北师大版九年级上册数学第一单元试卷

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单元试卷第一章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，

则对角线AC的长是()

A．12B．9C．6D．3

(第1题)

(第4题)(第6题)

2．以下命题为真命题的是()

A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边

形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形

是正方形

3．若依次连结四边形ABCD四边的中点，获取的图形是一个矩形，则四边形

ABCD

必然是

(

)

A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形

4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面

积的()1113A.5B.4C.3D.105．已知四边形ABCD是平行四边形，以下结论中错误

的有()EF

10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点

不与A，B重合)，对角线AC，BD订交于点O，过点P

分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.以下结论：①△APE≌△AME；②PM

＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．

12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交

点，过O点的三条直线将菱形分红阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积

为________．

(第11题)

(第12题

(第13题)

13．如图是依照四边形的不牢固性制作的边长为15cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1

________.

14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE

AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD

________.

15．如图，矩形OBCD的极点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．

(第15题)

(第16题)

(第17题)

(第18)

16．如，已知正方形ABCD的1，接AC，BD，CE均分∠ACD交BD于点E，DE＝________.

17．如，在矩形ABCD中，M，N分是AD，BC的中点，E，F分是段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，四形ENFM的周________．

18．如，在1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.接角AC，以AC作第二个菱形ACEF，使∠FAC

60°.接AE，再以AE作第三个菱形AEGH，使∠HAE

60°，⋯，按此律所作的第n个菱形的是________．三、解答(19，20每9分，2110分，22，23

每12分，2414分，共66分)

19．如，在四形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直均分交AD，BC于点E，F.求：四形AECF是菱形．

(第19题)

(第20题)

20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．

21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延伸线上一点，且CE＝CF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．

(第21题)

22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

(1)求证：△DCE≌△BFE；

(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的

长．(第22题)

23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为极点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连结EF.

(1)求证：BE＝CF.

(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积可否发生变化？若是不变，求出其定值；若是变化，请说明原因．

(第23题)

24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的均分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的均分线于点F.

(1)研究线段OE与OF的数量关系并说明原因．

(2)当点O运动到哪处，且△ABC知足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明原因．

(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是

菱形(填“可能”或“不可以能”)．请说明原因．

(第24题)

答案

一、1.D2.A

3．D点拨：第一依照三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．

4．B

5．A点拨：①当AB＝

BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，

正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是

错误的．

6．C7.C8.C

9．D点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2.

AD∥BC，∴∠3＝

1.∴∠2＝∠3.

∴AE＝AF.应选项A正

确．

由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.

∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∠B＝90°，

Rt△ABE≌Rt△AGF(

HL)．

应选项B正确．

设DF＝x，则GF＝x，

AF＝8－x.

又AG＝AB＝4，

∴在Rt△AGF中，依照勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.

解得x＝3.∴AF＝8－x

5.

则AE＝AF＝5，

∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.

过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.

在Rt△EFM中，依照勾股定理得EF＝EM2＋FM2

22＋42＝20＝25，则选项C正确．

AF＝5，EF＝25，∴

AF≠EF.应选项D错误．

(第9题)

10．D点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.

PM⊥AC，∴∠PEA＝

∠MEA.

又∵AE＝AE，∴依照

“ASA”可得△APE≌△AME.

故①正确．由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理PN＝2PF.又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO.∴PM＋PN＝2FO

2BF＝2BO＝BD.故②正

确．在Rt△PFO中，∵FO2

PF2＝PO2，而PE＝FO，∴PE2＋PF2＝PO2.故③正确．

二、11.90°点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．

12．12点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和

18，∴菱形的面积＝2×6×8

由FE⊥AC，可知∠AEF

90°.

在Rt△AEF与Rt△ADF

中，AE＝AD，AF＝AF，

Rt△AEF≌Rt△ADF(

HL)．

24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝

1×24＝12.

∴∠FAD＝∠FAE＝

1∠CAD＝2×45°＝22.5°.

