2021年高考数学考点38直接证明与间接证明必刷题理【含答案】

考点38直接证明与间接证明

1.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数a，b,c中恰有一个偶数”

时正确的反设为（）

A.自然数a，b,c都是奇数B.自然数a，b,c都是偶数

C.自然数b,c至少有两个偶数或都是奇数D.自然数%b"至少有两个偶数

C

命题的否定是命题本题反面的所有情况，所以“自然数b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b,c至

少有两个偶数或都是奇数”，选C.

2.用反证法证明“若整系数一元二次方程。/+及+。=0有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”

时，下列假设中正确的是（）.

A.假设。，b,c都是偶数

B.假设a,b,c都不是偶数

C.假设a,b,c至多有一个是偶数

D.假设生b,c至多有两个是偶数

B

【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立,

“至少有一个”的否定为“都不是"，所以先假设a,b,c都不是偶数.

本题选择8选项.

3.用反证法证明命题”等腰三角形的底角必是锐角”，下列假设正确的是（）

A.等腰三角形的顶角不是锐角B.等腰三角形的底角为直角

C.等腰三角形的底角为钝角D.等腰三角形的底角为直角或钝角

D

分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.

详解：反证法的假设需要写出命题的反面.

“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.

本题选择〃选项.

4.用反证法证明命题”若。，瓦c都是正数，则*+?,+£三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是

Q+—＞bd,C-\

A.a力,c不全是正数B.beQ至少有一个小于2

111

Q+—,fod,CH

C.a，瓦c都是负数D.bea都小于2

D

【解析】试题分析：根据反证法的思路可知，将结论变为否定来加以证明，即“若。也。都是正数，则

a+；,b+：,c+：三数中至少有一个不小于2,提出的假设为a+；,b+；,c+；都小于2,选D.

ocaDca

5.用反证法证明”三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()

A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°

C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°

B

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都

大于60度”.

故选6.

6.①已知。，占是实数，若|a-l|+|b-l|=0,则a=1且6=1,用反证法证明时，可假设且bKl；②

1

设a为实数，fW=x2+ax+a,求证|/(1)|与|/(2)|中至少有一个不小于2,用反证法证明时，可假设

11

2,且八〃2.则

A.①的假设正确，②的假设错误B.①的假设错误，②的假设正确

C.①与②的假设都错误D.①与②的假设都正确

B

【解析】对于①，用反证法证明时，应假设Ab不都等于1,而不是假设ah1目bh1,所以①的假设错误.

对于②，用反证法证明时，可假设If⑴|＜：,且|〃2)|＜：.所以②的假设正确.

故选B.

7.用反证法证明"三角形中至少有两个锐角”，下列假设正确的是()

A.三角形中至多有两个锐角B.三角形中至多只有一个锐角

C.三角形中三个角都是锐角D.三角形中没有一个角是锐角

B

用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”.

故选:B.

8.用反证法证明命题“已知。力为整数，若劭不是偶数，则a力都不是偶数”时，下列假设中正确的是（

）

A.假设/b都是偶数B.假设中至多有一个偶数

C.假设a/都不是奇数D.假设。力中至少有一个偶数

D

由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一个”，所以应该假设。力中至少有一个偶数，故选D.

9.已知实数a』,c,d满足a+b=c+d=l,ac+bd>l,用反证法证明：a.b.c.d

中至少有一个小于0.下列假设正确的是（）

A.假设田瓦c,d至多有一个小于o

B.假设瓦c,d中至多有两个大于o

C.假设a，b,Gd都大于o

D.假设。，瓦c,d都是非负数

I）

由于命题“若a,b,c,d中至少有一个小于0”的反面是“a,b,c,d都是非负数”，故用反证法证明时

假设应为“a,b,c,d都是非负数

故选D.

10.对于"若岫=°9力6/?）则。=°或6=0"，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（）.

A.假设。，b都不为oB.假设4b至少有一个不为。

C.假设a,b都为oD.假设a,b中至多有一个为。

A

【解析】用反证法证明命题"若。匕=0（a.Z?e/?）则a=0或b=（T时，

假设正确的是：假设a,b都不为0.

故选：A.

11.用反证法证明“已知与尸6兄/+/=0,求证％=y=o”时，应假设（）

A.x^y^OB.x=y^0c.%H0且、不0D.或y^O

D

根据反证法证明数学命题的方法，

应先假设要证命题的否定成立,

而x=y=O的否定为“x,y不都为零”，故选D.

