【解析】2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：代数式

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2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：代数式

一、选择题

1．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

【答案】A

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故答案为：A.

【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.

2．（2023·济宁）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（）

A．B．C．D．2

【答案】A

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：∵，

∴

∴以四个数为一个循环，

∵2023=505×4+3，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据题意计算出，进而即可得到以四个数为一个循环，再根据题意即可求解。

3．（2023·常德）若，则()

A．5B．1C．D．0

【答案】A

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】根据题意即可得到，进而代入求值即可求解。

4．（2023·常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为()

……

A．2023B．2023C．2022D．2023

【答案】C

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得位于第几列，分子就为几，且只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，

∴b=20，

∴向前推算到第一列分式时，

∴a=2042，

∴=2022，

故答案为：C

【分析】根据题意找出数与式的规律即可求解。

5．（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）

A．39B．44C．49D．54

【答案】B

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意得

第①个图案用了9根木棍，木棍数=1×5+4=9；

第②个图案用了14根木棍，木棍数=2×5+4=14；

第③个图案用了19根木棍，木棍数=3×5+4=19；

第④个图案用了24根木棍，木棍数=4×5+4=24；

第⑧个图案用的木棍数为8×5+4=44，

故答案为：B

【分析】直接根据题意找出木棍数的规律，进而即可求解。

6．（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）

A．14B．20C．23D．26

【答案】B

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意得

第①个图案中有2个圆圈，圆圈数=1×3-1=2；

第②个图案中有5个圆圈，圆圈数=2×3-1=5；

第③个图案中有8个圆圈，圆圈数=3×3-1=8；

第④个图案中有11个圆圈，圆圈数=4×3-1=11；

第⑦个图案中圆圈的个数为7×3-1=20，

故答案为：B

【分析】直接根据题意找出圆圈个数的规律，进而即可求解。

7．（2023·内江）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）

A．199B．200C．201D．202

【答案】C

【知识点】代数式求值；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得，

，，，

，，，

，

∴，

故答案为：C

【分析】根据题意找到数与式的规律，进而即可求解。

8．（2023·达州）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：∵曲线是由多段的圆心角的圆心为，

∴每一次的弧的半径比前一次的多，

∴，，，，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据曲线是由多段的圆心角的圆心为，每一次的弧的半径比前一次的多，进而即可得到，，再结合弧长的公式进行计算即可求解。

9．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．

下列说法：

①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；

③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．

其中正确的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：

①∵，

∴，故①正确；

②∵，

∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，

∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；

③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：

；

；

；

；

；

∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；

故答案为：C

【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。

二、填空题

10．（2023·怀化）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么．

【答案】1

【知识点】定义新运算

【解析】【解答】解：∵，

∴2x·3+3×（-1）=3，

解得：x=1，

故答案为：1.

【分析】根据所给的定义先求出2x·3+3×（-1）=3，再解方程求解即可。

11．（2023·济宁）已知实数满足，则．

【答案】8

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：8

【分析】先根据题意即可得到，进而结合题意进行转化，再代入求值即可求解。

12．（2023·河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发套劳动工具．

【答案】3n

【知识点】列式表示数量关系

【解析】【解答】解：由题意可得：3个年级共需配发3n套劳动工具.

故答案为：3n.

【分析】根据每个年级配发的套数×年级数进行解答.

13．（2023·十堰）若，，则的值是．

【答案】6

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵x+y=3，xy=2，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=3×2=6.

故答案为：6.

【分析】对待求式因式分解可得xy(x+y)，然后将已知条件代入进行计算.

14．（2023·十堰）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）．

【答案】

【知识点】探索图形规律

【解析】【解答】解：第①个图案需要火柴棒的根数为12=6+6×1；

第②个图案需要火柴棒的根数为18=6+6×2；

第③个图案需要火柴棒的根数为24=6+6×3；

……

第n个图案需要火柴棍的根数为6+6n.

故答案为：6+6n.

【分析】根据图案分别表示出第①、②、③个图案需要火柴棒的根数，进而可推出第n个图案需要火柴棍的根数.

15．（2023·随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．

【答案】10

【知识点】推理与论证；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了3次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，……

∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数，

∴约数个数是奇数，则n一定是平方数.