1

2

2

13．120°

15.1016.2－1

17．20点拨：点N是

BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证

1EN∥MC，NF∥ME，EN＝2

1MC，FN＝2MB.又易知MB(第14题)＝MC，因此四边形ENFM是14．22.5°点拨：如图，菱形．由点M是AD的中点，由四边形ABCD是正方形，AD＝12得AM＝6.在可知∠CAD＝1∠BAD＝45°.Rt△ABM中，由勾股定理得2BM＝10.因为点E是BM的中点，因此EM＝5.因此四边形．形ENFM的周长为20.(2)解：∵四边形ABCD18．(3)n－1为矩形，三、19.证明：∵EF垂直1均分AC，∴BO＝DO＝2BD.∴∠AOE＝∠COF＝∴S190°，OA＝OC.＝S＝2△△∵AD∥BC，∴∠OAES△ABC＝1×1×3×4＝3.＝∠OCF.22∴△AOE≌△COF(ASA∴S菱形OCED＝2SOCD＝6.△)．21．(1)证明：在△BCE∴AE＝CF.又与△DCF中，∵AE∥CF，BC＝DC，∴四边形AECF是平行∠BCE＝∠DCF，四边形．CE＝CF，∵EF⊥AC，∴四边形∴△BCE≌△DCF.AECF是菱形．(2)解：20．(1)证明：∵DE∥AC，∵△BCE≌△DCF，CE∥BD，∴∠EBC＝∠FDC＝∴四边形OCED为平行30°.四边形．∵∠BCD＝90°，∵四边形ABCD为矩∴∠BEC＝60°.形，∴OD＝OC.∵EC＝FC，∠ECF＝∴四边形OCED为菱90°，∴∠CEF＝

45°.∴∠BEF＝105°.

22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝

C＝90°，

∴∠ADB＝∠DBC.

依照折叠的性质得

ADB＝∠BDF，∠F＝∠A

90°，

∴∠DBC＝∠BDF，∠C

＝∠F.

∴BE＝DE.

在△DCE和△BFE中，

∠DEC＝∠BEF，

∠C＝∠F，

DE＝BE，

∴△DCE≌△BFE.

(2)解：在Rt△BCD中，

∵CD＝2，∠ADB＝

DBC＝30°，

∴BD＝4.∴BC＝23.

在Rt△ECD中，易得

EDC＝30°.

∴DE＝2EC.

(2EC)2－EC2＝CD2.

CD＝2，

3CE＝3.

3BE＝BC－EC＝3.

(第23题)

23．(1)证明：如图，连

接AC.

∵四边形ABCD为菱

形，

BAD＝120°，

∴∠ABE＝∠ACF＝60°，

1＋∠2＝60°.

∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.24．解：(1)OE＝OF.理∵∠ABC＝60°，AB＝由以下：∵CE是∠ACB的平BC，分线，∴△ABC为等边三角∴∠ACE＝∠BCE.又形．∵MN∥BC，∴AC＝AB.∴∠NEC＝∠BCE.∴△ABE≌△ACF.∴∠NEC＝∴BE＝CF.∠ACE.∴OE＝OC.(2)解：四边形AECF的∵CF是∠ACD的均分面积不变．线，由(1)知∴∠OCF＝∠FCD.又△ABE≌△ACF，∵MN∥BC，则SABE＝SACF，∴∠OFC＝∠FCD.△△故S四边形AECF＝S△AEC＋∴∠OFC＝∠OCF.△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝∴OF＝OC.∴OE＝OF.SS△ABC.(2)当点O运动到AC的如图，过A作AM⊥BC中点，且△ABC知足∠ACB于点M，则BM＝MC＝2，为直角时，四边形AECF是∴AM＝AB2－BM2＝正方形．42－22＝23.原因以下：∵当点O运∴S△ABC＝11动到AC的中点时，AO＝2BC·AM＝2CO，×4×23＝43.又∵EO＝FO，故S四边形AECF＝43.∴四边形AECF是平行四边形．

∵FO＝CO，