12.用反证法证明命题“已知。力，为非零实数，且a+b+c>0,ab+bc+ac>0,求证a,b,c中至少有两个

为正数”时，要做的假设是()

A.瓦c中至少有两个为负数B.4瓦c中至多有一个为负数

C.4瓦c中至多有两个为正数D.。/£中至多有两个为负数

A

用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立,

而：“a,b,c中至少有二个为正数”的否定为：“。，瓦c中至少有二个为负数”.

故选A.

,1

f(x)=axlnx-x+-

13.设函数2,a=0.

(I)讨论函数/(*)的单调性；

(H)当a>0时，函数f(x)恰有两个零点勺片2(/<叼)，证明：+x2>7aX1x2

1-a1-a1-a

(1)当a>。时，/(x)在(0,e°)上单调递减，在［ea,+8)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0,ea)上单调

1-a

递增，在［ea,+8)上单调递减.

(2)证明见解析.

【解析】(I)f'(x)=alnx+a-1.

,「ah0,.,.由(%)=0,得Inx=即x=e丁.

若a>0,当x变化时，f(x),广(功的变化情况如下表

1-a1-a一一a

X(O.e-)(e-,+co)

m单调递减极小值里调递增

若a<0,当%变化时，Ax),f'(x)的变化情况如下表:

1-a1-al-a

X(O.e-)e~(e-,+oo)

f'w+0-

fw里调递增极大值单调递减

综上，当a>0时，/。)在(0.6?)上单调递减，在［e?.+8)上单调递增;

当a<0时，f(x)在(O,eT)上单调递增，在伯十.+8)上单调递;麻

(Uy..当a>0时，函数f(4)恰有两个零点%,x2(0<x1<x2),

axjnx—x+-=0alnx.=—5

则(1x工Xl

;，即，1

x-r

一%二十二=2

ax2lnx20alnx^=5

-X2

两式相;成，得。也¥=三二-三二=才三

X2X।XT-X1X2

*.'0<x<x,.'.0<<1,=:;渣

x22*2**X、

二.要证7%工+x,>7ax,即证74+人>了工，即证21n3<学;之

1XzX27勺+小

、X

即证21nL<-区+i

X27X~+1

令笠=t(0<t<1),则即证21nt<史?

7(1)

设g(t)=21nt-，即证g(t)<疏£e(0，D恒成立.

7t+l

56_98产--8计二_m；

g'(t)=；(7t+l)2t(7t+l)2t(7t+l)2,

•・W(t)>01±te(0,D恒成立「MOlSte(0.1)单调递培

•「g㈤在te(0.1提连续函数,

...当te(0.1时，5(0<5(1)=0

...当a>0时，^7X1+X2>7ax1x2.

14.若无穷数列｛%｝满足：%是正实数，当“22时，|an-%-il=max｛ai，a，“,a”_i｝,则称｛册｝是“丫-数列”

.已知数列｛吟是“丫-数列”.

(【)若%=1,写出。4的所有可能值；

(II)证明：｛册｝是等差数列当且仅当｛册｝单调递减；

(III)若存在正整数T,对任意正整数几都有的+“=%,证明：%是数列｛册｝的最大项.

(1)-2,0,2,8.(2)见解析(3)见解析

【解析】(I)-2,0,2,8.

(D)证明：因为|出一%|=%,所以g=。或2al.

当｛nJ是等差数列时，假设的=2L，贝风=2a:-di=3a「此时，|g-=%而maxag｝=2av

矛盾！所以a：=0.于是公差d=a2-=-a*<0,所以｛册｝单调递减.

当｛册｝单调递减时，对任意n\2,maxlara；：,…,册-1｝=A.又Mn-册_)|=。"_工一/，所以

fln-«n-l=-01，从而｛a”｝是等差数列.

(m)证明：假设勺不是数列｛册｝的最大项，设i是使得&>仆的最小正整数，则

16+工一四I=max｛a1g，…,aj=air

因此，％+1是由的倍数.

假设为+2,公+二,…,占+»工都是田的倍数，则

amaxfl,a"a

k+k-t+k-iI=max｛ti1.a:z".at+k-i｝=｛tt-n'"'t+k-i｝>

因此，占+k也是%的倍数.

由第二数学归纳法可知，对任意册都是占的倍数.

又存在正整数T,对任意正整数%都有ar+n=a»

所以，存在正整数m2i,am=av因而%是火的倍数.

但故A不是见的倍数，矛盾！

所以，叫是数列｛5｝的最大项.