∵100=102，

∴100以内共有10个平方数，

∴最终状态为“亮”的灯共有10盏.

故答案为：10.

【分析】由题意可得：n号开关被按的次数等于n的约数的个数，则约数个数是奇数，n一定是平方数，据此解答.

16．（2023·枣庄）若是关x的方程的解，则的值为．

【答案】2023

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【解答】将代入，

可得：9a-3b=6，

∴3a-b=2，

∴，

故答案为：2023.

【分析】先将x=3代入方程求出3a-b=2，再将其代入计算即可。

17．（2023·广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是．

【答案】

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：由题意得，

∴x-y=2，

∴，

故答案为：

【分析】先根据新定义运算即可求出x-y=2，再根据题意即可求解。

18．（2023·遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．

【答案】

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，

∴n烷的化学式为CnH2n+2，

∴十二烷的化学式为，

故答案为：

【分析】先根据题意列出甲烷、乙烷、丙烷的化学式，进而即可找出规律求解。

19．（2023·凉山）已知，则的值等于．

【答案】2023

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：

∵，

∴，，

∴，

故答案为：2023

【分析】先根据题意得到，，带代入即可求解。

20．（2023·聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

【答案】

【知识点】探索数与式的规律；有序数对

【解析】【解答】解：由题意得每个数对的第一个数为3，7，13，21，31，，，

每个数对的第二个数为5，10，17，26，37，，，

∴第n个数对为，

故答案为：

【分析】根据数对的定义结合题意找出每个数变化的规律即可求解。

21．（2023·怀化）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为，点的坐标为．

【答案】；

【知识点】点的坐标；探索图形规律

【解析】【解答】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)，

∴OA=1，

∵每次旋转角度为60°，

∴6次旋转360°，

第一次旋转后，A1在第四象限，OA1=2，

第二次旋转后，A2在第三象限，OA2=22，

第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，

第四次旋转后，A4在第二象限，OA4=24，

第五次旋转后，A5在第一象限，OA5=25，

第六次旋转后，A6在轴正半轴，OA6=26，

……

如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，

∵2023÷6=337...1，

∴点A2023在第四象限，且0A2023=22023，

如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，

∵在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，

∴OH=OA2023·cos∠HOA2023=22023xcos60°=22023x=22022，

∴A2023H=OA2023sin∠HOA2023=22023+=，

∴点的坐标为，

故答案为：22023，.

【分析】根据题意找出规律求出每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，再结合图形计算求解即可。

22．（2023·广安）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为．

【答案】

【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，如图所示：

∵点的坐标为，

∴A1O=2，

当x=2时，，

∴M（2，），

∴A1M=，

∴，

∴，

∵均为等边三角形，

∴

∴，

∴，

同理可得点的纵坐标为，

点的纵坐标为，

点的纵坐标为，

∴点的纵坐标为，

∴点的纵坐标为，

故答案为：

【分析】过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，进而得到，再根据等边三角形的性质即可得到，进而即可得到，得到点B1的纵坐标，同理即可求出的纵坐标、的纵坐标、的纵坐标、进而即可得到规律，再结合题意即可求解。

23．（2023·成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

【答案】15；57

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意可得：

当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，

当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，

当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，

当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，

当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，

当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，

……

当m=6时，有4个智慧优数，

当m=7时，有5个智慧优数，

当m=8时，有6个智慧优数，

1+2+3+4+5+6=21.

又∵两数之间的差越小，平方越小，

∴后面也有智慧优数比较小的，

∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，

第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，

故答案为：15，57.

