2022年上海第五十六中学高三数学理模拟试题含解析

2022年上海第五十六中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：解析：易得，在上单调递减，所以，故，选B．2.直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选B.3.已知为直线，为平面．在下列四个命题中，①

若，则

；

②

若，则；③

若，则；

④

若

，则．正确命题的个数是

▲

参考答案：2略4.已知集合M={},若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={};②M={};③M={};④.其中是“垂直对点集”的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．②④参考答案：D①是以轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以是“垂直对点集”.对于③,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M,N,满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”.,故选D．5.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的表面积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知命题，则 A． B．C． D．参考答案：A略7.等差数列的前n项和是Sn，若，，则S10的值为

A．55

B．60

C．65

D．70参考答案：C8.函数在区间[0，3]上的零点的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.函数图象的一条对称轴方程是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线(为参数)被双曲线截得的弦长为

.参考答案：略12.由下面的流程图输出的s为

；参考答案：25613.直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．参考答案：14.（几何证明选做题）如图所示．A，B是两圆的交点。AC是小圆的直径

D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点·

已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB=

．参考答案：15.已知点C在直线AB上运动，O为平面上任意一点，且()，则的最大值是

．

参考答案：略16.设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为

▲

参考答案：易知所以17.已知，则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分9分)过点的圆C与直线相切于点.（1）求圆C的方程；（2）已知点的坐标为，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值．参考答案：（1）由已知得圆心经过点，且与垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线上，所以求得圆心，半径为，所以圆C的方程为………4分（2）求得点关于直线的对称点，所以，所以的最小值是。…9分19.数列{an}满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.参考答案：（1）见解析，（2）【分析】（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.20.已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤?≤时，求k的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤?≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21.（1）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；（2）设，试比较与的大小，并证明你的结论.参考答案：解：（1）原问题等价于对任意恒成立，令，则，当时，恒成立，即在上单调递增，∴恒成立；当时，令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即存在使得，不合题意；综上所述，的取值范围是.（2）在（1）中取，得，令，上式即为，即，上述各式相加可得＜.

22.（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．参考答案：【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥平面ABC；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．证明：（Ⅰ）取AB的中点D，连结PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．﹣﹣﹣﹣（3分）∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB，又∵PC⊥AC，∴PC⊥平面ABC﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．设P（0，0，t）．﹣﹣﹣（8分）∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，