误差与实验数据处理

误差与实验数据处理课件第1页，课件共30页，创作于2023年2月基本概念误差公理：一切测量都存在误差。真值：被测量的真实量值。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。不确定度(U)：表示测量结果不确定的程度。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，再根据该被测量与直接测量量值之间的数学关系算出被测量量值的测量。第2页，课件共30页，创作于2023年2月测量误差1、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差(测量误差)：式中：为绝对误差；为测量值；R为被测量的真值真值包括：(1)理论真值三角形的三个内角之和180o(2)约定真值米原器和千克原器(3)相对真值有限次重复测量值的算术平均值;高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低一级准确度等级测量器具测量值的真值2、相对误差:绝对误差与真值之比.用百分数表示：式中：E为相对误差；第3页，课件共30页，创作于2023年2月测量结果的表达1、等精度重复直接测量,测量列为m1，m2，…，mn,如果系统误差为零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差测量结果：给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p于是，测量结果应为:同时给出：重复测取数据个数n由置信概率P决定。P=0.95,n在2225次之间；P=0.997，n大于等于370次；P=0.683,n为小于等于20次。第4页，课件共30页，创作于2023年2月没有标出准确度等级,可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差没有标出准确度等级,又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差由误差公式计算。2、单次直接测量：式中：为测量仪器的最大误差；设仪器准确度等级为a，满量程为L

有些仪器最大误差由相应的公式计算第5页，课件共30页，创作于2023年2月数据舍入规则1、若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。例如：将下列数据舍入到小数点后第二位1.2348→1.23（因为0.0048<0.005）5.62499→5.62（因为0.00499<0.005）2、若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。1.23521→1.24（因为0.00521>0.005）5.62501→5.63（因为0.00501>0.005）3、若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加1。1.2350→1.24（因为0.0050=0.005，且3为奇数）5.62500→5.62（因为0.00500=0.005，且2为偶数）5.60500→5.60（0认为是偶数）第6页，课件共30页，创作于2023年2月测量结果中，或保留数字位数应与不确定度一致最终结果，标准偏差取一位有效数字，相对误差取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处理中，和都采用进位的方法。标准偏差和都应取成。例如：取例如：

保留数字位数1、2、第7页，课件共30页，创作于2023年2月测量误差的分类1、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。2、随机误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小、符号均无规律地变化。3、粗大误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时，明显歪曲测量结果的误差。

第8页，课件共30页，创作于2023年2月系统误差的判别2、残余误差观察法（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）m1，m2，…….，mnnr12340.10.20.3

1、实验对比法（判断固定不变的系统误差）第9页，课件共30页，创作于2023年2月随机误差的方差和标准差1、无限次测量列任一次测量值的标准差（n→∞

）对等精度无限测量列m1，m2，…，mn,去除了系统误差和粗大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：按上式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，是理论计算公式。第10页，课件共30页，创作于2023年2月2、有限次测量列任一次测量值的标准差（贝塞尔公式）实际测量中，测量次数n是有限的，用算术平均值作为被测量的真值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：测量结果：同时给出：第11页，课件共30页，创作于2023年2月3、测量列算术平均值的标准差在相同条件下，对被测量重复做n次测量，得m1，m2，…，mn，去除系统误差和粗大误差，由于随机误差的存在,围绕测量值算术平均值的标准差，由下式求出：

测量结果：同时给出:第12页，课件共30页，创作于2023年2月粗大误差的剔除拉依达准则：格拉布斯准则：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，该测量值舍去式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及显著性水平а(取0.05或0.01)有关，判别系数见下表m1，m2，…，mn

（n＞10）该测量值舍去第13页，课件共30页，创作于2023年2月nana0.050.010.050.01g（n,a）g（n,a）31.151.16172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.532.8561.821.94202.562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70502.963.34162.442.751003.173.59第14页，课件共30页，创作于2023年2月0.0001﹢0.0124.7690024.7580.0001-0.0124.7470.0004-0.0224.7360024.7550.0025+0.0524.8040.0004-0.0224.7330.0001+0.0124.7620.0001-0.0124.741序号等精度直接测量列的数据处理实例例：对某一轴的直径进行等精度测量9次，得到下表数据，求测量结果。1、求算数平均值2、求残余误差3、判断系统误差根据残余误差观察法，由表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规律，判断该测量列无有规律变化的系统误差。第15页，课件共30页，创作于2023年2月4、求测量值的标准差5、判别粗大误差本实例测量轴径的次数9，因而不采用拉依达准则判别粗大误差，采用格拉布斯准则，故判别测量列中存在粗大误差,将m4去掉后,重新计算。第16页，课件共30页，创作于2023年2月0.0002250.01524.7690.0000250.00524.7580.000025-0.00524.7470.000225-0.01524.7360.0000250.00524.755

0.000225-0.01524.7330.0002250.01524.7620.000025-0.00524.741序号6、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、判别粗大误差等第17页，课件共30页，创作于2023年2月7、最后的测量结果第18页，课件共30页，创作于2023年2月间接测量设N为间接测量量，x、y、z为独立的直接测量N=f(x、y、z)间接测量N的误差是分别由x、y、z在各自直接测量中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为:第19页，课件共30页，创作于2023年2月N的相对误差为:第20页，课件共30页，创作于2023年2月27.21520.5313.736.73027.1527.227.227.2527.2527.227.327.327.327.3527.127.127.127.227.220.4520.5020.52520.57520.620.5520.5520.620.6520.6520.3520.4520.4520.520.5513.6513.72513.713.77513.813.7513.813.813.8513.913.5513.6513.613.713.76.6756.7256.756.756.756.76.756.86.86.86.656.7

6.76.76.7000000000000000右左右左右左右左右左右左40％30％20％10％0％间接测量举例：已知:旋光性溶液的长度:L=10cm浓度：C0=0；C1=10%；C2=20%；C3=30%；C4=40%测得不同浓度的旋光度数据表第21页，课件共30页，创作于2023年2月求：旋光率a

注：i代表不同浓度1、由式得其中:2、第22页，课件共30页，创作于2023年2月b.坐标轴焦点用低于已知量、测量值最低值且与最低值相近的整数表示,不一定从零开始测量数据的表示方法c.数据过大或过小，分度应以表示，坐标轴不标数据点d.描点用·、*等标出。f.图线大约在或位置1、列表法：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表的符号、单位（在符号后并括起来））。同一个单位可标在表格右上方2、作图法:a.水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位e.注明图号、图名第23页，课件共30页，创作于2023年2月3、实验数据的直线拟合（一元线性回归）:给测量值配上一个最佳的直线方程的过程。设测得一组数（xi、yi）对于每一个测量值xi，它对应的测量值为yi，由公式(1)计算出xi对应的y值，再由公式(2)计算差值vi(1)(2)对于公式(1)，最佳的直线方程应该使得差值的平方和为最小，即第24页，课件共30页，创作于2023年2月r的绝对值越近于1，说明线性函数拟合是合理的。

r等于零或趋近于零，说明x、y两物理量根本不存在线性关系。得到分别求得第25页，课件共30页，创作于2023年2月27.21520.5316.7313.736.73027.1527.227.227.2527.2527.227.327.327.327.3527.127.127.127.227.220.4520.5020.52520.57520.620.5520.5520.620.6520.6520.3520.4520.4520.520.5516.67516.716.72516.7516.816.7516.816.816.8516.916.616.616.6516.6516.713.6513.72513.713.77513.813.7513.813.813.8513.913.5513.6513.613.713.76.6756.7256.756.