【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。

24．（2023·重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．

【答案】；8165

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得10a+3-21=12，

∴a=4，

∴这个数为4312；

∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，

∴10a-9b-11c=d，

∴一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b=99（a+b）+11a+2b

∴为整数，

∵要求最大“递减数”，

∴a=8，b=1，

∴71-11c=d，

∴c最大为6，

∴d=5，

∴满足条件的数的最大值是8165，

故答案为：4312，8165

【分析】根据“递减数”的定义直接求解即可。

25．（2023·重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．

【答案】6200；9313

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：∵它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，

∴最小的“天真数”为6200，

∵M的千位数字为a（6≤a≤9），百位数字为b（2≤b≤9），十位数字为c，个位数字为d，

∴a-d=6，b-c=2，

∴c+d=a+b-8，

∵要求满足条件的M的最大值，

∴a=9，

∴，

∵能被10整除，2≤b≤9，

∴b=3，

∴M为9313，

故答案为：6200，9313

【分析】根据题目中“天真数”的定义即可求出最小的“天真数”，再结合题意得到a-d=6，b-c=2，c+d=a+b-8，且a=9，进而即可得到，接着根据“能被10整除”即可求出b的值，进而即可求解。

三、综合题

26．（2023·枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：

（1），；

（2）若，求x的值．

【答案】（1）1；2

（2）解：若时，即时，则

，

解得：，

若时，即时，则

，

解得：，不合题意，舍去，

，

【知识点】解一元一次方程；定义新运算

【解析】【解答】（1）∵42×（-3），

∴，

故答案为：1，2.

【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；

（2）分类讨论，再根据题干中的定义及计算方法求解即可。

27．（2023·遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．

（1）求的值；

（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．

【答案】（1）解：∵，

∴；

（2）解：∵，

∴，

整理得，

∵关于x的方程有两个实数根，

∴，且，

解得且．

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据题目规定的运算即可求解；

（2）先根据题目规定的运算即可得到，再结合题意根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可求解。

28．（2023·嘉兴）观察下面的等式：

（1）写出的结果．

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．

【答案】（1）

（2）

（3）

。

∴结论正确．

【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：（1）；

（2）

【分析】（1）观察可得192-172的结果；

（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；

（3）根据平方差公式进行证明.

29．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程：，；

（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；

（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．

抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．

【答案】（1）（0，1）；y=-1

（2）解：∵抛物线y=的焦点F（0，1），准线方程l：y=-1

P点到焦点F的距离等于它到准线y=-1的距离

∴PF=+1=3

∴=∴

解得＝或＝-（舍）

∴P（，）

（3）3-.

（4）解：过点D作直线y=-2E

∵y=的焦点是（0，0），准线方程是y=-2

P点到焦点的距离等于它到准线的距离

∴PO=PE

∴当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值

此时P点坐标是（，）

∴S△POD×1×（）

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；定义新运算；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0，1），准线方程为y=-1.

故答案为：（0，1），y=-1.

（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，

∵直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=x+b，

将F（0，1）代入可得b=1，

∴直线PE的解析式为y=x+1.

∵点P是直线PE和抛物线的交点，

∴联立y=x+1与y=x2，

解得x=-1，

∴P（-1，），

∴d1=-1=.

∵E是直线PE和直线m的交点，

∴联立y=x+1与y=x-3，

得x=4，

∴E（4，-1），

∴d2==，

∴d1+d2=+==3-，

∴d1+d2的最小值为3-.

【分析】（1）直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；

（2）由题意可得PF=y0+1=3y0，求出y0的值，代入抛物线解析式中求出x0的值，据此可得点P的坐标；

（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=x+1，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P的坐标，进而可得d1，联立PE与直线m的解析式求出x、y，得到点E的坐标，利用两点间距离公式可得d2，据此求解；

（4）过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E，易得y=x2-1的焦点是（0，0），准线方程是y=-2，由题意可得PO=PE，故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是（-1，-），然后根据三角形的面积公式进行计算.

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2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：代数式

一、选择题

1．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

2．（2023·济宁）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（）

A．B．C．D．2

3．（2023·常德）若，则()

A．5B．1C．D．0

4．（2023·常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为()

……

A．2023B．2023C．2022D．2023

5．（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）

A．39B．44C．49D．54

6．（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）

A．14B．20C．23D．26

7．（2023·内江）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）

A．199B．200C．201D．202

8．（2023·达州）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角的圆心为，半径为；的圆心为，半径为的圆心依次为循环，则的长是（）

