第14章线性动态电路的复频率剖析课件

重点

(1)掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤(2)网络函数的概念(3)网络函数的极点和零点第14章线性动态电路的复频域分析拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。14.1

拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法2.拉氏变换的定义定义[0,∞)区间函数

f(t)的拉普拉斯变换式：正变换反变换s

复频率F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复变函数F(s)

。3.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数14.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质证例1解例2解根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。结论2.微分性质证例解利用导数性质求下列函数的象函数解3.积分性质证应用分部积分法，有0只要s的实部σ取足够大由于求的象函数例解4.延迟性质证例1求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质1τtf(t)o5.拉氏变换的卷积定理证因为故14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(3)把F(s)分解为简单项的组合部分分式展开法

分解F(s)时，若F(s)不是真分式，则需将其化为真分式。若n>m

，则化为真分式；若n=m

，则式中，第一项A是个常数，第二项是真分式。象函数的一般形式利用部分分式可将F(s)分解为：待定常数用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，这需要先求出D(s)=0的根。其根有单根、共轭复根和重根几种情况。

两边同乘以(s－p1)

，得令s=p1，得同理求得故，计算待定系数得公式为用求极限的方法确定Ki的值，即解【例】求的原函数f(t)

。D(s)=0的根为求出各待定系数为或根据求出各待定系数为则有查表可得出D(s)=0的根为求出各待定系数为【例】求的原函数f(t)

。解所以K1、K2也是一对共轭复数注意其待定系数为例解有可按前述方法确定单根的待定系数K2、…。为了确定K11、K12

、K13

，在上式两边同乘以(s-p1)3

，得此时应含(s-p1)n的因式。设D(s)中含有(s-p1)3因式，p1为D(s)＝0的三重根，其余为单根，则则则同理再对上式两边求导，得可推论得出第q阶重根的待定系数计算公式求待定系数例求

的原函数f(t)

。解令D(s)=(s+1)3s2=0，有p1=-1为三重根，p2=0为二重根，所以所以原函数

n=m

时将F(s)化成真分式和多项式之和由F(s)求f(t)的步骤：求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式求各部分分式的系数

对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换小结则

【例】求解共有三个根，为共轭复根，。F(s)可分解为求出待定系数为的原函数f(t)

。原函数为14.4运算电路基尔霍夫定律的时域表示：1.基尔霍夫定律的运算形式根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路u=Ri2.电路元件的运算形式电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路uR(t)i(t)R+-时域形式：R+-电感L的运算形式取拉氏变换,由微分性质得L的运算电路i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-时域形式：1/sL+U(s)I(s)

-运算阻抗、导纳电容C的运算形式C的运算电路i(t)+

u(t)

-C时域形式：取拉氏变换,由积分性质得+

-1/sCU(s)I(s)-+sCCu(0-)+U(s)I(s)

-运算阻抗、导纳耦合电感的运算形式i1**L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：取拉氏变换,由微分性质得互感运算阻抗、导纳耦合电感的运算电路+-+sL2+sM++sL1-----+3.RLC串联电路的运算形式u(t)RC-+iL时域电路拉氏变换运算电路+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)14.5应用拉普拉斯变换法分析线性电路由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)

；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。1.运算法的计算步骤例14-9(2)

画运算电路解(1)

计算初值电路原处于稳态，t=0时开关闭合，试用运算法求电流i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(3)

应用回路电流法1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(4)反变换求原函数例14-10RC+ucis解画运算电路1/sC+Uc(s)R图示电路为RC并联电路，激励为电流源is(t)，若：求电路响应u(t)。1/sC+Uc(s)R【例】图示电路中uC(0-)=5V

，求uC(t)

。解对图b代入已知条件式中所以查表得例14-11us1Li+-us2+-R1R2图示所示电路中，电路原处于稳态，t=0时将开关闭合，求换路后的uL(t)，已知us1=2e-2tV,us2=5ε(t)V,R1=R2=5Ω,L=1H。

解画运算电路2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)电感电流的初始值根据结点法求解代人数据得2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)i1**L1L2+_usi2MR2R1I1(s)**sL1sL2+_1/sI2(s)sMR2R1例14-12图示所示电路中，已知R1=R2=1Ω,L1=L2=1H,M=0.05H,激励为直流电压Us=1V，t=0时将开关闭合，求换路后的i1(t)和i2(t)。解画运算电路列出回路电流方程代入数据解得t=0时打开开关

,求电感电流和电压。例14-13解计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-2310/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23原来L1中电流5A，L2中没有电流。开关打开后，在t＝0时刻都被强制为3.75A。UL1(s)10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-233.75ti1520电感L1和L2的电压中将有冲激函数出现，但uL1+uL2中并无冲激函数出现，因为L1和L2中的冲激电压大小相同而方向相反。us(t)1F11F+-1+-uC(t)+2uC(t)-Us(s)1/s11/s+-1+-UC(s)+2UC(s)-I1(s)I2(s)如图所示电路为含有受控源的零状态电路

,试求电容电压uC(t)。已知激励为us(t)=20sintε(t)V。例14-14解画运算电路列电路的KVL方程解得而求反变换14.6网络函数的定义1.网络函数H（s）的定义线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的象函数与激励的象函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故s域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。注意若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应h(t)。例14-15解画运算电路电路激励为，求冲激响应sC+Uc(s)GG=1/RC+ucis例14-16解画运算电路u1(t)L1Ri1(t)+-L3C2i2(t)u2(t)+-U1(s)sL1RI1(s)+-sL31/sC2I2(s)U2(s)+-I1(s)I2(s)如图所示电路为一低通滤波电路，激励是电压源u1(t)。已知：L1=1.5H,C2=4/3F,L3=0.5H,R=1Ω。求电压转移函数H1(s)=U2(s)/U1(s)和驱动点导纳函数H2(s)=I1(s)/U1(s)

。利用回路电流法代入数据其中解得电压转移函数驱动点导纳函数14.7网络函数的极点和零点1.极点和零点当

s=zi

时，H(s)=0，

称

zi

为零点，zi

为重根，称为重零点；当

s=pj

时，H(s)∞，

称

pj

为极点，pj

为重根，称为重极点；2.复平面（或s平面）在复平面上把H(s)的极点用‘’表示，零点用‘o’表示。零、极点分布图zi

，

Pj

为复数joo如图所示电路含理想运算放大器，已知us(t)=2ε(t)V。试求电压转移函数Hs(s)=U2(s)/Us(s)，并在复平面