江苏省扬州市第一高级中学2022年高三数学理月考试题含解析

江苏省扬州市第一高级中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若，则的取值范围是A．或

B．或

C．或

D．或

参考答案：B略2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A．(4,+∞)

B．[4,+∞)

C．(－∞,4)

D．(－∞,4]参考答案：B3.已知复数，若，则的值为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：D4.已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，由抛物线方程求得A（p，2p），结合双曲线的焦距，得到△AFF'是以AF'为斜边的等腰直角三角形．再根据双曲线定义，得实轴2a=2p（），而焦距2c=2p，由离心率公式可算出该双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'∵F是抛物线y2=4px的焦点，且AF⊥x轴，∴设A（p，y0），得y02=4p×p，得y0=2p，A（p，2p），因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2p∴双曲线的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|﹣|AF|=2p（）由此可得离心率为：e====故选：B【点评】本题给出双曲线与抛物线有共同的焦点，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线、抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．5.已知集合，若对任意，均不存在使得成立，则称集合为“好集合”，下列集合为“好集合”的是A.B.C.D.参考答案：【知识点】向量垂直的充要条件；渐近线方程；F3H6【答案解析】D

解析：，即存在两点与原点连线互相垂直。A存在

B切线方程为互相垂直，存在；C切线方程为互相垂直，存在；

D渐近线方程为，倾斜角小于所以不存在.故选D.【思路点拨】对于A:，即存在两点与原点连线互相垂直。A存在;对于B:B切线方程为互相垂直，存在；对于C:C切线方程为互相垂直，存在；对于D:D渐近线方程为，倾斜角小于所以不存在.6.在一个样本的频率分布直方图中，总共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其它8个小长方形的面积和的，且样本容量为90，则中间一组的频数为A.18 B.15 C.12 D.10参考答案：B7.已知集合，，则A∩B=（）A.{－3,－2,－1,0} B.{－1,0,1,2,3}C.{－3,－2} D.{－3,－2,－1,0,1,2,3}参考答案：B【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义可得结果.【详解】因为，∴．故选B．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.8.已知双曲线与抛物线在第一象限交于点P，若抛物线在点P处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为（

）A.2 B.4 C. D.参考答案：D【分析】设，求函数导数，利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出，根据双曲线的定义求出即可.【详解】设,左焦点,抛物线在第一象限对应的函数为，函数的导数，则在P处的切线斜率，又切线过焦点，所以，解得，则，设右焦点坐标为，则，即，所以，故选D.9.函数的图像为参考答案：D10.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比=

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足约束条件，时取得最大值，则a的取值范围是

参考答案：12.设变量满足约束条件：则的最小值为

参考答案：略13.将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有

种（用数字作答）参考答案：144014.设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．参考答案：515.设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围9是

。参考答案：（2，+∞）16.已知直角梯形,，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积

参考答案：17.函数的单调递减区间是

．参考答案：答案：（3，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[不等式证明选讲]

已知函数，（I）解不等式2；（II）若，求证：.参考答案：（Ⅰ）∵.因此只须解不等式.

当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.当时，原不式等价于，即.综上，原不等式的解集为.

……………5分（Ⅱ）∵又时，∴时，.

…………1019.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．（I）当时，求证平面（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的大小．参考答案：解：（Ⅰ）在平行四边形中，由，，，易知，…2分又平面，所以平面,∴，在直角三角形中，易得，在直角三角形中，，，又，∴，可得.∴，……5分又∵，∴平面．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，可知为二面角的平面角，，此时为的中点.……………8分过作,连结,则平面平面,作,则平面,连结,可得为直线与平面所成的角．因为,,所以.……………10分在中，，直线与平面所成角的大小为.……12分解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，（Ⅰ）由有，……………3分易得，从而平面ACE．……6分

(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.又，则E为的中点，即,………………8分设平面的法向量为则，令,得，…………10分

从而，所以与平面所成角大小为．………………12分略20.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，恒有f(ab)=af(b)+bf(a).(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(Ⅲ)若f(2)=2，，n∈N*，求数列{un}的前n项和Sn.参考答案：解析：(Ⅰ)解:f(0)=f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0.又∵f(1)=f(1×1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.(Ⅱ)∵f(1)=f[(－1)2]=－1·f(－1)－1·f(－1)=－2f(－1)=0，∴f(－1)=0∴f(－x)=f(－1·x)=－1·f(x)+x·f(－1)=－f(x)，∴f(x)为奇函数(Ⅲ)解法一：∵0=f(1)=f(2×2－1)=2f(2－1)+2－1f(2)=2f(2－1)+1，∴f(2－1)=－………9分又f(2－n)=f(2－n－1·2)=2－n－1f(2)+2f(2－n－1)=2－n+2f(2－n－1)∴2n+1f(2－n－1)－2nf(2－n)=－1∴数列{2nf(2－n)}是以2f(2－1)=－1为首项，以－1为公差的等差数列∴2nf(2－n)=－1+（n－1）·(－1)=－n∴un==－∴Sn==－1解法二：∵f(2n+1)=f(2n·2)=2nf(2)+2f(2n)=2n+1+2f(2n)∴=1+，∴－=1∴数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列∴=1+（n－1）·1=n，∴f(2n)=2n·n又∵f(1)=f(2n×2－n)=2nf(2－n)+2－nf(2n)=0∴un===－∴Sn==－1解法三：由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a)，f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a)，猜测f(an)=nan－1f(a).下面用数学归纳法证明①当n=1时，f(a1)=1·a0·f(a)，公式成立；②假设当n=k时公式成立，即f(ak)=kak－1f(a)，那么当n=k+1时，f(ak+1)=akf(a)+af(ak)=akf(a)=(k+1)akf(a)，公式仍成立.由①②可知，对任意n∈N，f(an)=nan－1f(a)成立∴un==f()又f(1)==f（2·）=2f()+f(2)=2f()+1=0，∴f()=－

∴un=－∴Sn==－1解法四：当ab≠0时，=+，令g(x)=，则g(ab)=g(a)+g(b).∴g(an)=ng(a)，所以f(an)=an·g(an)=nang(a)=nan－1f(a).以下同解法三21.（12分）已知中，角对边分别为，,(1)求的值；(2)若，求的面积。参考答案：【知识点】解三角形.C8【答案解析】（1）；（2）解析：（1）,，又，即sin（A+C）=，即.-----------6分（2）由（1）得：由正弦定理得,.---------12分【思路点拨】（1）利用同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，诱导公式及求解；（2）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理求边c，再由三角形面积公式求得结论.22.（本小题满分14分）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为函数（Ⅰ）若函数的解析式；

（Ⅱ）若函数上为增函数，且上都成立，求实数的取值范围参考答案：（Ⅰ）

解得，即切点坐标为

……………2分 切线方程为

……………