2022-2023学年河北省石家庄重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数满足，则的共轭复数为()

A.B.C.D.

2.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则的面积为()

A.B.C.D.

4.如图，在中，为线段上的一点，，且，()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.如图，在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于()

A.

B.

C.

D.

6.已知两个单位向量的夹角是，则()

A.B.C.D.

7.在中，、、分别是角、、的对边，若，则()

A.B.C.D.

8.如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是()

A.B.平面

C.平面D.平面平面

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.以下关于平面向量的说法中，正确的是()

A.既有大小，又有方向的量叫做向量B.所有单位向量都相等

C.零向量没有方向D.平行向量也叫做共线向量

10.在中，，，，则角可能是()

A.B.C.D.

11.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有()

A.

B.平面

C.与平面所成角是

D.与所成的角等于与所成的角

12.如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是()

A.

B.平面

C.的面积与的面积相等

D.三棱锥的体积为定值

三、填空题（本大题共5小题，共32.0分）

13.，则______．

14.已知向量，，若，则实数的值为．

15.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为______．

16.已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的表面积为______．

17.已知、、分别是的三个内角、、的对边，若面积为，，，求，及角的值．

四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

如图所示：直三棱柱中，是中点，证明：平面．

19.本小题分

在棱长为的正方体中，点是的中点，求点到平面的距离．

20.本小题分

如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点求证：平面．

21.本小题分

在中，角，，的对边分别为，，，且满足．

求角；

若为边的中点，且，，求的周长．

22.本小题分

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．

求证：平面；

求二面角平面角的大小．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：依题意，，

所以．

故选：．

利用复数的除法运算及共轭复数的意义求解作答．

本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．

根据向量的坐标运算及，计算判断即可．

【解答】

解：根据，

选项A：，则，，无解，故A不能；

选项B：，则，，解得，，，故B能；

选项C：，则，，无解，故C不能；

选项D：，则，，无解，故D不能．

故答案选：．

3.【答案】

【解析】解：，，分别为三个内角，，的对边，且，，，

则的面积为：．

故选：．

直接利用三角形的面积公式，转化求解即可．

本题考查三角形的面积的求法，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：在中，为线段上的一点，，且，

则：，

整理得：，

由于：，

所以：，．

故选：．

直接利用向量的共线的充要条件和向量的减法求出结果．

本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，向量的线性运算，属于基础题型．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中求出此角即可．

【解答】

解：如图，连B、、，则，

且B、，

所以异面直线与所成的角等于，

故本题选B．

6.【答案】

【解析】解：因为两个单位向量的夹角是，

所以．

故选：．

根据向量模的运算法则运算求解即可．

本题主要考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：因为，

所以，

即，

因为，所以，

因为，所以．

故选：．

由，利用正弦定理将边转化为角，利用三角恒等变换求解．

本题考查正弦定理相关知识，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：翻折前，，，翻折后，对应地有，，，

，则平面，平面，故平面平面，选项一定成立；

对于选项，由上可知，二面角的平面角为，

在翻折的过程中，会发生变化，则与不一定垂直，

即与平面不一定垂直，故B选项不一定成立；

对于选项，设，在图一中，，

所以，，可得，，

因为，则，

故，所以，

在图二中，过点在平面内作交于点，连接，

则，故BE，则，

又因为，故E不为的中点，

因为，，则，

若，且，则平面，

平面，则，

由于、平面，且，故A，

由于为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，选项不成立；

对于选项，由选项可知，因为，平面，平面，

所以，平面，

若平面，，则平面平面，

因为平面平面，平面平面，则，

由于为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，选项不成立．

故选：．

利用反证法可判断选项；

由二面角的变化可判断选项；

利用反证法结合面面平行的性质可判断选项；

利用面面垂直的判定定理可判断选项．

本题主要考查空间中之先河直线、直线和平面之间的关系，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正确；

