2021年艺体生基础生考点培优讲义

目录

考点1复数...................................................................................2

考点2集合的概念与运算.......................................................................6

考点3命题和充分必要条件....................................................................10

考点4等差数列..............................................................................14

考点5等比数列..............................................................................20

考点6数列求通项............................................................................26

考点7数列求和..............................................................................30

考点8三角函数概念及诱导公式...............................................................36

考点9三角恒等变换..........................................................................41

考点10三角函数图像和性质...................................................................45

考点11解三角形.............................................................................51

考点12平面向量的概念和运算................................................................56

考点13平面向量数量积.......................................................................61

考点14空间几何体表面积和体积..............................................................66

考点15空间点、直线、平面的位置关系和平行证明.............................................71

考点16直线、平面垂直的判定与性质..........................................................79

考点17直线、平面所成的角...................................................................87

考点18随机抽样和样本估计总体..............................................................96

考点19计数原理和排列组合..................................................................109

考点20二项式定理..........................................................................115

考点21事件和概率..........................................................................118

考点22离散型随机变量和超几何分布.........................................................125

考点23二项分布和正态分布..................................................................133

考点24变量间的相关关系、统计案例.........................................................143

考点25直线和直线方程......................................................................155

考点26圆的方程............................................................................160

考点27椭圆................................................................................164

考点28双曲线..............................................................................170

考点29抛物线..............................................................................176

考点30函数的概念和性质....................................................................180

考点31基本初等函数........................................................................185

考点32基本不等式及其应用..................................................................192

考点33函数图像和零点.....................................................................195

考点34导数和导数应用......................................................................201

考点35解三角形大题特训....................................................................206

考点36数列大题特训........................................................................209

考点37立体几何大题特训....................................................................213

考点38解析几何大题特训....................................................................220

考点1复数

［玩前必备］

1.复数的有关概念

⑴定义：

形如“十5（4,6GR）的数叫做复数，其中a叫做实部,〃叫做虚部.（i为虚数单位）

（2）分类：

满足条件3,8为实数）

a+bi为实数o%=0

复数的分类a+bi为虚数obWO

a+hi为纯虚数o〃=0且方力0

(3)复数相等：a+bi=c+d'\<^a=c,b—d(a,b,c,d&R).

(4)共物复数：a+bi与c+di共轨oa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

2.复数的运算

(1)运算法则：设z\=a-\-b\,Z2=c+di,a,b,c,

p__/zi±Z2K(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(Z>±rf)i

-/Zi•Z2人(。+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

力^鬻=群+磊i3或

3.复数的几何意义

⑴复数z=a+为与复平面内的点Z（a,方及平面向量玄=3,b）［a,人GR）是一一对应关系.

（2）模：向量能的模叫做复数z=a+句的模，记作|〃+㈤或回,即团=|"+刃=a2+b\a,beR）.

［玩转典例］

题型一复数的概念

例1（2018•福建）若复数（/-3a+2）+3-1），是纯虚数，则实数〃的值为（）

A.1B.2C.1或2D.-1

例2（2019江苏2）已知复数（a+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是.

例3（2015•湖北），为虚数单位，产的共辗复数为（）

A./B.-iC.1D.-1

例412016高考新课标理数1】设（l+i）x=l+W,其中x,y是实数，则卜+），“=（）

(A)1(B)y/2(C)小(D)2

［玩转跟踪］

一2。2。届山东省烟台市高三模拟）设，是虚数单位，若复数〃+羔的R）是纯虚数,则。的值为（）

A.-3B.3C.1D.-1

2.已知复数z=（〃?2一/〃-2）+（加2-3〃z+2）i是实数，则实数m-

3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z满足（l+2i）z=4+3i,则z的共轨复数是（）

A2—iB.2+zC.1+2zD.1—2z

题型二复数的代数运算

（1-2i）2

例5（2016•全国）复数-----的模为（)

（2+0

A.1B.2C.6D.5

例6（2020•梅河口市校级模拟）设i为虚数单位，若复数z（l-i）=2+2i,则复数z等于（）

A-2iB.2iC.-1+iD.0

1+Z

例7【2015高考新课标1,理1】设复数z满足—=i,则|z|二（）

1一z

（A）1（B）也(C)y/3(D)2

［玩转跟踪］

1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数ZI,Z2对应的向量分别是Q4,。3,若

)

3.13.

