山西省阳泉市古城中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

山西省阳泉市古城中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线l,m与平面，满足l=,l//,,,则必有

（

）A且

B且C且

D且参考答案：答案：B

2.（09年宜昌一中12月月考理）已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B3.设全集，集合，，则等于(

)A.{2}

B.C.

D.参考答案：答案：C4..“”是“直线与直线垂直”的（

）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若直线与直线相互垂直，则，即，解得或，则“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出的值是解决本题的关键，属于中档题.5.设是定义在R上的周期为的函数，当x∈[－2，1)时，，则＝（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的值．B1D

解析：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【思路点拨】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．6.直线的参数方程是（

）.A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（t为参数）参考答案：C略7.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】HU：解三角形的实际应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC?BC=AB?AC?sinA=?BC?BC?sinA，∴sinA=，故选：D【点评】本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．8.已知非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知||=1，||=2，?（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且?（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．10.在复平面内复数，对应的点分别为，若复数对应的点为线段的中点，则的值为（）

A.

61

B．13

C．20

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为

．参考答案：1512.设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程+px+1=O有实数根的概率为

▲

．参考答案：【知识点】几何概型K3若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2-4≥0，解得，p≥2或p≤-2；

∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，

由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）==．【思路点拨】由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．13.（几何证明选做题）已知AB是圆O的直径，AB=2，AC和AD是圆O的两条弦，，则∠CAD的度数是

．参考答案：15°或75°【考点】三角形中的几何计算．【专题】不等式．【分析】由题意可知，∠OAC=45°，∠OAD=30°，再分类讨论C，D在直径AB的同侧，C，D在直径AB的两侧，即可得出结论．【解答】解：由题意可知，∠OAC=45°，∠OAD=30°．①C，D在直径AB的同侧，则∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°；②C，D在直径AB的两侧，则∠CAD=∠OAC+∠OAD=75°．故答案为：15°或75°．【点评】本题考查圆的知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（12分）已知点（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值。参考答案：解析：（1）A（1，0），B（0，1），

2分，

4分

化简得

（若，则，上式不成立）所以

6分（2），，

8分

10分

12分15.已知向量，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围是________________．参考答案：略16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且是以4为周期的周期函数，当x∈［0,2］时，f(x)=2x-cosx,则a=f(-)与b=f()的大小关系为____________.参考答案：略17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为

．参考答案：抛物线的准线为x＝?1，所以P横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

已知点,点是圆C：上的任意一点,，线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．参考答案：（1）由题意知，∴，∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：

……………4分（2）设，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去y,得：

……………6分因为O在以PQ为直径的圆的内部，故

………7分而由

…9分得：,且满足（*）式M的取值范围是

……12分19.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数，直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．参考答案：（Ⅰ）由题意得解得，，．

故椭圆的方程为．

………………5分（Ⅱ）证明：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，，则．由得，所以，．由得，所以．所以．所以．故为定值，定值为.

………………14分20.如图，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=，ED∥AF且∠DAF=90°（1）求证：DE⊥平面BCE（2）过O作OH⊥平面BEF，垂足为H，求二面角H﹣AE﹣O的余弦值．参考答案：【分析】（1）由AF⊥面BCE，且DE∥AF，即可得DE⊥面BCE．（2）取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，利用面AEG、面AEO的法向量求解．【解答】解：（1）∵正方形ABFC的对角线AF、BC互相垂直，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴AF⊥面BCE，且DE∥AF，∴DE⊥面BCE．（2）∵∠DAF=90°，面ABFC⊥面ADEF，ABFC∩面ADEF=AF∴DA⊥面ABFC．∵正方形ABFC的边长为2，DE=，ED∥AF，∴EO⊥面ABFC．取BF中点G，连结EG，过O作OH垂直EG于H，则有OH⊥面BEF．如图以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，﹣，0），E（0，0，2），O（0，0，0），G（）二面角H﹣AE﹣O等于二面角G﹣AE﹣O，设面AEG的法向量为，，．，取．面AEO的法向量为．cos＜＞=﹣．∴二面角H﹣AE﹣O的余弦值为：【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．21.如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。（1）求与平面所成角；（2）求证：；（3）求多面体的体积。参考答案：解：（1）取中点，连、∵平面平面，交线为∵正∵平面即为所求。

（2）∵正∵是中点

∵平面平面，交线为平面

平面平面

（3）

建系略22.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且aco