2023年上海市嘉定区封浜高级中学高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2 B．4 C．6 D．82．数列，满足，，，则数列的前项和为（）．A． B． C． D．3．已知为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数（）A． B． C． D．5．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为A． B． C． D．6．已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．C．或 D．8．某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．1209．已知集合，，则（）A． B． C． D．10．已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知是函数的一个零点，若，则（）A．, B．,C．, D．,12．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（）A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量{1，取出白球；0，取出红球}D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直角坐标系下点的极坐标为______.14．已知，则________.15．已知复数z满足，则_____．16．已知，其中为实数，为虚数单位，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.19．（12分）已知函数.(1)若曲线在处的切线过点,求的值;(2)是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理山.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．21．（12分）甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.22．（10分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．【详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝1．故选B．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．2、D【解析】

由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【详解】因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，，数列的前项和为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.3、B【解析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、D【解析】

通过复数是纯虚数得到，得到，化简得到答案.【详解】复数（为虚数单位）是纯虚数故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.5、B【解析】

建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值．【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，设点，则，，，，，则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，，因此，，故选B．【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题．6、B【解析】分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.7、A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．8、B【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．9、B【解析】

可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{1，2}．故选：B．【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．10、B【解析】设和的夹角为∵在上存在极值∴有两个不同的实根，即∵∴，即∵∴故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.11、B【解析】

转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当时,在下方,即；当时,在上方,即,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想12、A【解析】

两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，，，满足定义，不满足.【详解】两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，，，满足定义，而，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量，则的所有可能的结果有6种，不是两点分布．故选：．【点睛】本题考查了两点分布的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，将直角坐标化为极坐标。【详解】，，又因为位于第三象限且，所以，所以极坐标为【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化，解题的关键是注意角的取值范围，属于基础题。14、【解析】

将分子化为，然后在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切的思想进行计算.【详解】，故答案为.【点睛】本题考查利用弦化切思想进行求值，弦化切一般适用于以下两种情况：（1）分式是关于角的次分式齐次式，在分式的分子和分母中同时除以，可将分式化为切的代数式进行计算；（2）角弦的二次整式，先除以，将代数式化为角的二次分式齐次式，然后在分式的分子和分母中同时除以，可将代数式化为切的代数式进行计算.15、【解析】

求出复数，代入模的计算公式得.【详解】由，所以.【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.16、【解析】

将左边的复数利用乘法法则表示为一般形式，然后利用复数相等，得出虚部相等，求出的值．【详解】，所以，故答案为．【点睛】本题考查复数相等条件的应用，在处理复数相等时，将其转化为“实部与实部相等，虚部与虚部相等”这一条件，考查对复数概念的理解，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见证明【解析】

（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.18、（1）证明见详解；（2）【解析】

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明；

（2）设，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），

，，

，∴；

（2）∵F为棱PC上一点，满足，

∴设，，

则，

，

∵，，解得，

，

设平面ABF的法向量，

则，取，得，

平面ABP的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则，

∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（1）或（2）存在，使得不等式成立，详见解析【解析】

（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程，由切线过点可求得参数，从而得切线方程；（2），要使恒成立，则是的极小值点，先由此结论求出参数，然后验证是极小值，也是最小值点．【详解】（1）∴曲线在处的切线方程为又切线过点∴∴或（2）的定义域为，要使恒成立，则是的极小值点.∵∴，∵，∴此时，，当时，，当时，，∴在处取得极小值1，∴当时，，当时，，即∴当时，恒成立，∴【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题，通常转化为求函数极值．本题通过不等式恒成立及，因此问题转化为就是极小值，从而先求出参数的值，然后再证明恰是极小值即可．20、．【解析】分析：先求圆心C到直线l的距离d＝，再解不等式即得m的范围.详解：圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝1．直线l的极坐标方程化为ρ(cosθ＋sinθ)＝，即x＋y＝，化简得x＋y－2＝2．因为圆C的圆心为C(m，2)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，所以d＝＜2，解得2－2＜m＜2＋2．点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)判断直线与圆的位置关系常用的是几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③21、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求基本事件总数，再求点数之和是4的倍数事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先求基本事件总数，再求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A，基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故P(A)=；（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B，基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故P(B)=．答