C.——+D.

22222222

z

2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z=a+bi(a,bGR),若，则z=)

l+i~2^i

13.13.31.31.

A._+」B.ZC._+D.

55555555

题型三复数的几何意义

例8（2018全国卷I）设z=1'+2i,

则Iz|=

1+i

1

A.0B.一c.1D.J2

2

例9（2020•涪城区校级模拟）若复数z满足z（l+2i）=10,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

［玩转跟踪］

1.（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z满足|z-i|=2,z在复平面内对应的点为（x,y）,

则（）

A.（X+1）12+/=2B.（x-1）2+户4

C.x2+（y-l）2=4D.x2+（＞'+l）2=2

2a+2z

2.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数------（aGR）是纯虚数，则复数2a+2i在复

1+z

平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

［玩转练习］

1.（2020•龙岩一模）设z=i（l-i）,贝陵=（）

-iB.I+zC.-1-zD.-1+z

2.（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z满足（l-2i）z=2+ai,其中i为虚数单位，则实数。等于（)

A.-1B.1C.-2D.2

3.(2020•眉山模拟)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则三=()

1+i

A33.31.13.「13.

A._—+_iBD.——+_iC.——+_iD._+_i

22222222

4.(2020•眉山模拟)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则下列结论正确的是()

A.z0«=2-zB.复数z的共轨复数是l-2i

C.|z|=5D--=-+3/

1+i27

5.(2020•内蒙古模拟)设复数z的共腕复数为彳，i为虚数单位，若z=l-i,则(3+2F)i=()

A.-2-5iB.-2+5iC.2+5/D.2-5i

6.(2020•南海区模拟)复数满足z+|z|=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.(2020•番禺区模拟)设(2+i)(3-xi)=3+(y+5»(i为虚数单位)，其中x,y是实数，则|x+yi|等于(

)

A.5B.13C.22D.2

8.(2020•临汾模拟)已知，•是虚数单位，z二舍-3-且z的共粗复数为彳，则妞=(

A.有B.小C.5D.3

9.(2020•临汾模拟)设i是虚数单位，若复数z=l+i,则2+Z2=()

A.l+iB.1-iC.-1-zD.-1+z

10.(2020•芮城县模拟)已知复数z满足z+2ieR,z的共规复数为5,贝Uz-N=()

A.0B.41C.-4/D.-4

11.(2020•黄冈模拟)已知i是虚数单位，设复数4=l+2i,马=2-i，则l?l=()

2

A.2出B.y/5C.D.1

12.(2020•福清市一模)已知复数z满足z(l+i)=|l,其中，•为虚数单位，则在复平面内，7对应的

点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

13.(2020•肇庆二模)设复数z满足|z-l|=l,则z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x+1)2+/=1B.(x-l)2+/=1C.x2+(^-l)2=1D./+(y+1)2=1

14.（2020•来宾模拟）已知复数z满足z（2-i）=|3+4"（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的

坐标为（）

A.（1,2）B.（2,1）C.（-1,-2）D.（-2,-1）

15.（2020•东湖区校级模拟）已知i为虚数单位，2口_=则关于复数z的说法正确的是（）

1-z

A.|z|=1

B.z对应复平面内的点在第三象限

C.z的虚部为-i

D.z+z=2

16.（2020•洛阳一模）已知复数z在复平面中对应的点（x,y）满足（工-1）2+/=1,则）

A.0B.1C.72D.2

考点2集合的概念与运算

i.集合与元素

⑴集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

⑵元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号且或&表示.（3）

集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.

