人教A版高二数学选择性必修第一册第一章1.4.1 空间向量的应用（一）同步练习（含解析）

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1.4.1空间向量应用（一）

考法一平面的法向量

【例1】（2023年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量．

【答案】见解析

【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．

(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．

(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量．

(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，

则n⊥，n⊥，所以得方程组∴

令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

【一隅三反】

1．（2023年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：

(1)平面BDD1B1的一个法向量；

(2)平面BDEF的一个法向量．

【答案】见解析

【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．

(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．

(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．

∴∴∴

令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.

2．（2023·涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；

②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；

④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正确命题的序号是______________

【答案】②，③，④

【解析】①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；

②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；

③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；

④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.

故答案为：②，③，④

考点二空间向量证明平行

【例2】（2023年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．

求证：PB∥平面EFG.

（2）证明平面EFG∥平面PBC

【答案】见解析

【解析】

证明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．

∴＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，设＝s＋t，

即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，

又∵与不共线，∴，与共面．∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.

（2）证明∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF.

又∵EF平面PBC，BC平面PBC，∴EF∥平面PBC，

同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF平面EFG，

∴平面EFG∥平面PBC.

【一隅三反】

1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

【答案】见解析

【解析】法一如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则

即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．

又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．

法二＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．

法三＝－＝－＝－＝－＝－.

即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．

2．（2023·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.

【答案】直线在平面上或直线与平面平行

【解析】由，所以.又向量为平面的一个法向量.

所以直线在平面上或直线与平面平行.

故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.

3．（2023·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.

【答案】

【解析】由题意，知，∴，即，∴.

故答案为：

考法三空间向量证垂直

【例3】（2023.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

【答案】见解析

【解析】方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.令＝a，＝b，＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，

则＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，

·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证．

方法二取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．

设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．

因为n⊥，n⊥，故即

令x＝1，则y＝2，z＝－，故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量，

而＝(1，2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.

【一隅三反】

1．（2023·浙江高三其他）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（）

A．B．C．与相交但不垂直D．

【答案】A

【解析】.

本题选择A选项.

2．（2023·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】因为直线平面，故直线l的方向向量与平面的法向量平行，

因为,故选：B.

3．（2023·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是()

A．平行B．垂直C．在平面内D．成60°角

【答案】B

【解析】依题意，而，所以，而，所以平面.故选：B

4．（2023·江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题

（1）求证：（2）求证平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，

则，，，，，

故，，故，故.

（2），故，故，

又，，故平面.

5．（2023·九台市第四中学高二期末（理））如图，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动.

（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有.

【答案】（1）平面，理由见解析.（2）证明见解析

【解析】（1）是的中点，是的中点，

.又平面.平面，

平面.

（2）以为原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设，则

在上，

设，

，，

，.

无论点在边的何处，都有.

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1.4.1空间向量应用（一）

考法一平面的法向量

【例1】（2023年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量．

【一隅三反】

1．（2023年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：

(1)平面BDD1B1的一个法向量；

(2)平面BDEF的一个法向量．

2．（2023·涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；

②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；

④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正确命题的序号是______________

考点二空间向量证明平行

【例2】（2023年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．

求证：PB∥平面EFG.

（2）证明平面EFG∥平面PBC

【一隅三反】

1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

2．（2023·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.

3．（2023·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.

考法三空间向量证垂直

【例3】（2023.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

【一隅三反】

1．（2023·浙江高三其他）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（）

A．B．C．与相交但不垂直D．

2．（2023·安徽池州。高二期末（理））已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（）

A．B．

C．D．

3．（2023·瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是