=BCC.AC=BD D.∠1=∠2答案2.C

【解析】

因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以A,B能判定▱ABCD是菱形;因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以∠1=∠ACB,当∠1=∠2时,可得∠2=∠ACB,所以AB=BC,所以▱ABCD是菱形,所以D能判定▱ABCD是菱形.故选C.知识点1菱形的判定3.[2021四川南充模拟]如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE=EC;②BF∥EC;③AB=AC.添加其中一个条件,能证明四边形BECF是菱形的是

.(只填写序号)

答案3.①③

【解析】

由点D是BC的中点及DE=DF可得,四边形BECF是平行四边形.①当BE=EC时,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形,可知①能证明四边形BECF是菱形;③由AB=AC,点D为BC的中点可得,AD⊥BC,由对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可知③能证明四边形BECF是菱形.故填①③.知识点1菱形的判定4.[2019甘肃兰州中考A卷]如图,AC=8,分别以点A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由;(2)求BD的长.答案

知识点1菱形的判定5.【问题原型】如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F,交BC于点E,交AC于点O.求证:四边形AECF是菱形.【小海的证明过程】证明:∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,OE=OF,EF⊥AC,∴四边形AECF是平行四边形.又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.【老师评析】小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形,再利用对角线互相垂直证明它是菱形,可惜有一步错了.【挑错改错】(1)请你帮小海找出错误的原因;(2)请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程.知识点1菱形的判定答案

知识点1菱形的判定6.[2020山东滨州中考]如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.答案

知识点1菱形的判定7.[2020河南省实验中学模拟]如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,当四边形EFGH满足条件

时,四边形EFGH是菱形.(写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)

答案7.HG=GF(答案不唯一)

【解析】

连接AC,BD,在四边形ABCD中,∵点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG∥AC∥EF,GF∥BD∥HE,∴四边形EFGH是平行四边形.要判定平行四边形EFGH是菱形,只需HG=GF(或FE=EH等),答案不唯一.知识点2与菱形的判定有关的开放探究8.原创题如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD边上的点,且∠ADE=∠CBF,连接BD,EF.补充一个条件,可使四边形EBFD是菱形,这个条件是

.(写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)

答案

知识点2与菱形的判定有关的开放探究1.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD.下列条件中,能够判定四边形ACED为菱形的是(

)A.AB=BC B.AC=BCC.∠ABC=60° D.∠ACB=60°答案1.B

【解析】

由平移的性质,得AC=DE,AD=BC=CE,当AC=BC时,有AC=AD=DE=CE,∴四边形ACED是菱形.故选B.2.原创题如图,BD,AC是▱ABCD的对角线,过点A作AE⊥AC,交CD的延长线于点E,则添加下列条件不能使▱ABCD成为菱形的是(

)A.CD=ED B.∠EAD=∠CADC.BD∥AE D.∠ADE=2∠CAD答案2.B

【解析】

当CD=ED时,∵△AEC是直角三角形,∠CAE=90°,∴AD=CD,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是菱形,故选项A不符合题意;当BD∥AE时,由AE⊥AC得AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,故选项C不符合题意;当∠ADE=2∠CAD时,∵∠ADE=∠DAC+∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴▱ABCD是菱形,故选项D不符合题意.故选B.3.[2021广东广州越秀区期中]如图,已知四边形ABCD的四条边都相等,等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC,CD上,且AE=AB,则∠C=(

)A.100° B.105° C.110° D.120°答案3.A

【解析】

∵四边形ABCD的四条边都相等,∴四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,∠BAD=∠C,AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°.∵△AEF是等边三角形,AE=AB,∴∠EAF=60°,∠B=∠AEB,AF=AD,∴∠D=∠AFD,∴∠BAE=∠FAD.设∠BAE=∠FAD=x,则∠D=∠AFD=180°-60°-2x,∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°,∴x+2(180°-60°-2x)=180°,解得x=20°,∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°.故选A.4.如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD.若从三个条件①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是

.(填序号)

答案4.②

【解析】

当AB=BC时,∠BAC=∠ACB.∵AE∥CD,CE∥AD,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴四边形ADCE是菱形.5.已知四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足条件a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da,则此四边形一定是

.

