2022年江苏省常州市国际语言培训中学高三数学理模拟试题含解析

2022年江苏省常州市国际语言培训中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为(A)0

(B)

(C)2

(D)参考答案：C2.若直线所截的弦长为，则实数a的值为（

）

A．－1或

B．1或3

C．－2或6

D．0或4参考答案：答案：D3.已知四棱锥的所有顶点在同一球面上,底面是正方形且球心在此平面内,当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于,则球的体积等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：当四棱锥体积取得最大值时,，因此,球的体积等于,选D.考点：球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.4.设集合M={y|y=x—x|,x∈R},N={x||x—|<,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为（

）A．（0,1）

B．（0,1]

C．[0,1）

D．[0,1]参考答案：C5.已知向量=（1，2），2+=（3，2），则=（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（5，6） D．（2，0）参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可．【解答】解：=（1，2），2+=（3，2），则=（2+）﹣2=（3，2）﹣2（1，2）=（3，2）﹣（2，4）=（3﹣2，2﹣4）=（1，﹣2），故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．6.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的

A．充分而不必条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.若向量，，则与的夹角等于（

）A．B．C．D．参考答案：C8.已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a7－a8＝5，则S11为A．110

B．55

C．50

D．不能确定参考答案：B∵数列{}为等差数列，2a7－a8＝5，∴,可得a6=5，∴S11===55．故选：B．

10.已知圆O:，直线过点,且与直线OP垂直，则直线的方程为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若递增数列满足：，，，则实数的取值范围为

，记的前项和为，则

.参考答案：，；12.复数的实部为

▲

．参考答案：略13.如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE=1，AB=3，CF=4，则BC边的长为

．参考答案：考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：先求出BE，再利用△BEA∽△CFA，求出AC，可得EC，利用勾股定理求出BC．解答： 解：依题意，AE=1，AB=3，得，因△BEA∽△CFA得，所以AF=2，AC=6，所以EC=7，所以．故答案为：．点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键．14.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是

．参考答案：（，]．【考点】向量的模．【分析】由题意，A、B1、P、B2构成矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x2+y2的取值范围，再求||的取值范围．【解答】解：根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；由||=||=1，得，则；∵||＜，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜，∴1﹣y2+1﹣x2＜，∴x2+y2＞；①又∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1；同理x2≤1，∴x2+y2≤2；②由①②知＜x2+y2≤2，∵||=，∴＜||≤．故答案为：（，]．15.已知直线：，直线：，圆：.若上任意一点到两直线，的距离之和为定值，则实数

.参考答案：－18；16.对于实数，用表示不超过的最大整数，如，．若为正整数，，为数列的前项和，则

、

.参考答案：6,.17.已知集合U={(x，y)|x?R,y?R},M={(x，y)||x|+|y|<a}，P={(x，y)|y=f(x)}，现给出下列函数：①y=ax,②y=logax,③y=sin(x+a),

④y=cosax，若0<a<1时，恒有P∩CUM=P，则f(x)可以取的函数有

参考答案：①②④.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某项计算机考试按科目A、科目B依次进行，只有大拿感科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试合格的概率为，假设各次考试合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（2）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求随即变量的分布列和数学期望．参考答案：解：设该人参加科目A考试合格和补考为时间，参加科目B考试合格和补考合格为时间相互独立.（1）设该人不需要补考就可获得证书为事件C，则C=，.

（2）的可能取值为2，3，4.则P（；

P；

P

.

所以，随即变量的分布列为

234P所以.

略19.已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点。（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；（3）求点A到平面BCD的距离的取值范围。参考答案：略20.（13分）已知函数,，其中R．（1）当a=1时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）的定义域为，且，

时在上单调递增；

………3分（2），的定义域为

因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以

………7分（3）当时，，由得或当时，；当时，．所以在上，

………9分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为…10分所以有

所以实数的取值范围是

………13分21.（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀

成绩不优秀

总计

附：K2=P（（K2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024参考答案：【考点】：独立性检验的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：（1）利用列举法确定基本事件的个数，由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．【解答】：解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，（4分）而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个．

（6分）所以所求概率为P（A）==

（7分）（2）由已知数据得：甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040（9分）根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．

（12分）【点评】：本题考查古典概型概率的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题．22.已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求a的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）的