2021年中考数学热点冲刺6 方案设计

考向1设计测量安装方案问题

1.某"综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了

实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个

测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两

次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长:XXX组员:XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

说明:线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m,测点A,

G

测量B与H在同一条水平直线上，A,B之间的距离可以直接测得，且点G,H,

示意图EA,B,C,D都在同一竖直平面内.点C,D,E在同一直线上，点E在GH

HBA

上.

测量项目第一次第二次平均值

ZGCE的度数25.6°25.8°25.7°

测量数据

ZGDE的度数31.2°30.8°31°

A,B之间的距离5.4m5.6m

..........

任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是।

任务二:根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.

（参考数据:sin25.7°W）.43,cos25.730.90,tan25.7°=0.48,sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31yo.60）

任务三:该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过”利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未

被采纳.你认为其原因可能是什么?（写出一条即可）

解：任务一:平均值=（5.4+5.6）4-2=5.5111

任务二:由题意可得，四边形ACDB,ACEH都是矩形，.•.EH=AC=L5,CD=AB=5.5,设EG=xm,

在RSDEG中，NDEG=90°,NGDE=3l°,

EGX

Vtan31°=—DE=----------,

DE9tan31°

在RtACEG中，ZCEG=90°,ZGCE=25.7°,

EG

tan25.7°=--，---；.CE=——-——，

CEtan25.7°

XX

VCD=CE-DE,二-----------------=5.5,，x=13.2,

tan25.7°tan31°

:.GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.

答:旗杆GH的高度为14.7m.

任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.

2.如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长AB=25cm,AB与墙壁

口〃的夹角/。人8=37。，喷出的水流BC与AB行程的夹角/ABC=72。，现在住户要求：当人站在E处淋

浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm,CE=130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多

高的位置？（参考数据：sin370~0.60,cos370~0.80,tan37M）.75,sin72M）.95,cos720~0.31,tan720=3.08,

sin35yo.57,cos35°~0.82,tan35°~0.70).

图1图2

解：过B点作MN〃DE,分别交直线AD和直线EC于点M、N,由题意可知AD〃CE,NADE=9O。

...四边形DMNE为矩形，.,.NAMB=NBNC=90。，MN=DE,MD=NE.在RtAABM中，NDAB=37。，sin

ZMAB=—,AMB=ABsin37°=25x0.6=15,cosZMAB=—,AAM=ABcos37°=25x0.8=20,VMN=DE=50,

ABAB

ANB=5O-15=35,VZABM=90°-37°=53°,ZABC=72°,AZNBC=180o-53°-72o=55°,AZBCN=90°

-55°=35°.在RiaBNC中，tanZBCN=->.\CN=—=50,.a.EN=CN4-CE=5O+BO=18O=MD,AAD=MD

CN0.75

-AM=180-20=160(cm).

答：安装师傅应将支架固定在离地面16()cm高的位置.

D'

考向2设计方案搭配问题

1.某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A,B两种客车可供租用，

A型客车每辆载客量45人,B型客车每辆载客量30人,若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700

元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元

（1）求租用A,B两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？

解（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意得

4x+3y=10700;3x+4y=10300,解得，x=l700,y=1300;

答：租用A型客车的费用1700元，B型客车的费用是1300元.

（2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，根据题意得

45a+30b>240；1700a+1300b<10000；

16-2b,,10（）-13b““十地”,4jg

/.--------<a<---------,'.'a,b均为正整数，.'.a=2,b=5;a=4,b=2两种方案，

317

当a=2,b=5B寸，费用为1700x2+1300x5=9900（元），

当a=4,b=2时，费用为1700x4+1300x2=9400（元），

答：租用A型客车4辆，B型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元.

2.有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车

的总载客量为105人.

（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？

（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点.若

每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最

低费用.

解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人，b人，

j2a+30=180,fa=45,

解得1,cc答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人.

|«+20=105沙=30.

(2)设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，根据题意，得y=400x+280(6-x)=120x+l680.

由45x+30(6-x)2240,得x%.；120>0,，y随x的增大而增大，，当x为最小值4时，y值最小.

即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低，此时，最低费用y=120x4+1680=2160(元).

3.某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人，成人比少年多12人.(1)

求该旅行团中成人与少年分别是多少人？

(2)因时间充裕，该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门

票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童.①若由成人8人

和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提

下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少.

【解题过程】(1)该旅行团中成人有x人，少年有y人，根据题意，得：

\(x+y+10=32,解得f《x=17.答：该旅行团中成人有17人，少年有5人：

x=y+\2[y=5

(2)①I•成人8人可免费带8名儿童，

:.所需门票的总费用为：100x8+100x0.8x5+100x0.6x(|0-8)=1320(元).

②设可以安排成人a人、少年b人带队，Ki]l<a<17,l<b<5.

设100W17时，⑴当a=10时.，100xl0+80b<1200,：.b<-,

2

:.b或大值=2,此时a+b=12.费用为1160元；

(ii)当a=ll时,100x1l+80b<1200,

/.b<-,Abiw*=l,此时a+b=12,费用为1180元；

4

(iii)当*12时，100aN1200,即成人门票至少需耍1200元，不符合题意,舍去.

设1*<10时，⑴当a=9时,100x9+80b+60<1200,：.b<3,

：.b.大的=3,此时a+b=12,费用为1200元；

7

(ii)当a=8时，100x8+80b+60x2<1200,：.b<-,

2

b最大值=3,此时a+b=ll<12,不符合题意,舍去；

(iii)同理，当a<8时，a+b<12,不符合题意，舍去.

综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，

有三个方案：

成人10人、少年2人;

成人11人、少年1人;

成人9人、少年3人.

其中当成人10人、少年2人时购票费用最少.

考向3设计产品销售方案问题

1.某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10

元，请认真阅读结账时老板与小明的对话:

老板：如果你再多买一个，

就可以打/㈤f,花费比现

钮省17元.小明：那就多买.

一个吧，谢谢！

（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个?

（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元.其中

钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔

多少支？

解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，

依题意得：10（x+l）x0.85=10x-17.解得x=17.答：小明原计划购买文具袋17个.

（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50-x）支，

依题意得：[8y+6（50-y）]x80%<400--17x10+17.解得y*.375.

即丫最大欧=4.答：明最多可购买钢笔4支.

2.为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现,

今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一

体机和200套B型一体机.

（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？

（2）该市明年计划采购A型、B型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年

上涨25%,每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那

么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元

y-x=0.6x=1.2

由题意得:解得<

'500x+200y=960y=1.8

故今年每套A型一体机的价格为1.2万元，