A．B．C．D．

9．（2023·重庆）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，……．

下列说法：

①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为；

③所有的“绝对操作”共有种不同运算结果．

其中正确的个数是（）

A．B．C．D．

二、填空题

10．（2023·怀化）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么．

11．（2023·济宁）已知实数满足，则．

12．（2023·河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发套劳动工具．

13．（2023·十堰）若，，则的值是．

14．（2023·十堰）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为（用含n的式子表示）．

15．（2023·随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．

16．（2023·枣庄）若是关x的方程的解，则的值为．

17．（2023·广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是．

18．（2023·遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．

19．（2023·凉山）已知，则的值等于．

20．（2023·聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

21．（2023·怀化）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为，点的坐标为．

22．（2023·广安）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为．

23．（2023·成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

24．（2023·重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．

25．（2023·重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．

三、综合题

26．（2023·枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：

（1），；

（2）若，求x的值．

27．（2023·遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．

（1）求的值；

（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．

28．（2023·嘉兴）观察下面的等式：

（1）写出的结果．

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．

29．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程：，；

（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；

（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；

（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．

抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．

请阅读上面的材料，探究下题：

如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，

故答案为：A.

【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.

2．【答案】A

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：∵，

∴

∴以四个数为一个循环，

∵2023=505×4+3，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据题意计算出，进而即可得到以四个数为一个循环，再根据题意即可求解。

3．【答案】A

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】根据题意即可得到，进而代入求值即可求解。

4．【答案】C

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得位于第几列，分子就为几，且只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，

∴b=20，

∴向前推算到第一列分式时，

∴a=2042，

∴=2022，

故答案为：C

【分析】根据题意找出数与式的规律即可求解。

5．【答案】B

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意得

第①个图案用了9根木棍，木棍数=1×5+4=9；

第②个图案用了14根木棍，木棍数=2×5+4=14；

第③个图案用了19根木棍，木棍数=3×5+4=19；

第④个图案用了24根木棍，木棍数=4×5+4=24；

第⑧个图案用的木棍数为8×5+4=44，

故答案为：B

【分析】直接根据题意找出木棍数的规律，进而即可求解。

6．【答案】B

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：由题意得

第①个图案中有2个圆圈，圆圈数=1×3-1=2；

第②个图案中有5个圆圈，圆圈数=2×3-1=5；

第③个图案中有8个圆圈，圆圈数=3×3-1=8；

第④个图案中有11个圆圈，圆圈数=4×3-1=11；

第⑦个图案中圆圈的个数为7×3-1=20，

故答案为：B

【分析】直接根据题意找出圆圈个数的规律，进而即可求解。

7．【答案】C

【知识点】代数式求值；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得，

，，，

，，，

，

∴，

故答案为：C

【分析】根据题意找到数与式的规律，进而即可求解。

8．【答案】A

【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律

【解析】【解答】解：∵曲线是由多段的圆心角的圆心为，

∴每一次的弧的半径比前一次的多，

∴，，，，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】先根据曲线是由多段的圆心角的圆心为，每一次的弧的半径比前一次的多，进而即可得到，，再结合弧长的公式进行计算即可求解。

9．【答案】C

【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：

①∵，

∴，故①正确；

②∵，

∴在“绝对操作”后，x和y前的符号不会发生变化，而z、n、m前的符号有可能发生变化，

∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确；

③由题意得，再进行“绝对操作”时，可能会产生：

；

；

；

；

；

∴一共可以产生5种运算结果，故③错误；

故答案为：C

【分析】根据“绝对操作”的定义，运用绝对值的性质即可求解。

10．【答案】1

【知识点】定义新运算

【解析】【解答】解：∵，

∴2x·3+3×（-1）=3，

解得：x=1，

故答案为：1.

【分析】根据所给的定义先求出2x·3+3×（-1）=3，再解方程求解即可。

11．【答案】8

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：8

【分析】先根据题意即可得到，进而结合题意进行转化，再代入求值即可求解。

12．【答案】3n

【知识点】列式表示数量关系

【解析】【解答】解：由题意可得：3个年级共需配发3n套劳动工具.

故答案为：3n.

【分析】根据每个年级配发的套数×年级数进行解答.

13．【答案】6

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：∵x+y=3，xy=2，

∴x2y+xy2=xy(x+y)=3×2=6.

故答案为：6.

【分析】对待求式因式分解可得xy(x+y)，然后将已知条件代入进行计算.

