自控第二章讲义课件

第2章控制系统的数学模型

引言

1.数学模型：描述系统或元件的动态特性的数学表达式

2.数学模型的几种表示方式微分方程传递函数状态空间表达式3.建立控制系统数学模型的方法（1）分析法——运用物理规律、化学规律对系统进行分析。（2）实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。（1）

确定系统的输入、输出变量；（2）

根据系统所遵循科学规律(如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）依次列写各元件的运动方程；（3）

消去中间变量，整理出仅包含输入、输出变量微分方程。2.1系统微分方程式的建立

2.1.1用解析法建立系统微分方程的步骤：[例]：机械系统当F(t)=0时，物体处于平衡状态，y=0。

m

的受力作用：外力F(t)；弹簧力Fk

；粘性摩擦力

FB;重力mg。故可见：物体重力不出现在运动方程中，重力对物体运动形式没有影响。这是一个二阶线性定常系统。则mfkF(t)FBFk其中y(t)[例]：电气系统。讨论uC

和ur

之间的关系故令比较R

LCuruCi得系统相似（等效）

[例]：有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。有源网络的微分方程为

设是光滑的，

A为预定工作点，在A点附近展开成泰勒级数2.1.2.非线性系统线性化—小偏差法将取则简写成取================kΔx令x0ΔxΔyy0Ay=f(x)yx两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数展开为略去二阶及以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)

Δx1=x-x10

Δx2=x-x20线性定常系统微分方程的一般形式物理系统u(t)c(t)激励响应

(1)独立性（可加性）：线性系统内各个激励产生的响应互不影响

(2)均匀性（齐次性）：保持比例因子

ku(t)kc(t)u1(t)+u2(t)c1(t)+c2(t)

u1(t)c1(t)u2(t)c2(t)2.1.3

线性系统的特点——满足叠加原理2.2

传递函数

2.2.1

定义：

线性定常系统可由下列微分方程描述：

则

在零初始条件下，系统的输出量c(t)的拉氏变换与输入量r(t)的拉氏变换之比。2.2.2

传递函数的性质

1传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，它与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息;2传递函数是在零初始条件下的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统全部特性;3传递函数反映系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关;4传递函数不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）;5传递函数仅适用于线性定常系统或元件

令系统传递函数分子等于零,即N(s)=0,所得根称传递函数的零点7传递函数的形式

(1)多项式形式(2)零极点形式(3)时间常数形式6令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，即D(s)=0。特征方程的根称为特征根。特征根就是传递函数的极点。

MATLAB命令：n1=[48,288];d1=[11471154120];g1=tf(n1,d1)g2=zpk(g1)Transferfunction:48s+288-------------------------------------------------s^4+14s^3+71s^2+154s+120Zero/pole/gain:48(s+6)------------------------------(s+5)(s+4)(s+3)(s+2)

9

当

,系统输出称单位冲击响应

g(t)

8对于物理可实现系统比例环节惯性环节（一阶）振荡环节（二阶）积分环节理想微分环节一阶微分环节延时环节Ke-τss2.2.3

典型环节及其传递函数

1.比例环节

式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器)等。式中T-时间常数

2.惯性环节T=1T=2T=3

特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。

n1=[1];forT=[1,2,3]d1=[T1];g1=tf(n1,d1);step(g1)holdonend

3.积分环节

特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

4.振荡环节

式中ζ－阻尼比

w=6n1=[w^2];forr=[0.3,0.5,0.7,1.1,2];d1=[12*w*rw^2];g1=tf(n1,d1);step(g1)holdonend比例微分

特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。

5.微分环节理想微分

二阶微分

6.纯时间延时环节－延迟时间

特点：

输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。

2.3方块图（方框图，结构图）

2.3.1方框图元素

G(s)R(s)C(s)信号线方块r(t)c(t)（1）方框:表示输入到输出单向传输间的函数关系（2）相加点（合成点、综合点、比较点）(3)分支点（引出点、测量点） 表示信号测量或引出的位置注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。2.3.2

方框图的绘制

1.分别列写系统各元部件的微分方程，确定其传递函数。

2.绘出各环节的方框，方框中标明传递函数。

3.根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接起来，便可得到系统的方框图。例：绘制系统方框图解:C(s)__N(s)X1(s)R(s)X2(s)电气网络的运算阻抗与传递函数

[例]：有源电路如图所示，试求

惯性环节例：绘制双T网络结构图1R1R2C1C2ur(t)uc(t)I(s)I1(s)Uc(s)=I2(s)sc21•I2(s)=I(s)–I1(s)I1(s)=[Uc(s)+I2(s)•R2]•SC1Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)I(s)=[Ur(s)–I1(s)•]•sc11R11R11I

