2023届四川乐山市数学高二下期末调研模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若a＞b＞0，0＜c＜1，则A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb2．若，则（）A． B．C． D．3．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．4．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．5．已知空间向量，且，则（）A． B． C． D．6．奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则()A． B． C． D．7．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（）A． B．C． D．8．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为，则x、y的值分别为A．7、8 B．5、7C．8、5 D．7、79．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种B．315种C．153种D．143种10．已知复数满足（为虚数单位），其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（）A． B． C． D．11．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（）A．12 B．36 C．84 D．9612．的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．14．驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)服从正态分布,记为事件为事件,则__________.(结果用分数示)附：；；.15．在侧棱长为的正三棱锥中，，若过点的截面，交于，交于，则截面周长的最小值是______16．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量与行驶时间（单位：小时）的测试数据如下：如果剩余电量不足，则电池就需要充电.（1）从组数据中选出组作回归分析，设表示需要充电的数据组数，求的分布列及数学期望；（2）根据电池放电的特点，剩余电量与时间工满足经验关系式：，通过散点图可以发现与之间具有相关性.设，利用表格中的前组数据求相关系数，并判断是否有的把握认为与之间具有线性相关关系.（当相关系数满足时，则认为的把握认为两个变量具有线性相关关系）；（3）利用与的相关性及前组数据求出与工的回归方程.（结果保留两位小数）附录：相关数据：，，，.前9组数据的一些相关量：合计相关公式：对于样本.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.19．（12分）已知函数，.（1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）.20．（12分）已知实数为整数，函数，（1）求函数的单调区间；（2）如果存在，使得成立，试判断整数是否有最小值，若有，求出值；若无，请说明理由（注：为自然对数的底数）.21．（12分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.22．（10分）二次函数满足,且解集为（1）求的解析式；（2）设,若在上的最小值为,求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2、A【解析】

根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.【详解】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确．B错误.②令，则，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确，故选A．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.3、A【解析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4、C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5、C【解析】

根据空间向量的数量积等于0，列出方程，即可求解.【详解】由空间向量，又由，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据，利用向量的数量积等于0，列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力.6、B【解析】是偶函数，关于对称，是奇函数。故选B。7、B【解析】

先求出每次抽到奇数的概率，再利用n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式求出结果．【详解】每次抽到奇数的概率都相等，为，故恰好有2次抽到奇数的概率是••，故选：B．【点睛】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式的应用，属于基础题．8、D【解析】

根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【详解】组数据的中位数为17，，乙组数据的平均数为，，得，则，故选D．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.9、D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.10、A【解析】分析：设，利用的共轭复数是，列出方程组求a、b的值即可.详解：设，的共轭复数是，又，，又，，.故选：A.点睛：本题主要考查了复数的共轭复数与代数运算的应用问题.11、B【解析】

记事件A:小明的父亲与小明相邻，事件B:小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件A、事件B、事件A∩B的排法种数nA、nB、nA∩B【详解】记事件A:小明的父亲与小明相邻，事件B:小明的母亲与小明相邻，对于事件A，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序，则nA=A对于事件A∩B，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则nA∩B=A2【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。12、C【解析】

根据只有第5项系数最大计算出，再计算展开式中含项的系数【详解】只有第5项系数最大,展开式中含项的系数,系数为故答案选C【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.14、【解析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论.详解：由题意，，.故答案为：.点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.15、1【解析】

沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【详解】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图（2），则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案为1．【点睛】本题考查余弦定理的应用、棱锥的结构特征、利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．16、【解析】

由题得，解方程即得解.【详解】由题得,所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）先求导，再对a分和两种情况讨论，求出函数的单调性；（2）原命题等价于，对a分三种情况讨论分析得解.【详解】（1）当即时，恒成立在上单调递增当即时，当时，时，；时，在上单调递减，上单调递增综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增（2）当时，恒成立，当时，当时，，此时无解.当时，由（1）知在上单调递减，上单调递增，整理得记.则恒成立故在上单调递增综上所述：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.18、（1）见解析；（2）有的把握认为与之间具有线性相关关系；（3）.【解析】

（1）根据题知随机变量的可能取值为、，利用古典概型概率公式计算出和时的概率，可列出随机变量的分布列，由数学期望公式可计算出；（2）根据相关系数公式计算出相关系数的值，结合题中条件说明由的把握认为变量与变量有线性相关关系；（3）对两边取自然对数得出，设，由，可得出，利用最小二乘法计算出关于的回归直线方程，进而得出关于的回归方程.【详解】（1）组数据中需要充电的数据组数为组.的所有可能取值为、.，.的分布列如下：；（2）由题意知，，有的把握认为与之间具有线性相关关系；（3）对两边取对数得，设，又，则，，易知，.，，所求的回归方程为，即.【点睛】本题考查随机变量分布列与数学期望、相关系数的计算、非线性回归方程的求解，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.19、（1）（2）证明见解析【解析】

1，等价于方程在恰有一个变号零点．即在恰有一个变号零点．令，利用

函数图象即可求解．

2要证明：只需证明，即证明要证明，即证明利用导数即可证明．【详解】Ⅰ，，，函数恰有一个极值点，方程在恰有一个变号零点．在恰有一个变号零点．令，则．可得时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．函数草图如下，可得，．实数a的取值范围为：2要证明：证明．证明，即证明．令则，时，，函数递增，时，，递减．，即原不等式成立．要证明，即证明．，故只需证明即可．令，则．时，，函数递减，时，，函数递增．，又，故原不等式成立．综上，，【点睛】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题．20、（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）的最小值为1【解析】

（1）求导函数后，注意对分式分子实行有理化，注意利用平方差公式，然后分析单调性；（2）由可得不等式，通过构造函数证明函数的最值满足相应条件即可；分析函数时，注意极值点唯一的情况，其中导函数等于零的式子要注意代入化简.【详解】解：（1）已知，函数的定义域为，因此在区间上，在区间上，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）存在，，使得成立设，只要满足即