答案5.菱形

【解析】

∵a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da,∴2(a2+b2+c2+d2)-2ab-2bc-2cd-2da=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2=0,由平方的非负性,可知a-b=0,b-c=0,c-d=0,d-a=0,∴a=b=c=d,∴此四边形一定是菱形.6.[2020辽宁辽阳期末]如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD.(1)求∠AOD的度数.(2)求证:四边形ABCD是菱形.答案

7.[2021江苏盐城模拟]如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP,BQ,PQ.(1)求证:△APD≌△BQC.(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.答案

答案(2)∵△APD≌△BQC,∴AP=BQ,∠APD=∠BQC,又∵∠ABP+∠BQC=180°,∴∠ABP+∠APD=180°.∵∠APB+∠APD=180°,∴∠ABP=∠APB,∴AB=AP.∵CQ∥DB,CQ=DP,∴四边形CDPQ是平行四边形,∴CD=PQ.在平行四边形ABCD中,AB=CD,∴AB=AP=PQ=BQ,∴四边形ABQP为菱形.素养提升8.[2020河南郑州外国语中学月考]如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,点P是底边BC上的一个动点,PD∥AC,PE∥AB.(1)用a表示四边形ADPE的周长为

.

(2)点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形?请说明理由.(3)如果△ABC不是等腰三角形,如图2,其他条件不变,点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形?(不必说明理由)答案8.【解析】

(1)2a∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE为平行四边形,∴AD=PE,DP=AE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DP∥AC,∴∠DPB=∠C,∴∠B=∠DPB,∴BD=DP,∴四边形ADPE的周长为2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a.(2)当点P运动到BC的中点时,四边形ADPE是菱形.理由如下:如图1,连接AP.∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE为平行四边形.∵AB=AC,P为BC的中点,∴∠PAD=∠PAE.∵PE∥AB,∴∠PAD=∠APE,∴∠PAE=∠APE,∴EA=EP,∴四边形ADPE是菱形.(3)点P运动到∠BAC的平分线上时,四边形ADPE是菱形.如图2,连接AP.∵PD∥AC,PE∥AB,∴四边形ADPE是平行四边形.∵AP平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵AB∥EP,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AE=EP,∴四边形ADPE是菱形.课时3菱形的性质与判定的综合应用

答案

知识点1菱形的面积

答案

知识点1菱形的面积3.[2021河南郑州金水区月考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,EF为过点O的一条直线,则图中阴影部分的面积为

.

答案

知识点1菱形的面积4.[2021辽宁营口期中]如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为

cm2.

答案

知识点2菱形的性质与判定的综合应用5.[2020湖南郴州中考]如图,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求证:四边形BEDF是菱形.答案5.【解析】

连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,又∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形.知识点2菱形的性质与判定的综合应用1.[2020山东济宁二模]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,连接BE交AC于点F,连接DF.(1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.答案

答案

2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外),过点P作EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连接ME.(1)求证:四边形AEPM为菱形.(2)当点P在何处时,菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半?请说明理由.答案2.【解析】

(1)∵EF∥AB,PM∥AC,∴四边形AEPM为平行四边形.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∵EP∥AB,∴∠BAD=∠EPA,∴∠CAD=∠EPA,∴EA=EP,∴四边形AEPM为菱形.答案

“角平分线+平行+等腰三角形”模型如图,给出以下三个关系:①∠1=∠2;②AD∥BC;③AB=AD(AB,AD为等腰三角形ABD的两腰).从上述三个关系中选择两个作为条件,则另一个可以作为结论.此模型在几何推理证明中应用广泛.归纳总结2矩形的性质与判定课时1矩形的性质1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是(

)A.AB∥CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°答案1.D

【解析】

因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形.根据矩形的定义知添加D项后四边形ABCD是矩形.故选D.知识点1矩形的定义2.[2020江苏无锡滨湖区期中]矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

)A.对边平行且相等

B.对角线相等C.对角线互相平分

D.对角相等答案2.B知识点2矩形的性质3.[2020贵州毕节中考]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF.若AB=6cm,BC=8cm,则EF的长是(

)A.2.2cm B.2.3cmC.2.4cm D.2.5cm答案

知识点2矩形的性质4.[2020江苏连云港中考]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB等于(

)A.66° B.60° C.57° D.48°答案

知识点2矩形的性质5.[2020青海中考]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3cm,则AC的长为

cm.

答案

知识点2矩形的性质6.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为

.

答案

知识点2矩形的性质7.[2020重庆涪陵十九中月考]如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.(1)求证:DF=AB.(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长.答案

知识点2矩形的性质

答案

知识点3直角三角形斜边上的中线的性质9.[2020湖南岳阳中考]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD=

°.

