2023届上海市青浦高级中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则“”是“直线与平行”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为()A．2209 B．3029 C．4033 D．22494．的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A． B． C． D．5．现有小麦、大豆、玉米、高粱种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（）A．36种 B．48种 C．24种 D．30种6．的展开式中常数项为()A．-240 B．-160 C．240 D．1607．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正确8．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．9．设，，，，则（）A． B． C． D．10．已知复数为虚数单位，是的共轭复数，则（）A． B． C． D．11．点的直角坐标为，则点的极坐标为（）A．B．C．D．12．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种 B．35种 C．120种 D．140种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则________．14．若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．15．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________．16．如图，在正三棱柱中，已知它的底面边长为10，高为20，若P、Q分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小为_________（结果用反三角函数表示）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．18．（12分）已知函数.(1)解关于的不等式；(2)设，，试比较与的大小.19．（12分）已知F是椭圆的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于，，两点.（1）若，求弦的长；（2）O为坐标原点，，满足，求直线l的方程.20．（12分）已知函数（其中），．（Ⅰ）若命题“”是真命题，求的取值范围；（Ⅱ）设命题：；命题：．若是真命题，求的取值范围．21．（12分）已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线上任一点为，求的取值范围．22．（10分）设数列的前项的和为,且满足,对,都有(其中常数),数列满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)若,求的值；(3)若,使得,记,求数列的前项的和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先由直线与平行，求出的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又当时，与重合，不满足题意，舍去；所以；由时，与分别为，，显然平行；因此“”是“直线与平行”的充要条件；故选C【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.2、A【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3、C【解析】

因为该题为选择题，可采用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数满足条件，可设函数为，从而求出，再利用题目中所给等式可证明数列为等差数列，最后利用等差数列定义求出结果。【详解】根据题意，可设，则，因为，所以，所以，所以数列数以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，故选C。【点睛】本题考查选择题中的特殊法解决问题，对于选择题则可以找到满足题意的特殊值或者特殊函数直接代入进行求解。4、C【解析】

根据只有第5项系数最大计算出，再计算展开式中含项的系数【详解】只有第5项系数最大,展开式中含项的系数,系数为故答案选C【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.5、B【解析】

需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果【详解】由题意可知，本题是一个分步计数的问题先给右边的一块地种植，有种结果再给中间上面的一块地种植，有种结果再给中间下面的一块地种植，有种结果最后给左边的一块地种植，有种结果根据分步计数原理可知共有种结果故选【点睛】本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。6、C【解析】

求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，当时，，即展开式的常数项为，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7、C【解析】令，则当时：，即函数在上单调递增，由可得：当时，；当时，；不等式在上的解集为，同理，不等式在上的解集为，综上可得：不等式的解集是.8、C【解析】

由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选C．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．9、A【解析】

根据条件，令，代入中并取相同的正指数，可得的范围并可比较的大小；由对数函数的图像与性质可判断的范围，进而比较的大小.【详解】因为令则将式子变形可得，因为所以由对数函数的图像与性质可知综上可得故选：A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题.10、C【解析】，选C.11、A【解析】试题分析：,,又点在第一象限,,点的极坐标为.故A正确.考点：1直角坐标与极坐标间的互化.【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题.根据公式可将直角坐标与极坐标间互化,当根据求时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误.12、A【解析】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．详解：分3步来计算，

①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；

②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；

故选A．点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

根据题意，由对数的运算性质可得结合函数的解析式可得，进而计算可得答案.【详解】根据题意，则又由则故答案为：3【点睛】本题考查了指数、对数的运算和分段函数求值，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.14、1【解析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.15、【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.16、；【解析】

作出两异面直线所成的角，然后在三角形求解．【详解】取中点，连接，∵是中点，∴，∴异面直线与所成的角为或其补角．在正三棱柱中，，则，，∴，，，∴，∴异面直线与所成的角的余弦为，角的大小为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出两条异面直线所成的角，然后通过解三角形得出结论．方法是根据定义，平移其中一条直线使之与另一条相交，则异面直线所成的角可确定．平行线常常通过中位线、或者线面平行的性质定理等得出．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）的面积．【解析】试题分析：（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，…………2分又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.…………4分联立方程组解得a＝2，b＝2.…………5分（2）由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，…………7分当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，…………8分当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.…………10分所以△ABC的面积S＝absinC＝.…………11分考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，两角和差的三角函数．点评：典型题，本题在考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和定理，两角和差的三角函数的同时，考查了函数方程思想，在两道小题中，均通过建立方程组，以便求的a,b,c等．18、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）讨论的范围，去掉绝对值符号，分段求出不等式的解，取并集即得原不等式的解集；（2）由（1）易知，所以，作差并因式分解判断出差的符号即可得到与的大小.试题解析：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从面得或或，解之得或或，所以不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）易知，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分由于．．．．．．．．．．．8分且，所以，即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：绝对值不等式的解法及比较法比较大小.19、(1);(2)【解析】

（1）根据直线和椭圆的位置关系,以及弦长公式即可求出;（2）根据向量的数量积和三角形的面积公式,弦长公式以及点到直线的距离,即可求出.【详解】(1)F是椭圆的右焦点,即,则,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为代入椭圆方程中,可得,解得..(2).当直线的斜率存在时，设直线的方程为,代入椭圆方程中,可得,点到直线的距离为,解得.直线的方程为;当直线的斜率不存在时,则直线方程为,此时，,不满足题意.综上，直线的方程为.【点睛】本题考查考查了弦长公式,点到直线的距离公式,三角形面积公式在解决直线和椭圆关系中的应用,考查学生的计算求解能力,难度一般.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（1），即，，解得；（2）是真命题，则都是真命题.当时，，故需.或，故，.当时，，故需.，所以，.综上所述，.试题解析：（1）∵命题“”是真命题，即，∴，解得，∴的取值范围是；（2）∵是真命题，∴与都是真命题，