（4）常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN+（或N*）ZQR

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合A中所有元素都在集合B中（即若A-B

子集

xeA,贝ijx&B）（或

或

集合A是集合B的子集，且集合B中至少AB

真子集

有一个元素不在集合4中（或3A）

集合A,8中元素完全相同或集合A,B互

集合相等A=B4（B）

为子集

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.集合的运算

（1）如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集,全集通常用字母上

表示；

集合的并集集合的交集集合的补集

出

图形

度AC\B

符号AC8={x|xGA,且xCBlCL,A={xlxGU,且KA}

［玩转典例］

题型一集合的基本概念

例1（2020•济南模拟）设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a+b,aeA,b&B},则M中元

素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

例2（2018全国卷H）已知集合A={a,y）|x2+y2W3,xeZ,yeZ},则A中元素的个数为

A.9B.8C.5D.4

例3已知集合4={,〃+22〃2+m},若3GA,则m的值为.

［玩转跟踪］

1.（2020•德州模拟）已知集合4={1,2,3,4,5},8={（x,加GA,yGA,x-y^A},则B中所含元素

的个数为（）

A.3B.6C.8D.10

2.集合A={l,2,3,4,5},B={l,2,3},C={z|z=肛/eA且yeB},则集合C中的元素个数为（）

A.3B.8C.llD.12

题型二集合间的基本关系

例4（2015•全国）设集合A={1,2,3,4},若4至少有3个元素，则这样的A共有（）

A.2个B.4个C.5个D.7个

例5（2020•青岛模拟）已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-6<x<6},贝ij（）

A.AQB=0B.A|j8=RC.B^AD.A^B

［玩转跟踪］

1.（2020届山东省高考模拟）已知集合4={-1,2},B={x\ax=\},若BqA,则由实数。的所有可能

的取值组成的集合为（）

人I"Ji1〕「1〕c（1n1〕

A.1,B.T,C.0,15D.-1,0,

2.设"为非空的数集，MU{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

3.定义集合4-8={无印64且依8},若集合〃={1,2,3,4,5},集合N={x|x=2A:—1次GZ},则集合M-N的子集

个数为()

A.2B.3C.4D.无数个

题型三集合的基本运算

例6(2017•山东)设函数y=的定义域为A,函数y=/〃(l-x)的定义域为8,则A0p=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)

例7(2017•新课标I)已知集合4={幻》<1},B={x|3"<l},贝U()

A.App={x|x<0}B.A(jB=RC.4JB="|X>1}D.Ap|B=0

例8(2016•全国)设集合A={X||X-1|<1},B={x|2'<2},则40|8=()

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<2}C.{x|x<2}D.0

例9(2020•梅河口市校级模拟)已知集合4={》叩=42d+》+3},3={x|log1},则全集U=R,贝"

下列结论正确的是()

A噌8=4B.A\jB=BC.(6(？4)p|B=0»壮心人

例10(2020•银川模拟)若集合A={x|-lW2x+lW3},8=lrlxWOj则Ar)B=()

A.{x|-l^x<0}B.{x|0<rWl}

C.{x|0WxW2}D.{x|0WxWl}

例11(2017•新课标HD已知集合4={(无刈/+/=1},8={(x,y)|y=x}，则A0|B中元素的个数为()

A.3B.2C.1D.0

[玩转跟踪]

1.(2020届山东省济宁市高三3月月考)已知集合A={x|d—x—2>0},集合3={x|y=J三},则

AflB=()

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.[l,+oo)D.(l,+8)

2.(2020届山东省潍坊市高三模拟一)已知4={尤k2一12()},8={j|，y=e'},则()

A.(0,+(»)B.(-oo,l]C.[l,+oo)D.(-00,-1]U[1,+℃>)

r、

3.(2020届山东省荷泽一中高三2月月考)己知集合A=(-1,3],B=\x则4口8=()

11J

A.[—2,1）B.C.（-1,1）D.[-2,3]