答案9.70

【解析】

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,∴∠B=70°.∵CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD,∴∠BCD=∠B=70°.知识点3直角三角形斜边上的中线的性质10.[2021四川成都郫都区月考]如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E,F分别是BD,AC的中点.(1)请你猜想EF与AC的位置关系,并给予证明;(2)当AC=8,BD=10时,求EF的长.答案

知识点3直角三角形斜边上的中线的性质

答案

答案

答案

4.[2020北京大兴区期末]如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE的度数为

.

答案4.22.5°

【解析】

∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠EAC=2∠CAD,∴∠EAD=3∠ODA.在Rt△ADE中,∠EAD+∠ODA=90°,∴∠ODA=22.5°,∴∠BAE=90°-∠EAD=90°-3∠ODA=22.5°.5.[2019浙江宁波中考]如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE.(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.答案5.【解析】

(1)在矩形EFGH中,EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH,∴BG=DE.(2)如图,连接EG.在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG,∴四边形ABGE为平行四边形,∴AB=EG.在矩形EFGH中,EG=FH=2,∴AB=2,∴菱形ABCD的周长为2×4=8.6.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AB'于点G,PH⊥DC于点H,试求PG+PH的值.答案

素养提升7.[2021河南郑州龙门实验学校月考]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图1所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)(1)请根据图1完成以上推论的证明过程.证明:∵S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(

+

),

易知S△ADC=S△ABC,

=

,

=

,

∴S矩形NFGD=S矩形EBMF.(2)如图2,点P是矩形ABCD的对角线BD上一点,过点P作EF∥BC分别交AB,CD于点E,F,连接PA,PC.若PE=5,DF=4,求图中阴影部分的面积.答案

课时2矩形的判定1.如图,给出下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④∠ADC=∠BAD.从中选取一个作为补充条件,能使▱ABCD为矩形的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案1.C

【解析】

①当AB=BC时,根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”,可以判定▱ABCD为菱形,但不能判定▱ABCD为矩形;②当∠ABC=90°时,根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”,可以判定▱ABCD为矩形;③当AC=BD时,根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可以判定▱ABCD为矩形;④当∠ADC=∠BAD时,可得∠ADC=∠BAD=90°,根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”,可以判定▱ABCD为矩形.故选C.知识点1矩形的判定2.如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直.其中蕴含的数学原理是

.

答案2.对角线相等的平行四边形是矩形知识点1矩形的判定3.[2021云南昆明官渡区期中]如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB=

°时,四边形ABFE为矩形.

答案3.60

【解析】

当∠ACB=60°时,∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=BC,又∵BC=CE,AC=CF,∴AF=BE,四边形ABFE是平行四边形,∴四边形ABFE是矩形.知识点1矩形的判定4.[2021广东茂名期中]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.答案4.【解析】

∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.知识点1矩形的判定5.如图,已知直线AB∥CD,EF分别交AB,CD于点M,N,射线MP,MQ,NP,NQ分别是∠AMN,∠BMN,∠MNC,∠MND的平分线,MP,NP相交于点P,MQ,NQ相交于点Q.求证:四边形MPNQ是矩形.答案

知识点1矩形的判定6.[2019江苏连云港中考]如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,其中点E在边BC上,DE与AC相交于点O.(1)求证:△OEC为等腰三角形.(2)连接AE,DC,AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形,并说明理由.答案6.【解析】

(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF,∴∠B=∠DEC,∴∠ACB=∠DEC,∴OE=OC,∴△OEC为等腰三角形.(2)当E为BC的中点时,四边形AECD是矩形.理由如下:∵AB=AC,E为BC的中点,∴AE⊥BC,BE=EC.知识点1矩形的判定∵△ABC平移得到△DEF,∴BE∥AD,BE=AD,∴AD∥EC,AD=EC,∴四边形AECD是平行四边形,又∵AE⊥BC,∴四边形AECD是矩形.7.如图,连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,还要添加

才能使四边形EFGH是矩形.(写出一个条件即可,图中不能再添加别的点或线)

答案7.AC⊥BD(答案不唯一)

【解析】

由E,F,G,H分别是AD,AB,BC,CD的中点,可得EF∥BD∥GH,FG∥AC∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形.当AC⊥BD时,EF⊥FG,所以∠EFG=90°,所以▱EFGH是矩形.知识点2与矩形的判定有关的开放探究1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E,F分别是AC,BC的中点,D是斜边AB上一点,则添加下列条件可以使四边形DECF是矩形的是(

)A.∠ACD=∠BCD B.AD=BDC.CD⊥AB

D.CD=AC答案1.B

【解析】

B项,∵E,F分别是AC,BC的中点,AD=BD,∴DE,DF是△ABC的中位线,∴ED∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是平行四边形,∵∠ACB=90°,∴平行四边形DECF是矩形.故选B.2.[2021湖北襄阳襄城区模拟]平行四边形的四个内角的平分线,如果能围成一个四边形,那么这个四边形一定是(

)A.矩形

B.菱形C.正方形

D.等腰梯形答案

3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是

.