14．【答案】

【知识点】探索图形规律

【解析】【解答】解：第①个图案需要火柴棒的根数为12=6+6×1；

第②个图案需要火柴棒的根数为18=6+6×2；

第③个图案需要火柴棒的根数为24=6+6×3；

……

第n个图案需要火柴棍的根数为6+6n.

故答案为：6+6n.

【分析】根据图案分别表示出第①、②、③个图案需要火柴棒的根数，进而可推出第n个图案需要火柴棍的根数.

15．【答案】10

【知识点】推理与论证；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了3次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，……

∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数，

∴约数个数是奇数，则n一定是平方数.

∵100=102，

∴100以内共有10个平方数，

∴最终状态为“亮”的灯共有10盏.

故答案为：10.

【分析】由题意可得：n号开关被按的次数等于n的约数的个数，则约数个数是奇数，n一定是平方数，据此解答.

16．【答案】2023

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【解答】将代入，

可得：9a-3b=6，

∴3a-b=2，

∴，

故答案为：2023.

【分析】先将x=3代入方程求出3a-b=2，再将其代入计算即可。

17．【答案】

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：由题意得，

∴x-y=2，

∴，

故答案为：

【分析】先根据新定义运算即可求出x-y=2，再根据题意即可求解。

18．【答案】

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，

∴n烷的化学式为CnH2n+2，

∴十二烷的化学式为，

故答案为：

【分析】先根据题意列出甲烷、乙烷、丙烷的化学式，进而即可找出规律求解。

19．【答案】2023

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：

∵，

∴，，

∴，

故答案为：2023

【分析】先根据题意得到，，带代入即可求解。

20．【答案】

【知识点】探索数与式的规律；有序数对

【解析】【解答】解：由题意得每个数对的第一个数为3，7，13，21，31，，，

每个数对的第二个数为5，10，17，26，37，，，

∴第n个数对为，

故答案为：

【分析】根据数对的定义结合题意找出每个数变化的规律即可求解。

21．【答案】；

【知识点】点的坐标；探索图形规律

【解析】【解答】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)，

∴OA=1，

∵每次旋转角度为60°，

∴6次旋转360°，

第一次旋转后，A1在第四象限，OA1=2，

第二次旋转后，A2在第三象限，OA2=22，

第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，

第四次旋转后，A4在第二象限，OA4=24，

第五次旋转后，A5在第一象限，OA5=25，

第六次旋转后，A6在轴正半轴，OA6=26，

……

如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，

∵2023÷6=337...1，

∴点A2023在第四象限，且0A2023=22023，

如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，

∵在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，

∴OH=OA2023·cos∠HOA2023=22023xcos60°=22023x=22022，

∴A2023H=OA2023sin∠HOA2023=22023+=，

∴点的坐标为，

故答案为：22023，.

【分析】根据题意找出规律求出每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，再结合图形计算求解即可。

22．【答案】

【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，如图所示：

∵点的坐标为，

∴A1O=2，

当x=2时，，

∴M（2，），

∴A1M=，

∴，

∴，

∵均为等边三角形，

∴

∴，

∴，

同理可得点的纵坐标为，

点的纵坐标为，

点的纵坐标为，

∴点的纵坐标为，

∴点的纵坐标为，

故答案为：

【分析】过点A1作A1M⊥x轴交直线于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，进而得到，再根据等边三角形的性质即可得到，进而即可得到，得到点B1的纵坐标，同理即可求出的纵坐标、的纵坐标、的纵坐标、进而即可得到规律，再结合题意即可求解。

23．【答案】15；57

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意可得：

当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，

当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，

当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，

当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，

当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，

当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，

……

当m=6时，有4个智慧优数，

当m=7时，有5个智慧优数，

当m=8时，有6个智慧优数，

1+2+3+4+5+6=21.

又∵两数之间的差越小，平方越小，

∴后面也有智慧优数比较小的，

∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，

第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，

故答案为：15，57.

【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。

24．【答案】；8165

【知识点】探索数与式的规律

【解析】【解答】解：由题意得10a+3-21=12，

∴a=4，

∴这个数为4312；

∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，

∴10a-9b-11c=d，

∴一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为100a+10b+c+100b+10c+d=10