2023年高考数学第21讲 角的代换与变换

第21讲角的代换与变换——化归与构造

一、知识聚焦

角的代换与变换是处理三角问题的两种重要解题技巧，运用角的代换与变换是运用等价化归

将未知三角函数问题化归为已知三角函数问题的重要途径.当然在代换与变换过程中，构造法

发挥着重要的作用.

二、精讲与训练

【核心例题1]⑴已知cos；a-—=-±sin(4一二,且工<a<乃,0〈尸〈工,

L2)5t2J1322

求cos"幺的值.

2

⑵已知cos[?-a]=(,sin(++/?=得,且0<£<5，?<a<,，求sin(a+/)的

值.

(3)已知tan(a-£)=(,tan/?=一;，且&,/?€(0,万),求2二一’的值.

(4)已知

3sin/7=sin(2a+/7),「丰k兀+三，/3手k兀+三(keZ).证明：tan(a+0)=2tana

【解题策略】巧用角的变换是解答本题的关键也就是运用“凑角”，将“所求角”用“所给角”

表示出来第(1)问,412=(0-f]+16-晟]第(2)问,

+夕]_(?_a)=5+(a+£)，而

sin(a+p)=-cosg+(a+/Q=-以%[('+4-(一a).第⑶问，求2a-/7的

值即先求tan(2a-⑶，而2a-4=2(。一0+4,而a-4及尸正是条件中的角.第(4)

问,把条件3sin4=sin(2a+/7)变形为3sin[(c+/7)-c]=sin[(a+尸)+e],展开后化

切即可得所证等式.

ea+Bn

⑴解:一a

-222

行37t7t\

.・.acz---0-

2(42'7

2]312

...sina1-cos2a-

2,513

..a+/7a2-na-邑

故cos-----=cosS1

222I27

125363

sinX---------------X—=----------

^41313565

71347t71c.34

⑵解：—<av—,----<-----a<0,「.sin

442455

「八c万3兀3冗八(33%兀门12

又<0<+/?V"cosI——FB

413

/.sin(«+/7)-cosl++=-cos+/7-----a

14

3万

+月Icos

4

35456

X-------------X

5135J65

tan2(«-/?)+tan/?

⑶解：tan(2a-/?)=tan[2(a—4)+)]=

l-tan2(6Z-y5)tan/?

2tan(cz-/?)4

又tan2(a-/?)=

l-tan2(a-/7)3

4_1

•••tan(2a_/?)=-=1

1H—x-

37

而tana=tan[(a-£)+£]=；,a,'e(0,^)

0<a<—，由tan6——,—<Z?<TT

472

3万

—7i<2a—0<0、2a—0=-----

4

(4)证明:由3sin^=sin(2a+/),得3sin[(a+4)-a]=sin[(a+乃)+a].

/.3sin(a+/?)cosa-3cos(a+/?)sin«=sin[a+/?)cosa+cos(a+/?)sina

整理得sin(c+尸)cosa=2cos(a+尸)sina.aw尸w%»+.(%£Z),

.sin(«+/?)_2sina

，即tan(«+/7)=2tancr

cos(a+/?)cosa

QQI

【变式训练】⑴已知a,6为锐角，且sina=7y,cos(a-〃)=^^^i]cos/?=

-1J3万Qsin(a+/?)=_(,sin[/?_()=12(71、

(2)已知一<J3<a<7T,—，则cosa+一

4413144

a2[7T7t

⑶已知cos|a-；，其中ae—,7i，小呜，则

223I22

COS(6Z+/?)=

(4)是否存在常数m，使sin50(〃z+V3tanl0)=1.

【核心例题2】已知a,广为锐角，且tana<l,若tan2a=4tan(a-7?),则tan(a+0的

最大值为()

A0

A.----

3

3

B.-

4

c-l

D.y/3

【解题策略】把a—£=2a—（a+尸）代入条件等式tan2a=4tan（a—分）中，进行恒等

变形，用tan2a表示tan（a+夕）,最后利用基本不等式，求出tan（a+0的最大值.

解:tan2a=4tan(a-4)ntan2a=4tan(2a-(a+〃))

tan2a-tan(a+/7)

ntan2a=4x

l+tan2^-tan(a+/7)

/3tan2a

ntan(a+尸)二——-------

')tan?2a+4

、

a是锐角，且tana<1,.二aJ0,TfC2ae\0弓J,故tan2a>0.

4

3tan2a3

tan(a+尸)=

tan22a+4

tan2a+--------

tan2a

44

tan2a>0,「.tan2a+----->2]tan2a----------=4.当且仅当tan2a=2时取等号.

tan2atan2a

33

・•.tan（a+尸）<彳,即tan（a+/）的最大值为:，故选B.

c1nry

【变式训练】已知a,f3为锐角，且cos（a+夕）=—，则tan6z的最大值是

【核心例题3】已知0cx〈生且sin|工T唱求cos2x4…

-7-------V的值.

4,4COS"+X

(4

【解题策略】由已知条件可知0<x〈生，因此,利用角的分拆，把已知

44I4）

条件中的角与所求式中的角联系起来，如用］±2x=2?71±x及

4

冗

sinx=cos7+x等余角关系引出三角公式变形而达到求解的目的.

【解法一】由已知条件可知0<2—兀<乙,因此cos（工一［=Jl-sii?［工一］=U.

44UJVU）13

sin一+2x

cos2x1224

’7113

cos—+xcos+x

(414

【解法三】

cos2x_cos2x-sin2x_(cosx-sinx)(cosx+sinx)

cos[.+x]cos仔+x)cosf^+x

【变式训练1］已知cos（a+f

-,~<a<—■，求cos|2a+—\的值.

I4J522I4)

【变式训练2］已知sin7+2a卜in7-2a

2sin26r+tan6z-cot6z-1的值.

fx+—sin

【核心例题4]已知函数/(x)=(l+cotx)sin，+〃2sinI4j

rr34

⑴当机=()时，求/(x)在区间上的取值范围.

84

3

⑵当tana=2时,/(x)=j,求机的值.

【解题策略】研究三角函数的性质，首先要过三角恒等变换这一关，这一步不过关,后续的

“工作”就成了一句空话.

解题时易犯下列错误：(1)不能灵活地选用三角变换公式,没有掌握公式变形中的某些常用技

巧;(2)换元后忽视新元的取值支围;(3)忽视角的范围;(4)忽视“角的变换”导致计算量大而出

错;(5)计算之错、粗心之错.

要克服上述易错点，需把握好解答三角函数题的策略:(1)观察角、三角比运算间的差异，即进

行所谓“差异分析”;(2)运用相关公式，找出差异之间的内在联系;(3)选择恰当的公式，促使差异

的转化.

..2.l-cos2x+sin2x

解:⑴当根二°时,〃x)=1+落2sinx=sinx+sirircosx=--------------------

2

3万

由已知xe—,M2x--e，从而得/(x)的值域为

8T4

.2•()).71

⑵〃x)=1+吧sinx+msinx-\——s