(s)I2(s)sc21R2SC1Ur(s)Uc(s)sc11sc21I2(s)从右到左绘制双T网络结构图2R1R2Ur(s)Uc(s)sc11sc21I(s)I1(s)I2(s)I1(s)sc11=I2(s)R2+Uc(s)

Uc(s)=I2(s)sc21I(s)=I1(s)+I2(s)R1sc11I(s)I1(s)Ur(s)这是不行的I(s)R1+I1(s)sc11＝Ur(s)sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)从左到右比较sc2R2sc11Ur(s)R1Sc1I1(s)I(s)Uc(s)I2(s)I2(s)Ur(s)Uc(s)sc11I1(s)R11I

(s)I2(s)sc21R2SC1从右到左从左到右

7.n(t)作用下，系统的误差传递函数E(s)/N(s)Gc(s)Gp(s)H(s)+-+R(s)C(s)N(s)控制器被控对象测量元件E(s)B(s)2.3.3

几个基本概念及术语

1.前向通路传递函数

C(s)/E(s)2.反馈通路传递函数

B(s)/C(s)3.开环传递函数

B(s)/E(s)4.r(t)作用下，系统的闭环传递函数

C(s)/R(s)5.n(t)作用下，系统的闭环传递函数

C(s)/N(s)

6.r(t)作用下，系统的误差传递函数

E(s)/R(s)（1）串联连接

2.3.3

结构图的简化—等效变换1.三种基本结构（2）并联连接

即：（3）反馈连接即

（b）R(s)C(s)G1G2G1G2串联并联反馈G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC三种基本结构小结2.

结构图等效变换方法等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现，变换中要掌握好二点（1）前向通道中各传递函数的乘积不变，（2）回路中传递函数的乘积不变。通过等效变换将结构图变换成具有串联、并联和反馈连接的结构图。1相邻相加点可互换位置、可合并…2相邻分支点可互换位置、可合并…

注意事项：3分支点相加点相邻，不可互换位置G1G2G3H1错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功G1G2G3H1G2向同类移动相加点移动G1G2G3H1G1分支点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果,行吗？G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1H1H3G1G4G2G3H3H1G4G2H1H3G4G2H1H3G4H1H3___U1(s)I1(s)U2(s)UC1(s)I2(s)___U1(s)U2(s)U2(s)__U1(s)[例]_U1(s)U2(s)_U2(s)__U1(s)例：系统方块图如下，求传递函数。2.4Mason增益公式

2.4.1信号流图

Mixed

nodeinput

no(source)1x6x153aput

node1de2x3x4x5x23a32a34a45a25a44a24a12a43a2354out

(sink)输入节点（源）输出节点（阱）混合节点通路开通路闭通路（回环,回路）前向通路支路节点

（2）每一条画有箭头的线段代表一个框，或者一个直接连接的关系。框的传递函数注在线段旁边，如果是直接连接，就注上1。

（3）求和单元中若有反号运算，就把相应的传递函数反号。

画信号流图的主要规则：

（1）每一个节点代表一个框的输出量，或者来自系统外部的输入量。求和单元的输出量也用节点表示。11

U2(s)1

-1

U1(s)-1-1

UC1(s)I1(s)I2(s)___U1(s)I1(s)U2(s)UC1(s)I2(s)2.4.2Mason增益公式式中 系统总增益（总传递函数）

前向通路数

:第k条前向通路总增益

:信号流图特征式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是，变化的只是其分子。

――所有不同回路增益乘积之和；

――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；

――所有任意三个不接触回路增益乘积之和。

在 中,将与第k条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称为第k条前向通路特征式的余因子。其中：△k求法:去掉第k条前向通路后，用余下的图求△[例]系统的方块图如所示，试画出信号流图，并用梅逊公式求系统的传递函数。RC+1G1H3G2G2HRC+1G1H3G2G2H2H-R(s)111-1C(s)2x3x1H1G2G3G4x5x6xR(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)例:求C(s)/R(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P1=G1G2G3P2=G4G3△2=1+G1H1△1=1L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1G3G2+G1G2+G2R(s)[]N(s)例：求C(s)(1-G1H1)+G2H2+

G1G2H3-G1H1G2H2-G1H1（1-G1H1）G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)P1=1△1=1+G2H2P1△1=?E(s)=1+G2H2+

G1G2H3-G1H1G2H2-G1H1(–G2H3)R(s)[

]

N(s)(1+G2H2)(-G3G2H3)++R(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)C(s)N(s)R(s)E(S)G3(s)G2(s)H3