2023年山东省郯城县高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）A． B．C． D．2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A． B． C． D．3．凸10边形内对角线最多有()个交点A． B． C． D．4．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A． B． C． D．5．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.806．若复数满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．7．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．8．已知i为虚数单位，z，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣29．已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值10．函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．11．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是()A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤12．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．14．有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为________厘米15．在四棱锥中，底面是等腰梯形，其中∥，若，，且侧棱与底面所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________．16．已知定义在R上的可导函数f（x）满足，若，则实数m的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.18．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线截曲线所得的弦长为，求的值.19．（12分）已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，证明：.20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．（12分）在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.22．（10分）已知数列满足,且（1）求及；(2)设求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由图象可知，函数在时是增函数，因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C．从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以．所以可排除C．故选D．【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．2、B【解析】

建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.【详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得,所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，所以异面直线和所成的角为，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、D【解析】

根据凸边形内对角线最多有个交点的公式求得.【详解】凸边形内对角线最多有个交点，又，故选D.【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.4、D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故,点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用5、B【解析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．6、A【解析】

根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【详解】由题意得：本题正确选项：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.7、C【解析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.8、C【解析】

根据复数的运算法则，化简得，即可得到复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解析】

通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.【详解】由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选A.【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.10、C【解析】

先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查由函数的单调性与奇偶性解不等式，熟记函数基本性质即可，属于常考题型.11、B【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋qlnx较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.12、A【解析】

利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】由三角形的内角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故选：A【点睛】本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设，从而即可计算.详解：记中点为E，并连接，是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，设，，.故答案为.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．14、6【解析】

设水面的高度为，根据圆锥体的体积等于全部玻璃的体积加上水的体积列方程求解即可.【详解】解：设在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内水面的高度为，则，解得.故答案为：6.【点睛】本题考查圆锥体积和球的体积的运算，关键要找到体积之间的关系，是基础题.15、【解析】

过作于，求得，，，设为的中点，则，由题意得顶点在底面的射影为，且，再根据体积公式即可求出答案．【详解】解：过作于，∵，，∴，，∴，设为的中点，则，∵侧棱与底面所成的角均为45°，∴顶点在底面的射影到各顶点的距离相等，即为等腰梯形的外接圆的圆心，即为点，∴为四棱锥的高，即平面，∴，∴该棱锥的体积，故答案为：．【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题．16、【解析】

试题分析：令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为．考点：导数及运用．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】

（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，根据题意求出，再由，即可得出结果；(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.则.所以.所以所求的分布列是所以.【点睛】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.18、（1）（2）【解析】

（1）利用即得解.（2）将直线的参数方程代入，利用直线参数方程的几何意义弦长为，代入即得解.【详解】解：（1）曲线的极坐标方程为又由于，曲线的直角坐标方程为，即，（2）将直线的方程代入，得：，整理得：，设方程的两根分别为，则且弦长为=则，又，，因此.【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合应用，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）由曲线在点处的切线平行于轴，可得，从而得到答案；（Ⅱ）令函数，要证，即证，利用导数求出的最小值即可。【详解】（Ⅰ）由题可得;，由于曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得：；（Ⅱ）当时，，要证明，即证：；令，求得；令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，则，即，从而。【点睛】本题考查导数的几何意义，以及导数在研究函数中的应用，本题解题的关键是构造函数，利用导数求出函数的最小值，属于中档题。20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用利润总售价总成本，根据的范围分段考虑关于的解析式，注意每一段函数对应的定义域；（2）求解中的每段函数的最大值，然后两段函数的最大值作比较得到较大值，即为最大利润.【详解】（1）当时，，当时，，所以；（2）当时，，所以当时，（万元）；当时，，取等号时即，所以（万元）（万元），所以年产量为千件时，所获利润最大.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式在实际问题中应用，难度一般.（1）求解实际问题中的函数解析式时，一定要注意函数的定义域；（2）利用基本不等式求解最值时要注意取等号的条件.21、（1）（2）【解析】

（1）由已知边的关系配凑出余弦定理的形式，求得，根据的范围求得结果；（2）利用两角和差正弦公式和辅助角公式将整理为，由可求得的范围，进而结合正弦函数的图象可求得的值域，从而得到所求范围.【详解】（1）由得：，即：（2）的取值范围为：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形中取值范围类问题的求解，关键是能利