4.（2020・山东高三下学期开学）设集合4=卜041083彳42},8=k/=Vx2-3x-18j,则408=

（）

A.[1,3]B.[-3,6]C.[3,9]D.[6,9]

[玩转练习]

1.（2019全国I理）已知集合M={x卜4cx<2},N={x*2-x-6<0},则”nN=

A.{尢卜4cx<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

2.（2019全国II理）设集合旦={X|X2・5X+6>0},8={X|X-1<0},则AoB=

A.（-00,1）B.（-2,1）

C.（-3,-1）D.（3,+8）

3.（2019全国III理）已知集合A={-1,0,1,2},B=|{x<<1},则ACB=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

4.（2019江苏）已知集合A={_[,0,[,6}，B={x\x>0,xeR}'则408=------

5.（2019浙江）已知全集。={-1,01,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则如4nB=

A.{-1}B.{0,1}c.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

6.（2020春•五华区月考）已知集合A={x|log2X<l},集合8={xeN||x|<2},贝（MUB=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0„x<2}C.{x\-2<x<2}D.{0,1}

7.（2020•眉山模拟）集合A={x|x+l>0},B={X|X2-3X+2>0},贝|限|6/=（）

A.（-1,1）B.（1,2）

C.[1,2]D.（-1,1）51，+<»）

8.（2020•宜昌模拟）已知集合M={x|log2（x-l）<l},集合N={X|X2+X-6<0},则M（JN=（）

A.{x|-3<x<3}B.[x|1<x<2}C.{x|x<3}D.{x|-2<x<3}

9.（2020春•桃城区校级月考）已知全集U=l?,集合A={y|y=W+2,xeR],集合B={x|y=/g（x-l））,

则阴影部分所示集合为（）

A.[1,2]B.(1⑵C.(1,2]D.[1,2)

10.(2020春•漳州月考)已知集合4={刈1。8{-》>1},则“4=()

2

A.(-00,,4-00)B.(-00,-][j[-,+8)

42472

C.(\[1D.[2，J]

4242

11.(2020•咸阳二模)集合M={x|y="^},N={—1,0,1,2},则M0|N=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{1,-1}D.{0,1,2}

12.(2020•内蒙古模拟)已知集合M={x|f_2x-3<0},N={x|x2-0},若N=口I。<犬<1}，

则机的值为()

,2

13.(2020•全国一模)已知集合4=口|幺-2》-3<0},B=L|1>1

，则6JA|jB)=()

I*

A.(-oo,-1)U(3,+8)B.(-oo,-HUE+oo)

C.[3,a)D-s，TUn，-)

14.(2020•重庆模拟)设集合A={x|f<9},B={_3,-2,-1,0,1,2},则A0|B=()

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2)D.{-2,-1,0)

15.(2020春•武昌区校级月考)设集合A={x|-l<x<l},B={yly=x2,xeA},则AC(d1)=()

A.{x|0<x<l}B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x|-1<x<1}

16.(2020•金安区校级模拟)已知集合M={x|x-2<0},N={yeZ\y=-x2+4,xeR],贝

的子集有()

A.2个B.4个C.8个D.16个

考点3命题和充分必要条件

［玩前必备］

1.命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,制

断为假的语句叫假命题.

2.充分条件与必要条件

（1）如果p=>q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;

⑵如果p0q,q〉p,则p是q的充要条件.

3.全称量词和存在量词

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等3

4.全称命题和特称命题

命题名称命题结构命题简记

全称命题对M中任意一个x,有p（x）成立YxGM,〃(x)

特称命题存在M中的一个xo，使以⑹成立

5.含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

VA-SM,p(x)心〃（的）

p(xo)VxCM,㈱〃(x)

［玩转典例］

题型一充分条件与必要条件的判定

例1（2019•天津）设xeR,则“d-5x<0''是"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2（2019•上海）已知a、b&R,则”/>b2n是的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

例3（2018•天津）设xeR,则-是“d<i”的（）

22

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例4（北京高考）设“力eR,“。=0"是"复数a+bi是纯虚数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［玩转跟踪］