答案

4.易错题[2020北京房山区期末]在四边形ABCD中,给出以下四个条件:①AB∥CD;②AD=BC;③AC=BD;④∠CDA=∠ABC.从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形,则可以选择的条件序号是

.

答案4.①③④或②③④

【解析】

选择①③④.如图,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵∠ABC=∠CDA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.选择②③④.∵AD=BC,AC=BD,DC=CD,∴△ADC≌△BCD,∴∠CDA=∠DCB.同理可证△ABC≌△BAD,∴∠ABC=∠BAD,又∵∠CDA=∠ABC,∴∠CDA=∠DCB=∠ABC=∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形.5.[2020北京海淀区期末]如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线.以A为圆心,BD长为半径作弧,再以D为圆心,AB长为半径作弧,两弧在直线AD的右侧交于点E.连接AE,CE.(1)依题意补全图形;(2)求证:四边形ADCE是矩形.答案5.【解析】

(1)依题意补全图形如图1所示.(2)解法一

如图2,连接DE.由题意可知AE=BD,DE=AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BC.∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD,∴AE=CD,又∵AE∥DC,∴四边形ADCE是平行四边形.∵AB=AC,∴DE=AC,∴四边形ADCE是矩形.答案解法二

四边形ADCE是平行四边形的证法同解法一.∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.6.[2020湖北鄂州中考]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M,N分别为OA,OC的中点,延长BM至点E,使EM=BM,连接DE,DN.(1)求证:△AMB≌△CND.(2)若BD=2AB,且AB=5,DN=4,求四边形DEMN的面积.答案6.【解析】

(1)∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,∴AO=CO,又∵点M,N分别为OA,OC的中点,∴AM=CN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAM=∠DCN,∴△AMB≌△CND(SAS).(2)∵△AMB≌△CND,∴BM=DN,∠ABM=∠CDN,又∵BM=EM,∴DN=EM.∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,答案

7.[2021广东梅州期末]如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为ts,0≤t≤5.(1)AE=

cm,EF=

cm.(用含t的式子表示)

(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.答案

答案

答案①当0≤t≤2.5时,EF=(5-2t)cm,即5-2t=4,解得t=0.5.②当2.5<t≤5时,EF=(2t-5)cm,即2t-5=4,解得t=4.5.∴当t=0.5或4.5时,四边形EGFH为矩形.素养提升8.[2020江苏南京秦淮区期中]如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,点Q以4cm/s的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D时,两点同时停止运动.这段时间内,当运动时间为

时,以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形.

答案8.2.4s,4s或7.2s

【解析】

根据题意可知,点Q将在BC上往返两次.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.当CQ=PD时,四边形PQCD是矩形.①在点Q第一次由点C到点B的运动过程中,设运动时间为t1s,则PA=t1cm,PD=(12-t1)cm,CQ=4t1

cm,∴12-t1=4t1,解得t1=2.4;②在点Q第一次由点B到点C的运动过程中,设运动时间为t2s,则PA=t2

cm,PD=(12-t2)cm,CQ=(24-4t2)cm,∴12-t2=24-4t2,解得t2=4;③在点Q第二次由点C到点B的运动过程中,设运动时间为t3

s,则PA=t3cm,PD=(12-t3)cm,CQ=(4t3-24)cm,∴12-t3=4t3-24,解得t3=7.2;④在点Q第二次由点B到点C的运动过程中,设运动时间为t4s,则PA=t4cm,PD=(12-t4)cm,CQ=(48-4t4)cm,∴12-t4=48-4t4,解得t4=12,此时点P与点D重合,点Q与点C重合,无法构成矩形.故运动时间为2.4s,4s或7.2s时,以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形.课时3矩形的性质与判定的综合应用

答案

答案

3.[2021江苏扬州月考]如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是

cm.

