高中数学第三章导数及其应用本章整合课件新人教A版选修110829265

本章(běnzhānɡ)整合第三章导数(dǎoshù)及其应用第一页，共61页。第二页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4专题1

利用导数的几何意义求切线方程导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中,此时关键是抓住切点,它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题时若题中没有给出切点,往往需要设出切点.应用1若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=

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第三页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,又f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.解:(1)∵f'(x)=3ax2+6x-6a,且f'(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2.第四页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第五页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程:∵f(x)=-2x3+3x2+12x-11,∴f'(x)=-6x2+6x+12.由f'(x)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11;当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10.故y=12x+9不是公切线.由f'(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.当x=-1时,f(-1)=-18,此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9.故y=9是公切线.综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线.第六页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4专题2

利用导数研究函数的单调性、极值、最值利用导数研究函数的性质,彰显了导数是研究函数性质的强有力工具,因此,应熟练掌握利用导数研究函数性质的方法.(1)在研究函数的单调性方面,主要有两种题型:一是求单调区间;二是根据单调性求参数的取值范围,这类题目中,通常根据单调性得恒成立不等式,然后再分离参数求解.(2)在研究函数的极值方面,主要有三类题型:一是求极值;二是已知极值求参数值,在这类题中,由于导数为零是函数取得极值的必要非充分条件,所以解出结果后要注意检验;三是解答函数零点或方程根的个数问题.(3)在研究函数最值方面,主要是求最值与已知最值求参数.第七页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第八页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第九页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第十页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第十一页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4应用3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.第十二页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4解:(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.且函数过点(1,0),即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①当0<t≤2时,在区间(0,t)内f'(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,则f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.第十三页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4②当2<t<3时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.因为f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0.所以f(x)max=f(0)=2.第十四页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,则g'(x)=3x2-6x=3x(x-2).x∈(1,2)时,g'(x)<0;x∈(2,3)时,g'(x)>0,要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异实根,故实数c的取值范围是(-2,0].第十五页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4专题3

导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间[a,b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.第十六页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4应用1某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.第十七页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第十八页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第十九页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4应用2某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积

.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.第二十页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十一页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十二页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十三页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4专题4

数学思想方法1.分类讨论思想在导数中的应用分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”.通过分类讨论,可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题,从而使问题变得条理清晰,层次分明,易于解决.分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分类给出的题型中.例如,单调性的判断、求极值、求最大(小)值等问题往往要用到分类讨论.第二十四页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4应用1设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.解:(1)当k=1时,f(x)=x3-x2+x,f'(x)=3x2-2x+1.因为Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),没有单调递减区间.(2)当k<0时,f'(x)=3x2-2kx+1,Δ=4k2-12.所以函数f(x)在[k,-k]上单调递增,所以当m=k时,f(x)取得最小值m=f(k)=k,当x=-k时,f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.第二十五页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十六页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题42.转化与化归思想在导数中的应用转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化,归结为易解决的问题.应用2若函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是

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提示求出函数的单调区间,让极值点在(k-1,k+1)内.第二十七页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十八页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第二十九页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题43.数形结合思想在导数中的应用通过学习利用导数研究函数的极值与最值,结合以前所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法,给定一个函数,其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前,一些数学问题便能顺利解决.方程根的个数或者函数零点的个数问题即是数形结合在导数中的一个具体的应用.第三十页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第三十一页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第三十二页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第三十三页，共61页。专题(zhuāntí)1专题(zhuāntí)2专题(zhuāntí)3专题4第三十四页，共61页。234156789101112第三十五页，共61页。234156789101112第三十六页，共61页。234156789101112答案(dáàn):A第三十七页，共61页。2341567891011122.(2016·全国丙高考(ɡāokǎo))已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.

解析:当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:y=2x第三十八页，共61页。2341567891011123.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.

解析(jiěxī):∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.答案:3第三十九页，共61页。2341567891011124.(2015·课标全国(quánɡuó)Ⅰ高考)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.

解析:∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).答案:1第四十页，共61页。2341567891011125.(2015·课标全国Ⅱ高考)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.

∴切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线(zhíxiàn),∴a=0舍去,故a=8.答案:8第四十一页，共61页。2341567891011126.(2016·全国甲高考)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线(qūxiàn)y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).曲线(qūxiàn)y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.第四十二页，共61页。234156789101112第四十三页，共61页。2341567891011127.(2016·全国乙高考)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论(tǎolùn)f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解:(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).第四十四页，共61页。234156789101112第四十五页，共61页。234156789101112第四十六页，共61页。2341567891011128.(2016·全国丙高考(ɡāokǎo))设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.(1)解:由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=0解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.第四十七页，共61页。234156789101112第四十八页，共61页。2341567