材力弯曲变形课件

材料力学第6章弯曲变形工程中的弯曲变形问题叠加法确定梁的挠度与转角简单超静定梁

积分法求弯曲变形挠曲线的微分方程第6章弯曲变形提高弯曲刚度的一些措施返回§6-1工程中的弯曲变形问题

起重机大梁如果变形过大，将使梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还会引起振动等。

工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它变形不能过大。实例1

机械传动机构中的齿轮轴，变形过大时，会影响齿轮之间的啮合，加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。

此外，轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

实例2

在车床上车削外圆时，如果工件变形太大，将影响加工精度。实例3

叠板弹簧应有较大变形，才能更好地起到缓冲减振作用。工程中有时需利用弯曲变形以达到某种要求。实例4返回§6-2挠曲线的微分方程一、弯曲变形梁的轴线变形后的曲线。

对称弯曲时是一条平面曲线。挠曲线挠曲线方程挠度

w横截面形心沿y方向的位移向上为正转角

横截面相对其原位置转过的角度逆时针为正因

在工程中，一般很小二、挠曲线微分方程

略去剪力对弯曲变形的影响，上一章得到：由高等数学公式：因为二、挠曲线微分方程考虑符号——挠曲线的近似微分方程返回§6-3积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程积分一次，得再次积分，得式中，C、D为积分常数，由梁上的边界、连续条件确定。一、积分法求弯曲变形即——转角方程——挠度方程二、边界、连续条件边界条件

挠曲线上一些转角与挠度已知的条件。如：w

D=0；D＝0wA=

0；w

C=0连续条件挠曲线是一条连续光滑的曲线如：wB左=wB右；B左＝B右一般，边界连续条件的个数等于积分常数的个数。（边界条件、连续条件应用举例）ADBE10kN·m20kN·m(-)(+)E

2m2mq=10kN/mADB2mP＝20kN弯矩图：三段；积分常数：6个。边界和连续条件：6个例题6-1

一般，边界连续条件的个数等于积分常数的个数。三、梁的刚度条件

梁的刚度条件，就是根据需要，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即：已知：均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。求：梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

例题6-2x解：1.确定支座反力qlql2/22.建立微分方程并积分积分一次,得再次积分,得3.由边界条件确定积分常数解：4．

确定挠度与转角方程解：5．

确定最大转角与最大挠度

从挠曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。最大转角最大挠度例题6-3已知：EI=

常数求：1)

挠度、转角方程；2)wmax,θmax。

3.列挠曲线近似微分方程并积分2.分段列弯矩方程1.求支反力解：AC段CB段例题6-3解：4.由边界连续、条件确定积分常数例题6-3解：5.挠度与转角方程AC段CB段6.确定最大转角若a＞b，则θmax=θB例题6-3解：7.确定最大挠度若a＞b，则wmax在AC段

8.比较最大挠度与梁跨度中点挠度当P接近端点B，即b→0时，→0.5l此时结论:可用中点挠度近似代替最大挠度。返回§6-4用叠加法求弯曲变形梁在简单载荷作用下的变形图表，P188-190。一、求弯曲变形的叠加法

当弯曲变形很小，且材料服从胡克定律时，梁上同时作用多个载荷时的变形等于每一载荷单独作用下引起的变形的叠加。在内力不变的前提下，将梁分解为几段，求出各段的变形，然后进行叠加。二、叠加法求弯曲变形的基础三、叠加法的类型将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后，进行叠加；1.载荷叠加法2.几何叠加法例题6-4求：wC；B已知：q,

l,EI

=常数。解：1.分解梁上载荷(载荷叠加)2.查表得三种情形下C截面挠度和B截面的转角解：3.叠加已知：P、a、b、EI，求：wB例题6-5(几何叠加)解:1.将梁分割成两段2.CB段将AC段刚化，C端视为固定端3.AC段将CB段刚化成直线4.wBxPbABCwB1xPaACPbwB2C2xPabABCwB已知：q、l、EI，求：C、wC例题6-6解：1.将载荷转变成有表可查的情形

解：2.查表得两种情形下

C截面转角和挠度解：3.叠加得C点转角与挠度返回§6-5简单超静定梁超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差静定梁——用静力平衡方程可确定所有未知力超静定(静不定)梁——未知力个数多于独立的平衡方程数多余约束——保持结构静定多余的约束

一、超静定梁与多余约束二、求解简单超静定梁的方法和步骤1.解除多余约束，代以相应的反力，将超静定梁转化为静定梁；2.根据多余约束对位移或变形的限制，建立变形协调方程；3.根据变形协调方程，建立补充方程，解出部分未知力；4.再由平衡方程解出全部未知力。求:

梁的支座反力。已知：F，a，l，EI。例题6-7解：1.解除多余约束B，代反力

FB，将梁转化为静定梁2.变形协调方程3.补充方程即解：3.补充方程——补充方程5.由平衡方程求A端反力由梁平衡：

三、多余约束的解除方法不是唯一的例题6-8已知：EI、δ、l,解：1.去除多余约束B,代反力FB

,将梁转化为静定梁2.变形协调方程3.补充方程查表得:补充方程：求:装配应力。解：4.由平衡方程求A、C处的反力5.作梁的弯矩图6.装配应力返回§6-6提高弯曲刚度的一些措施

由挠曲线的近似微分方程及其积分可知，弯曲变形与弯矩大小、梁截面的惯性矩、材料的弹性模量，梁长等因素有关。提高弯曲刚度应从考虑上述因素入手。一、提高弯曲刚度的途径——挠曲线的近似微分方程二、提高弯曲刚度的措施1.改善结构形式,减小弯矩的数值例如：在结构允许的条件下,将齿轮、带轮等靠近支座；将集中力分散成分布力等。二、提高弯曲刚度的措施当梁的长度无法减小时，则可增加支座，采用超静定结构以提高梁的刚度。2.减小梁的跨度l例如：二、提高弯曲刚度的措施3.选择合理的截面形状，增大截面惯性矩I

不同的截面形状，尽管面积相等，但惯性矩却不一定相等。竖放：平放：二、提高弯曲刚度的措