答案

4.如图,在平行四边形ABCD中,点M,N是AD边上的点,BM,CN交于点O,AN=DM,BM=CN.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形.(2)若∠BOC=90°,MN=1,AM·MD=12,求四边形ABCD的面积.答案

答案(2)∵△ABM≌△DCN,∴∠AMB=∠DNC,∵∠BOC=90°,∴∠AMB+∠DNC=180°-90°=90°,∴∠AMB=45°,又∵∠A=90°,∴∠ABM=∠AMB=45°,∴AB=AM.∵AM·MD=12,AN=DM,∴AM(AM-1)=12,∴AM=4,∴AB=AM=4,MD=3,∴AD=AM+MD=7,∴四边形ABCD的面积为AD×AB=7×4=28.5.[2021江苏南京浦口区模拟]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.(1)求证:四边形ADFE是矩形.(2)连接OF,若AD=6,EC=4,∠BAE=30°,求OF的长度.答案

答案

6.[2021贵州毕节期中]如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.(3)连接AE,AF.点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.答案

答案

3正方形的性质与判定课时1正方形的性质1.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是(

)A.AB=CD,∠A=90° B.AB=AD,∠A=90°C.AB∥CD,∠A=90° D.以上都对答案1.B

【解析】

正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.由此可知选B.知识点1正方形的定义2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(

)A.四边相等 B.对角线相等C.对角相等 D.对角线互相垂直答案2.B知识点2正方形的性质

答案

知识点2正方形的性质4.如图,在正方形ABCD中,点P在AC上,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,EF=3,则DP的长为(

)A.1.5

B.2

C.2.5

D.3答案4.D

【解析】

如图,连接PB,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAC=∠DAC=45°.∵AP=AP,∠BAP=∠DAP,AB=AD,∴△ABP≌△ADP(SAS),∴BP=DP.∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠ABC=90°,∴四边形BFPE是矩形,∴EF=PB,∴DP=EF=3.故选D.知识点2正方形的性质

答案5.D

【解析】

∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∠A=90°,∴∠EFD=∠BEF=60°.∵将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E,∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°,∴B'E=2AE.设BE=x,则B'E=x,AE=3-x,∴2(3-x)=x,解得x=2,∴BE=2.故选D.知识点2正方形的性质6.[2020江苏镇江中考]如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为

°.

答案6.135

【解析】

∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=∠BAC=45°,∴∠2+∠BCP=45°,又∵∠1=∠2,∴∠1+∠BCP=45°,∴∠BPC=180°-(∠1+∠BCP)=135°.知识点2正方形的性质7.[2020甘肃金昌中考]如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.(1)求证:△AEM≌△ANM.(2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.答案7.【解析】

(1)由旋转的性质得△ADN≌△ABE,∴∠DAN=∠BAE,AE=AN.∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°,∴∠MAE=∠MAN,又∵MA=MA,AE=AN,∴△AEM≌△ANM.(2)设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2.∵△AEM≌△ANM,∴MN=EM=BM+BE,知识点2正方形的性质答案又∵BE=DN,∴MN=BM+DN=5.∵∠C=90°,∴MN2=CM2+CN2,即25=(x-3)2+(x-2)2,解得x1=6,x2=-1(舍去).故正方形ABCD的边长为6.知识点2正方形的性质8.[2021广东深圳龙岗区期中]如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.(1)求证:AG=DE.(2)连接BF,求证:AB=FB.答案8.【解析】

(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,又∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°,∠CDE+∠ADF=90°,∴∠DAG=∠CDE,∴△ADG≌△DCE(ASA),∴AG=DE.知识点2正方形的性质答案

知识点2正方形的性质9.[2021山东枣庄峄城区期中]如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为(

)A.5 B.6 C.7 D.8答案

知识点3与正方形有关的动态探究10.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合,A'B'交BC于点E,A'D'交CD于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若正方形ABCD的边长为1,求两个正方形重叠部分的面积.(3)在(2)的条件下,若正方形A'B'C'D'绕着点O旋转,EF的长度何时最小?最小值是多少?答案

知识点3与正方形有关的动态探究答案

知识点3与正方形有关的动态探究

答案

答案

3.[2020江苏南通崇川区一模]如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(

)A.1 B.1.5 C.2 D.2.5答案3.C

【解析】

连接AE.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°.∵△ABG沿AG对折至△AFG,G是BC的中点,∴AB=AF,GB=GF=3,∠B=∠AFG=90°,∴∠AFE=∠D=90°,AF=AD,又∵AE=AE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.在Rt△CGE中,由勾股定理得CG2+CE2=GE2,∴32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2.故选C.