15.已知集合x=｛苞,》2,...,&｝是集合S=｛2001,2002,2003,…,2016,2017｝的一个含有8个元素的

子集.

(I)当丫=｛2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017｝时，

设者,XjeX(1<z,j<8),

(i)写出方程七一X/=2的解Gi，xJ；

(ii)若方程七-%=无仅＞0)至少有三组不同的解,写出上的所有可能取值.

(II)证明：对任意一个X,存在正整数人,使得方程玉-X)=-14i,8)至少有三组不同的解.

(I)(z)(2007,2005),(2013,2011),(ii)4,6；(II)证明见解析.

【解析】⑴3)利用列举法可得方程修一七=2的解有：($丹)=(2007.2005),(2013,2011)；5)列

出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一

数的两数差，可发现只有4出现3次，6出现4次,其余都不超过2次，从而可得结果；(H)不妨设

2001＜Ai＜与＜毛42017记q=7+1-项(i=L2,=41一项(i=LZ…,6),共13个差数，

假设不存在满足条件的A•，根据(q+q+…+。)+(%+与+…+4)的取值范围可推出矛盾，假设不成立,

从而可得结论.

假设不存在满足条件的无，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6.

(1)(0方程2一号=2的解有：(4.5)=(2007,2005),(2013,2011)

(»)以下规定两数的差均为正，则：

列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：L女2:4,2,31；

中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和〉：4,5,6,6,5,4；

中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6;

中间相隔三数的两数差：21UL10;

中间相隔四数的两数差：121442;

中间相隔五数的两数差：15/5;

中间隔一数的两数差：16.

这28个差数中，只有4出现3次，6出现4次,其余都不超过2次.

所以上的可能取值有46.

＜n)证明:不妨设20014项〈与＜…〈毛42017

记外=N“一项(i=L2,…=x〃i-2(i=12…⑹,共13个差数.

假设不存在满足条件的h则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而

(q+a,+…+%)+(4+a+…+。6)22(l+2+―-+6)+7=49①

又.(q+a+•,，+&)+(b、+by+,•，+”)=(/—X))+(,vs+x--.v,—xj

=2(X8-X:)+(X7-X2)<2x16+14=46

这与①矛盾，所以结论成立.

16.(1)(用综合法证明)

已知AABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且A、B、C成等差数列，a,b,c成等比数列，证明:

△ABC为等边三角形。

(2)(用分析法证明)

1

设a,b,c为一个三角形的三边，s=2(a+b+c),且s2=2ab,试证：s<2a.

⑴见解析；(2)见解析.

【解析】试题分析：(D综合法，由因导果，所以由等差数列2B=A+C及4+8+。=%所以B=f

再由边为等比数列，及角B余弦定理，可得a=c即证。(2)分析法，执果索因，要证s<2a,由于s2=2ab,

所以只需证s4，即证b<s一再由s=：(a+b+c),所以只需证b4+c即证。

试题证明(D因为A、B、C成等差数列，所以2B=4+C

由4+5+C=JT,所以8=彳

因为a,b,c成等比数列，所以炉=ac

由余弦定理得=a2+c:-2accosB=a:+c:—ac

所以ac=a:+c:-ac即(a—c)2=0所以a=c

所以月=C,又B=p所以A=B=C

所以AABC为等边三角形。

二

(2)要证s〈2a,由于s2=2ab,所以只需证s〈b,即证b<s.

1

因为s='(a+b+c),所以只需证2b〈a+b+c,即证b<a+c.

由于a,b,c为一个三角形的三条边，所以上式成立.于是原命题成立.

所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法.

所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止

的方法.

应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A,则先证明B；若要证明B,则先证明

C,……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……

17.已知比1的三边长为a,b,c,三边互不相等且满足b2<ac

（2）求证：8不可能是钝角.

（1）见解析；（2）见解析.

只需证2<£,即证区此

【解析】试题分析：（D由分析法，要证

（2）用反证法，结合余弦定理可导出矛盾。

试题解析：⑴大小关系为后

hc

证明如下：要证）只需证一由题意知a,b,c>0,只需证（条件）

故所得大小关系正确.

（2»正明：假设5是钝角，贝UcosB<0,而cos5=M苓士>”包>咚包>0

laclaclac

这与cosSCO矛盾，故假设不成立.所以5不可能是钝角.

【点睛】

反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些疑难问题的有力工具.熟练摹振并运用反证法，对提高同

学们的解题能力大有裨益.

一、反证法的基本内容

1.步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，

得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）.

