工数课件讨论题1 2定积分性质

a[f(x)–g(x)]dx= f(x)dx–ag(x)dxbkf(x)dx=ba

f bb 则bf(x)dx‡ (a<a f(x)‡0,\f(xi)‡ (i=1,2, \f(xi)Dxi‡ ,b}b\lim

f(xi)Dxi

af(x)dx‡lfi

b如果在区间[ab]上fx)£gx)，b则bfx)dxa

ag(x)dx (a<

设M及mb m(b-a)£b

f(x)dx£M(b-a). m b(x)b\

Mmdx

f(x)dxbbb

am(b-a)£

f(x)dx£M(b- 例 比较积分值-2exdx和-

00 令f(x)=ex-0

x˛[-2,f(x)>

-x)dx>0\exdx>00 -2exdx0

例 估计积分 dx的值03+sin3 f(x)

3+sin3

"x˛[0,0£sin3x£

1

3+sin3 3 34 dx£4

3+sin3

dx£ \p£ dx£p. 03+sin3 p例 估计积分p4

dx的值x f(x)

sinx

x˛[p, f(x)=xcosx-sinx=cosx(x-tanx)<x2 fx)在pp]上单调下降 故xp为极大点，xp为极小点 pM=f )

pm f m 2 2,bpp,b--2a 22 24\p4£4

dx£p422 4

dx bb f(x)dx£bb

f(x)dx. (a< f(x),b

f(x)b

f(x)b\

f(x)dx

f(x)dx

b bf(x)dxb

f(x)dx. 假设acbaf(x)dxb

f(x)dxcac

f(x)dxbb补充：不论abc的相对位置如何上式总成立 如果函数fx)在闭区间[ab]上连续，g(x)⼀个点x，使 f(x)g(x)dx=f(z

g(x)dx fx)在闭区间[ab]则在积分区间[ab]上至少存在⼀个点x，b使af(x)dx=f(x)(b-a). (a£x£ 个点x使得以区间[a,b]f

yf

4fx)limfxx+23xfix+23xfi

tsin

f(t)dt 由积分中值定理知有x˛[x,x+x+2tsin3f(t)dtxsin

xfi

f(t)dt=2limxsinxfi

f=2lim3f(x)=xfi 定积分性质中，若f(x),g(x)在[a,fxgx)或fx)gx)[a 由fxgx)或fx)gx)在[ab]积，不能断言fxgx)在[ab]例f(x)= 0，x

gx) 1xfxgx)fx)gx)在[0,1]

练习题acb f(x)dx b2、如果fx)在a上的最大值与最小值分别为Mm，则b

； 3、当a>b时，我们规 bf(x)dx与af(x)dx的 bb fx)dxf(x)(baa£x£b)； 1x2dx 1x02ln10

110(x+1二、证明：bkfx)dxkb

fx)dx（k是常数a

33xarccotxdx的值.33222

x+1dx + +...+1);

p2

4sin0

xdxfx)及gx)在[abb1、若在a,b]上f(x)‡0,且 f(x)dx=0，则afx)0b2、若在afx0fx)不0b f(x)dx>03、若在afx£gx),且 fx)dxagx)dx，则在a上fx)gx) bbcc

f(x)dxb

f(x)dx、m(b-a)£ f(x)dx£M(b-a),a<b 、