数学-突破导数压轴中的八大绝技之5.不等式放缩

5.不等式放缩一．基本原理首先来梳理常见的不等式及其构造原理.1.切线不等式：高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：；1.2；将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：①②；③；2.高次不等式放缩2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放缩3.13.24.数列不等式取：则：取：则：二．典例分析例1.证明：当时，.解析：一方面，由，得，当且仅当时取到等号.另一方面：不等式，当且仅当时取到等号.于是可知，为函数和的公切线，且切点不同.于是，证毕.注：此题实质和下面这道2013年高考试题同源.练习1.（2013新课标2）已知函数（1）设是的极值点，求,并讨论的单调性；（2）当时，证明．例2.已知函数的导函数为.（1）当时，判断的零点个数，并说明理由.（2）证明：，.解析：本题仅就第二问的命题手法做一解析将所证不等式转化为，令，可知，利用导数可证得，由此可得到，令，只需证明当时，即可.练习2.已知函数.（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，.此处仅从不等式放缩角度给出第二问的原理.一方面，由于，等号成立当且仅当，另一方面，，等号成立当且仅当.将上述两式相乘可得：因此，只需证明：成立即可.这个不等式易证，此处不再赘述.在不等式试题中，还经常考察与对数有关的数列不等式，下面我们通过一个例子，展示其基本手法.例3．（2017新课标3卷）已知函数．（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．解：（1）的定义域为．①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当时，．故．（2）由（1）知当时，令得，从而故，而，所以的最小值为3．三．习题演练习题1.（成都市2018届二诊）已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.解析：（1）由，得恒成立，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是；（2）有（1）知时，有，所以.＝1\*GB3①要证，可证，只需证，易证，所以；＝2\*GB3②要证，可证，易证.由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.习题2.（安庆市2018届联考）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，都有.解析：（1），令，则，当时，，所以，当时，，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减；（2）要证明，即证，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.要证，只需再证即可.易证，当且仅当时取等号（证明略），所以，综上所述，当时，都有.习题3.已知函数．（1）当时,讨论的单调性；（2）当时,,求a的取值范围；（3）设,证明：．解析：（1）略.（2）设,则,又,设,则,若,则,故存在,使得,总有,故在为增函数,故时,故在为增函数,故时,与题设矛盾.若,则,设,故,故在上为减函数,故,即时成立.所以,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,,所以,所以在上为减函数,所以.综上,a的取值范围是.（3）取,则,总有成立,令,则,故即对任意的恒成立.所以对任意的,有,整理得,故,故不等式成立.整套系列资料八讲见：数学-突破导数压轴中的八大绝技之1.参数分离数学-突破导数压轴中的八大绝技之2.同构四大类型数学-突破导数压轴中的八大绝技之3.主元十例数学-突破导数压轴中的八大绝技之4.隐零点数学-突破导数压轴中的八大绝技之