抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(a+x)=f(b-x)$，则函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称。推论1：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$（或$f(2a-x)=f(x)$），则函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=a$对称。推论2：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$，又若方程$f(x)=0$有$n$个根，则此$n$个根的和为$na$。定理2：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(a+x)+f(b-x)=c$（$a,b,c$为常数），则函数$y=f(x)$的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$对称。推论1：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(a+x)+f(a-x)=0$（$a$为常数），则函数$y=f(x)$的图像关于点$(a,0)$对称。定理3：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，则函数$y=f(a+x)$与$y=f(b-x)$两函数的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称。定理4：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，则函数$y=f(a+x)$与$y=c-f(b-x)$两函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$对称。性质1：对函数$y=f(x)$，若$f(a+x)=-f(b-x)$成立，则$y=f(x)$的图像关于点$(2,0)$对称。性质2：函数$y=f(x-a)$与函数$y=f(a-x)$的图像关于直线$x=a$对称。性质3：函数$y=f(a+x)$与函数$y=f(a-x)$的图像关于直线$x=0$对称。性质4：函数$y=f(a+x)$与函数$y=-f(b-x)$的图像关于点$(2,0)$对称。二、抽象函数的周期性定理5：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(x+a)=f(x-b)$，则$y=f(x)$是以$T=a+b$为周期的周期函数。定理6：若函数$y=f(x)$定义域为$R$，且满足条件$f(x+a)=-f(x-b)$，则$y=f(x)$是以$T=2(a+b)$为周期的周期函数。定理7：若函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=a$与$x=b$（$a\neqb$）对称，则$y=f(x)$是以$T=2(b-a)$为周期的周期函数。定理8：若函数$y=f(x)$的图像关于点$(a,0)$与点$(b,0)$（$a\neqb$）对称，则$y=f(x)$是以$T=2(b-a)$为周期的周期函数。定理9：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0)（a≠b）对称，那么y=f(x)是一个以T=4(b-a)为周期的周期函数。性质1：如果函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)且f(b-x)=f(b+x)（a≠b，ab≠0），那么函数f(x)有周期2(a-b)。性质2：如果函数f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)且f(b-x)=-f(b+x)（a≠b，ab≠0），那么函数有周期2(a-b)。特别地，如果函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)且f(x)是偶函数，那么