简单复合函数的导数课件高二下学期数学人教A版选择性

TIANJIANINGDEBIAOTI5.2.3简单复合函数的导数高二数学组2023-3-7教学目标：1.了解和认识复合函数的概念及求导法则；2.掌握简单复合函数求导法则并能进行求导运算.教学重难点：重点：复合函数的求导法则.难点：复合函数概念的理解，求复合函数的导数.素养目标：1、数学抽象：复合函数2、逻辑推理:复合函数的求导法则3、数学运算：复合函数的求导复习引入导数的四则运算法则探究新知探究1如何求函数y＝ln(2x-1)的导数？现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.探究新知追问1函数y＝ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗？

它的结构特点是什么？若设u=2x-1,则y=lnu.如果把y与u的关系记作y=f(u)和，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为y=f(u)=f(g(x))=

ln(2x-1).从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x-1

经过“复合”得到的，即y

可以通过中间变量u表示为自变量x

的函数.复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).概念形成以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3小试牛刀探究2如何求复合函数的导数？以函数y=sin2x为例，研究其导数.(1)猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu，u=2x的导数有关.

以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x探究新知复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y′x＝y'u·u′x

[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)结构特点结果显示概念形成思考：现在可以用复合函数的求导法则来求函数y＝ln(2x-1)的导数了吗？函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2=探究新知例1求以下函数的导数（1）y＝(3x+5)3;（2）解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数

根据复合函数求导法则，有y'x＝y'u·u'x=(u3)'·(3x+5)'=3u2·3=9(3x+5)2.典例分析解：（2）y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数

根据复合函数求导法则，有y'x＝y'u·u'x=(eu)'·(－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1.(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式，即先求y′u，再求u′x，然后计算y′u·u′x；

(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.探究3你能总结求复合函数y＝f(g(x))的导数的一般步骤吗？分解求导回代方法归纳巩固练习

（2）

y=（1-2x）3（1）y=（3x+1)2ln(3x)

1.复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).2.复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x