2021-2022学年安徽省亳州市蒙城第一中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年安徽省亳州市蒙城第一中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，则a的值为（）A． B． C．10 D．﹣10参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．【分析】求两直线垂直与斜率之间的关系，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，∴=﹣1，解得：a=10．故选：C．【点评】本题考查了两直线垂直与斜率之间的关系，是基础的计算题．2.如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是(

)A．48B．24C．16D．8参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是2，即可求解．解答： 解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是=2，∴四棱锥的体积为：×2×6×2=8．故选：D点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查平面图形体积的求法，本题是一个基础题．3.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是斜高为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为．∴几何体的体积为8+．故选A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．4.若函数，则当时，函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A略5.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是A．[2,6] B．[4,8] C． D．参考答案：A∵直线分别与轴，轴交于，两点,则∵点P在圆上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.

6.复数的虚部为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11C

解：曲线在点的切线斜率为，

曲线在点的切线斜率为，存在使得：．

即，求得或2．当时，（舍去）；当时，．

∵a＞0，∴如果两个曲线存在公共切线，那么，即，故答案为：。【思路点拨】分别求出两个函数的导函数，由两函数在x处的导数相等及函数值相等求得x的值，进一步求得a的取值范围．8.已知m、l是异面直线，有下面四个结论：

①必存在平面α过m且与l平行；

②必存在平面β过m且与l垂直；

③必存在平面γ与m、l都垂直；

④必存在平面π与m、l距离都相等．

其中正确的结论是

（

）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①④参考答案：D对于②若m、l不垂直，则满足条件的平面不存在．对于③m、l应为平行线．①④可推出，故选D．9.函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】作函数与g（x）=ln（x+2）的图象，从而利用数形结合求解．【解答】解：作函数与g（x）=ln（x+2）的图象如下，，故函数的图象有两个交点．故选B．10.如果数列{an}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{an}为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{an}，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的一个“保亚三角形函数”（n∈N*）．记数列{an}的前项和为Sn，c1=2016，且5Sn+1﹣4Sn=10080，若g（x）=lgx是数列{cn}的“保亚三角形函数”，则数列{cn}的项数的最大值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg2016≈3.304}．A．33 B．34 C．35 D．36参考答案：A【考点】数列的应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先利用条件求出数列{cn}的通项公式，证明其满足“亚三角形”数列．然后利用对数型复合函数的单调性得到g（cn）是单调递减函数，再由lgcn+4+lgcn+2＞lgcn求解对数不等式得答案．【解答】解：由5Sn+1﹣4Sn=10080，得5Sn﹣4Sn﹣1=10080（n≥2），两式作差得：5cn+1﹣4cn=0（n≥2）．∴（n≥2）．又c1=2016，且5Sn+1﹣4Sn=10080，∴5（c1+c2）﹣4c1=10080，解得，．∴．则数列{cn}是等比数列．∴．由上可知，数列{cn}是递减数列．∵=．∴数列{cn}是“亚三角形”数列；函数g（x）=lgx是增函数，则lgcn是减函数．由lgcn+4+lgcn+2＞lgcn得，．整理得：．解得：n＜33.04．则数列{cn}的项数的最大值为33．故选：A．【点评】本题是在新定义下对数列的综合考查，考查了对数函数的单调性．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为

．参考答案：3设平面ABC截球所得球的小圆半径为r，则2r==8，故r=4，则球心O到平面ABC的距离为=3，故答案为3.

12.已知过点的直线交抛物线于A、B两点，直线OA、OB（O为坐标原点）分别交直线于点M、N，则以MN为直径的圆截x轴所得的弦长为______.参考答案：【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出点、的坐标，求出圆心的坐标以及，利用勾股定理可计算出圆截轴所得的弦长.【详解】设点、，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，直线的方程为，联立，得点，同理可得点，设以为直径的圆的圆心为，则，所以，圆心为，，圆的半径为，因此，以为直径的圆截轴所得的弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了直线截圆所得弦长的计算，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.13.等差数列的前项和为，已知则的最小值为

参考答案：略14.为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为

▲

．参考答案：4略15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．参考答案：．【分析】由B2F⊥AB1，可得?=0，即可得出．【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），∴=（﹣c，b），=（a，b），∵B2F⊥AB1，∴?=﹣ac+b2=0，∴a2﹣c2﹣ac=0，化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.不等式的解集是．参考答案：∪（0，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】转化为求或的解集即可．【解答】解：∵，∴，∴或，∴解得解集是：∪（0，+∞）．故答案为：∪（0，+∞）．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．17.经过点且与圆相切的直线方程为

参考答案：答案：或

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．19.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（?为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．20.（本小题满分10分）

如图，CD是ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D、E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B、E、F四点共圆。（1）证明：CA是ABC的外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆的面积的比值。参考答案：21.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=．参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率