归纳总结利用正方形的性质求解线段的长的思路

利用正方形的性质求解线段长度时,通常将涉及的线段转化到直角三角形(特别是等腰直角三角形)中,结合勾股定理或三角形全等求解.

答案

5.易错题

若以正方形ABCD的边CD为边作等边三角形CDE,则∠AED的度数是

.

答案

6.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,分别过点A,C作l的垂线,垂足分别为E,F.若AE=1,CF=3,则AB的长度为

.

答案

7.如图,正方形ABCD中,AB=4cm,点E,F分别在边AD和边BC上,且BF=ED=3cm,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P沿A→F→B方向运动,点Q沿C→D→E→C方向运动,点P,Q的运动速度分别为1cm/s,3cm/s.设运动时间为t(0<t<8)s,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=

.

答案7.3或6

【解析】

∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,AD∥BC,∵BF=ED,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF∥EC,AF=EC.在Rt△ABF中,AB=4cm,BF=3cm,∴AF=5cm.由P,Q的运动速度和运动方向可知,当Q

在EC上运动,P在AF上运动时,若EQ=FP,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,∴3t-7=5-t,∴t=3.当P,Q分别在BC,AD上运动时,若QD=BP,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,此时Q点已经运动一周,∴3t-12-4=8-t,∴t=6.综上所述,t的值为3或6.

答案

9.[2021北京海淀区月考]如图,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形.求证:(1)△BCG≌△DCE;(2)BG⊥DE.答案9.【解析】

(1)∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴BC=DC,CE=CG,∠BCD=∠GCE=90°,∴∠BCG=∠DCE.在△BCG和△DCE中,BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE,∴△BCG≌△DCE.(2)设BG分别与DC,DE交于点H,O.∵△BCG≌△DCE,∴∠HBC=∠ODH,∵∠BHC=∠DHO,∠HBC+∠BHC=90°,∴∠ODH+∠DHO=90°,∴∠DOH=90°,∴BG⊥DE.素养提升10.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,且A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等,则在点E,F移动的过程中:(1)∠EAF的大小是否有变化?请说明理由.(2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.答案

答案(2)△ECF的周长没有变化.理由如下:由(1)得Rt△BAE≌Rt△HAE,Rt△HAF≌Rt△DAF,∴BE=EH,HF=DF,∴△ECF的周长为EF+EC+FC=BE+DF+EC+FC=2BC,∴△ECF的周长没有变化.课时2正方形的判定1.[2021山东滨州期末]学习了正方形之后,王老师提出问题:要判断一个四边形是正方形,有哪些思路?甲同学说:“先判定四边形是菱形,再确定这个菱形有一个角是直角.”乙同学说:“先判定四边形是矩形,再确定这个矩形有一组邻边相等.”丙同学说:“判定四边形的对角线相等,并且互相垂直平分.”丁同学说:“先判定四边形是平行四边形,再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等.”上述四名同学的说法中,正确的是(

)A.甲、乙

B.甲、丙C.乙、丙、丁

D.甲、乙、丙、丁答案1.D知识点正方形的判定名师点睛

正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形,所以在判定一个四边形是正方形时,要从它的特殊性逐步突破.2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,有下列条件:①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④四边形ABCD为矩形;⑤四边形ABCD为菱形;⑥四边形ABCD为正方形.则下列推理不成立的是(

)A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤C.①②⇒⑥ D.②③⇒④答案2.C

【解析】A项,有一组邻边相等的矩形是正方形,成立;B项,由③得四边形ABCD是平行四边形,再由①知平行四边形ABCD有一组邻边相等,故四边形ABCD为菱形,成立;C项,由①②不能判定四边形ABCD是正方形,不成立;D项,由③得四边形ABCD是平行四边形,再由②知平行四边形ABCD有一个角是直角,故四边形ABCD是矩形,成立.故选C.知识点正方形的判定3.[2020广东阳江二模]如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且OA=OB=OC=OD,不添加任何字母与辅助线,若要使四边形ABCD是正方形,则还需要添加的一个条件是

.

答案3.AC⊥BD(或AB=AD等)

【解析】

由OA=OB=OC=OD可得四边形ABCD是矩形,因此再添加一组邻边相等或对角线互相垂直即可.知识点正方形的判定4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF为正方形.答案4.【解析】

过点D作DG⊥AB交AB于点G.∵∠C=∠CFD=∠CED=90°,∴四边形CEDF是矩形.∵AD是∠BAC的平分线,DF⊥AC,DG⊥AB,∴DF=DG,同理可得DE=DG,∴DE=DF,∴四