2023年江苏省常州市溧阳市数学高二下期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．3 B．9 C．18 D．272．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A． B．C． D．3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A．18个 B．16个C．14个 D．12个4．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)5．如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线与所围成阴影区域内的概率是（）A.B.C.D.6．用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上（）A． B．C． D．7．设随机变量，若，则n=A．3 B．6 C．8 D．98．设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．9．设锐角的三个内角的对边分别为且，，则周长的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知，是两个向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//b.类比推出：空间中的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//bB．平面内的三条直线a,b,c，若a//c,b//c，则a//b.类比推出：空间中的三条向量a,b,cC．在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1D．若a,b,c,d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d.类比推理：“若a,b,c,d∈Q，则a+b212．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与曲线相切，则实数的值是_______.14．观察下面一组等式：，，，，根据上面等式猜测，则__________．15．将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．16．某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：k2=n参考数据：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.82818．（12分）已知矩阵，矩阵B的逆矩阵.（1）求矩阵A的特征值及矩阵B.（2）若先对曲线实施矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，试用一个矩阵来表示这两次变换，并求变换后的结果.19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，20．（12分）在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及的极坐标方程（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P的轨迹的极坐标方程21．（12分）已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点，直线：与椭圆交于不同的，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时，的值.22．（10分）已知函数，其中a为实数.（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设等差数列的首项为，公差为.∵∴，即∴∴故选D.2、D【解析】

对A，B，C，D四个选项逐个进行二次求导，判断其在上的符号即可得选项.【详解】若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则.在上，恒有，故选D.【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．3、C【解析】

试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．4、A【解析】

先求出集合A，再求出交集．【详解】由题意得，，则．故选A．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．5、B【解析】试题分析：图中阴影面积可以用定积分计算求出，即，正方形OABC的面积为1，所以根据几何概型面积计算公式可知，点落到阴影区域内的概率为。考点：1.定积分的应用；2.几何概型。6、C【解析】

由数学归纳法可知时，左端，当时，，即可得到答案.【详解】由题意，用数学归纳法法证明等式时，假设时，左端，当时，，所以由到时需要添加的项数是，故选C.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.7、D【解析】

根据随机变量，得到方程组，解得答案.【详解】随机变量，解得故答案选D【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.8、C【解析】

根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.【详解】的定义域为：，即：在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，的值域为：图中阴影部分表示：又，本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.9、C【解析】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，故选C点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角的取值范围.10、B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.详解：由题得，所以，所以或或，所以或或.因为或或是的必要非充分条件,所以“”是“”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.11、D【解析】

对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于A，空间中，三条直线a，b，c，若a⊥c，对于B，若b=0，则若a//b对于C，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为12，则它们的体积比为1对于D，在有理数Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正确综上所述，故选D【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．12、C【解析】

先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】分析：设切点，根据导数求导切线斜率，令其等于2，得切点，代入直线即可得解.详解：求导得：，设切点是（x0，lnx0），则，故，lnx0=﹣ln2，切点是（，﹣ln2）代入直线得：解得：，故答案为：．点睛：本题只要考查了导数的几何意义，属于基础题.14、【解析】由已知可得，因此，从而．点睛：归纳推理是通过观察个别情况发现某些相同本质，从已知相同本质中推出一个明确表述的一般性命题，本题是数的归纳，它包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系有关的知识，如等差数列、等比数列等．15、1040【解析】用表示，下表的规律为：…，则第行的第个数，，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16、160【解析】

每位同学共选4门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.【详解】（1）当选2门的为A类，N1（2）当选2门的为B类，N2（3）当选2门的为C类，N3∴选法共有N1【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，由此求得男生平均运动事件为1.5小时；（2）计算k=120(15×45-5×55)2试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为120×1400014000+10000=70故x=5,y=2，则该校男生平均每天运动时间为：0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（2）①样本中“运动达人”所占比例是20120=1②由表可知：故K2的观测值故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.18、（1）矩阵A的特征值为1,2；；（2），【解析】

（1）通过特征多项式即可得到特征值，利用，可计算出矩阵B；（2）首先可计算出的结果，然后设出，变换后的点设成，利用线性变换得到相关关系，从而得到新曲线.【详解】(1)矩阵A的特征多项式，令，则或，故矩阵A的特征值为1,2；设，根据，可得：即，解得，所以矩阵.(2)两次变换后的矩阵，在曲线上任取一点，在变换C的作用下得到，则，即，整理得，可得，即，代入得.【点睛】本题主要考查线性变换，特征值的计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.19、（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）80（3）能【解析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．20、（1），极坐标方程为（2）点轨迹的极坐标方程为【解析】

（1）当时，，直角坐标系坐标为，计算直线方程为化为极坐标方程为（2）点的轨迹为以为直径的圆，坐标方程为，再计算定义域得到答案.【详解】(1)当时，，以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；(2)∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆此时圆的直角坐标方程为