所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B错误；

零向量的方向是任意的，故C错误；

平行向量也叫做共线向量，故D正确．

故选：．

由向量及其有关概念逐一分析四个选项得答案．

本题考查向量的基本概念，是基础题．

10.【答案】

【解析】解：在中，由正弦定理知，，

故，

因，且，

所以或．

故选：．

根据题意，结合正弦定理即可求解．

本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：底面，，

四边形是正方形，，

，平面，，故A正确；

，平面，平面，平面，故B正确；

是在平面内的射影，与平面所成角是，故C正确；

，与所成的角等于与所成角，故C正确．

故选：．

利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而判定；根据，利用线面平行的判定定理，判断；根据线面所成角的定义，判断；根据，由异面直线所成角的定义，判断．

本题考查命题真假的判断，考查线面垂直、线面平行的判定与性质、射影、异面直线所成角、线面角的定义的基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

12.【答案】

【解析】

【分析】

证明线面垂直，可得线线垂直判断；由直线与平面平行的判定定理判断；由点和点到的距离不相等，可得的面积与的面积不相等，判断C错误；连接，交于，则为三棱锥的高，利用等体积法证明三棱锥的体积为定值判断．

本题考查立体几何的综合，涉及线面的位置关系、棱锥的体积公式等，考查空间想象能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属于中档题．

【解答】

解：对于，由正方体的结构特征可知，平面，而平面，则，

连接，又为正方形，，

，且D、平面，平面，

平面，，故A正确；

对于，，平面，平面，

平面，而在上，平面，故B正确；

对于，点到的距离为正方体的棱长，到的距离大于棱长，则的面积与的面积不相等，故C错误；

对于，如图所示，连接，交于，则为三棱锥的高，

，，

则为定值，故D正确．

故选：．

13.【答案】

【解析】解：，

．

故答案为：．

利用复数模的计算公式即可得出．

本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：向量，，，

则，解得．

故答案为：．

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：设圆锥的母线长为，

所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，

所以，所以圆锥的高．

故圆锥的体积为：．

故答案为：．

由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案．

本题考查圆锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】

【解析】

【分析】

以，，分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．

本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

【解答】

解：三棱锥，若，，两两垂直，且，，

以，，分棱构造一个长方体，

则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，

由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，

三棱锥的外接球的半径为，

所以外接球的表面积为．

故答案为：．

17.【答案】解：，

又

由余弦定理可得，

【解析】由已知结合可求，然后由余弦定理可得，可求，进而可求

本题主要考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理的简单应用，属于基础试题

18.【答案】证明：连接，设，连接

因为是矩形，所以是中点，

在中，又为中点

又平面，平面

平面．

【解析】欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，连接，设，连接，根据中位线定理可知，又平面，平面，满足定理所需条件；

本题主要考查三棱柱的性质以及直线与平面平行的判定；熟练掌握线面平行的判定定理是关键，属于基础题．

19.【答案】解：如下图所示：

在正方体中，点是的中点，

则，

所以，

设点到平面的距离为，易知，

即是边长为的等边三角形，

所以，

所以，

解得，

因此点到平面的距离为．

【解析】计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离．

本题考查点到平面的距离计算，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】证明：因为，，

则，所以，

在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以，

因为，、平面，

所以平面，因为平面，

所以，

连接，如下图所示：

因为平面，平面，

所以，同理，

在侧面内，因为，又，

所以四边形为正方形，故A，

因为，、平面，

因此平面．

【解析】证明出平面，可得出，再证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立．

本题考查线面垂直的判定定理与性质，化归转化思想，属中档题．

21.【答案】解：在中因为，

由正弦定理得，

所以，

即，

又因为，，，所以，

所以．

取边的中点，连接，则，

且，，

在中，由余弦定理得：，

解得，所以．

在中，由余弦定理得：，

所以的周长为．

【解析】由正弦定理将边化角，然后利用内角和定理将转化成即可求解；分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长，从而求出周长．

本题主要考查了正弦定理