其中推出矛盾主要有下列情形：①与已知条件矛盾；②与公理、定理、定义及性质矛盾；③与假设矛盾；

④推出自相矛盾的结论.

2.宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型

命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等.

%+2

18.在各项均为正数的数列｛%｝中，。且"I2%.

(1)当&3=2时，求出的值；

aa

(II)求证：当nN2时，n+l^n

(1)见解析；(H)见解析.

【解析】试题分析：(D根据g=2及册_广华+F，可求得a二的值，同理即可求得为的值；(口)利用分析法,

要证册7Van，只需证争Ml,即证9<1,然后结合均值不等式即可证明.

an-au~

试题解析：(D因为%=2,

所以g=W+q=2,

-a2

所以da。+4=4a,,

解得a：=2,

同理解得A=2.

fl

(H)证明：要证7122a寸，n+l$。八，

只需证<1,

a”

即£

~2a12

z.n-+—<1

--12八2一

只需证%%<1,只需证an.

2

只需证％N4,

只需证2,

«n-l2an-l2

an=+---22亍若=2

根据均值定理，/%T

所以原命题成立.

19.(1)证明：当。>2时，yja+2+<2^a.

1+x1+y

(2)已知与yeR+,且％+了>2,求证：〒-与中至少有一个小于2.

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

t解析】分析：(D利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，可得、，庐三<a,再平方比较a:-4与屐

的大小可得答案；(2)本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设平与中

均不小于2,可得％+y=2,与已知％+y>2相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立.

详解：证明：(1)要证+2+Va—2<3

只要证(+2+Ja-2厂<(24j),

只要证2"+2j<J-4<4”,只要证小：_4<“，

由于a>2,只要证/-4<M,

最后一个不等式成立，所以+2+y'a-2<2v1a

1+x与1+y1+x1+y

(2)(反证法)假设y丁均不小于2,即y>2,—>2,

.'.l+-x>2y,l+y>2x.将两式相加得：x+y<2,与已知x+y>2矛盾，

1+x与1+y

故y-x中至少有一个小于2.

20.(I)求证：徒+々>2衣+、石

1+b1+Q

(II)已知。>°力>0,且a+b>2,求证：a和b中至少有一个小于2.

(1)见解析；(II)见解析.

【解析】D证明：因为、另+、万和2V2+遥都是正整数，所以

只需证（、用+V7）'>（2y/2+v弓），

只需证13+2闻>13+4、，圆，

即证2、，42>4Vl0,

即证v'42>2>/T^,

即证（v亚）,>（2VTo）2,

即证42>40,

因为42>40显然成立，所以原不等式成立.

5）假设詈22,^>2

则因为a>0,b>0”有1+b22a.1+a224

所以2+a+b>2a+2b,

故a+bW2.这与题设条件a+b>2相矛盾，所以假设错误.

因此出和詈中至少有一个小于2.

ao

l7T71

,a=x-2Jy4-—b=y-2Jz+—

21.若a，b,c,%yz均为实数，且x20,yN0,z20,3,6,

「n

b=z-2Jx+-

2,求证：/瓦c中至少有一个大于0.

证明见解析.

证明:设a，4c都不大于0,即aW0,bW0,cW0

二Q+b+cW0

TTTl71

a+b+c=x-2、万+X+y-2m+-+z-2G+-

又362

=（A/^）2-2G+1+（\5^）2-2亚+1+（&）2-2乖+1-3+7T

=（口-1）2+（拒-1）2+（用-1）2+7T-3

2

,**（出-I）?Z0,（^/y-I）之30,（々一I）>0>yr-3>0

a+b+c=-1)?+(、5-1)^+TT-3>0

与a+b+c40矛盾.

二假设错误，原命题正确，即。，瓦c中至少有一个大于0.

22.设实数Km，、成等差数列(相与0),实数KHZ成等比数列，非零实数”是V与z的等差中项.

XZ

—I—=2

求证：m九

见解析

【解析】依题意可得2m=x+y.2n=y+zy2=xz

所以y=2m-x,y=2n-z

由y2=xz

得(2m-xX2n-z)=xz

即4mn-2nx-2mz-*-xz=xz

即2mn=nx-*-mz

所以尹：=2

点睛：所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的

方法.

所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止

的方法.

应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A,则先证明B：

若要证明B,则先证明C,……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，

必先C成立，……

23.(1)在A4BC中，内角的对边分别为a,b,c,且sb?(4+C)=&cosB证明：

c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).

h卫

(2)已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为。力，斜边长为c,则斜边上的高一丁.若把

该结论