1.（2020届山东省济宁市高三3月月考）"x>y>0"是"ln（x+l）>ln（y+l）”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

2.（2020届山东省泰安市肥城市一模）若集合尸={1，2,3,4},Q={x|0<x<5,xeR},则"xeP"是

"xeQ"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也非不必要条件

3.（2015・湖南,2）设A,B是两个集合,则“。05=4”是“AUB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二含一个量词的命题的否定和真假命题

例5（2020•四川模拟）设xeZ,集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p:Vx",2xeB,贝U（）

A.-i/?:VxeA,2xiBB.->p:X/x史A,2xiB

C.A,2xeBD.—：p:3xeA,2x正B

例6已知命题p命g2（3&+l）W0,贝"）

A

A.p是假命题;Ap：VxSR,log2（3+l）<0

v

B.p是假命题；㈱p：VxSR,log2（3+l）>0

C.p是真命题；Cp：CxWR,log2（3苦+l）W0

A

D.p是真命题；p-VxeR,log2（3+l）>0

例7（1）（2020・沈阳模拟）下列四个命题中真命题是（）

A.V/tWR,

B.3«oGR,V/nGR,〃。=m

C.3/HER,m2<n

oo

D.VneR,tr<n

（2）下列命题中的假命题是（）

A.VxeR,2x-1>0B.VxeN\(x-l)2>0

C.3xoeR，lg%o<lD.3xoeR，tanxo=2

［玩转跟踪］

1.（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）命题"三/€（0,+刃），111%=X0-1"的否定是（）

A.3x0G(0,+oo),Inx0^x0-lB.3x0(0,+oo),Inx0=x0-l

C.Vxe(0,+oo),lnxwx-1D.Vx史(0,+8),lnx=x-l

2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知命题P：有的三角形是等边三角形，则

A.「P：有的三角形不是等边三角形

B.：有的三角形是不等边三角形

C.「P：所有的三角形都是等边三角形

D.「尸：所有的三角形都不是等边三角形

［玩转练习］

1.（2020天津模拟）设｛风｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则"q<0"是"对任意的正整数〃，

+%<°”的<

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2020安徽模拟）设p：1<%<2,q：2r>1,则p是g成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2020重庆模拟）“X>1”是“10gl（x+2）<0”的

2

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（2020天津模拟）设xeR则“k一2|<1"是''尤?+x—2>0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2020浙江模拟）命题“V〃eN*J（〃）wN.且/（〃）W〃的否定形式是

A.£N：/（〃）生N*且/（〃）>n

B.GN',/（〃）任N'或/（〃）>n

C.BneN",/（〃）史N*且f（n）>n

0000

D.3neN,/（«）£N"或于（n）>〃

oooo

6.（2020福建模拟）命题“Vxe[0,+oo）a3+xZ0”的否定是

A.Vxe（0,+oo）.x3+x<0B.Vxe（-OO,0）JC3+X>0

C.三4w[0,+oo）4，+%<0D.3^e[0,+oo）^3+0

7.（2020浙江模拟）已知i是虚数单位，。€R,则“。=8=1”是“（。+初）2=2i”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2020•德阳模拟）若a,匕wR,则“/+从片0”是“a,6全不为零”的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件D.充分不必要条件

9.（2020•武汉模拟）已知a,bwR,则“a”>0”是“|a+l|>|b+l|”的什么条件（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2020•九江一模）已知非零向量“，〃满足|a|=|切，则"|。+2切=|2°-切”是”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（2020•山东高三下学期开学）"Inm<In""是“机2<〃2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已设a力都是正数，则”/"8"3</。©,3"是"3〃>3">3"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

考点4等差数列

［玩前必备］

1.数列的定义

按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.

2.数列的通项公式

如果数列｛““｝的第〃项与序号〃之间的函数关系可以用一个式子表示成时=为力，那么这个式子叫作这个数

列的通项公式.