北京市人民大学附属中学2022-2023学年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A．24 B．60 C．72 D．1202．对于函数，曲线在与坐标轴交点处的切线方程为，由于曲线在切线的上方，故有不等式．类比上述推理：对于函数，有不等式（）A． B．C． D．3．已知离散型随机变量的概率分布列如下：01230.20.30.4则实数等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.764．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．5．已知，，，则（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.96．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为()A． B． C． D．7．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．8．若，，，则实数，，的大小关系为（）A． B． C． D．9．设x，y满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C．0 D．110．执行如图程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知的分布列为：设则的值为（）A． B． C． D．512．设为虚数单位，复数为纯虚数，则（）．A．2 B．-2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，，，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.14．已知方程有实根，则实数__________；15．已知一个总体为：、、、、，且总体平均数是，则这个总体的方差是______．16．设函数在上是增函数，则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．18．（12分）设不等式表示的平面区别为．区域内的动点到直线和直线的距离之积为1．记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于、两点．（1）求曲线的方程；（1）若垂直于轴，为曲线上一点，求的取值范围；（3）若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率．19．（12分）已知分别为椭圆的左右焦点，上顶点为，且的周长为，且长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）已知，若直线与椭圆交于两点，求.20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.21．（12分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：.22．（10分）已知10件不同产品中有3件是次品，现对它们一一取出（不放回）进行检测，直至取出所有次品为止．（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数有多少？（2）若恰在第6次取到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不同的排法.本题选择B选项.2、A【解析】

求导，求出函数与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案．【详解】由题意得，且的图像与轴的交点为，则在处的切线斜率为，在处的切线方程为，因为切线在图像的上方，所以故选A【点睛】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．3、C【解析】

根据随机变量概率的性质可得，从而解出。【详解】解：据题意得，所以，故选C.【点睛】本题考查了概率性质的运用，解题的关键是正确运用概率的性质。4、C【解析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．5、D【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．详解：由题意，

∵随机变量，，

∴故选：D．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．6、A【解析】

先利用排列组合思想求出甲干部住个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到个村蹲点的排法种数，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【详解】三名干部全部选派下乡到个村蹲点，三名干部所住的村的数目可以分别是、、或、、，排法种数为，甲住个村，则乙、丙各住一个村，排法种数为，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：A。【点睛】本题考查排列组合应用问题以及古典概型概率的计算，解决本题的关键在于将所有的基本事件数利用排列组合思想求出来，合理利用分类计数和分步计算原理，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题。7、D【解析】

先构造函数，再利用导函数研究函数的增减性，结合，的奇偶性判断函数的奇偶性，再结合已知可得，，即可得解.【详解】解：设,则，由当时，，则函数在为增函数，又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，则在上为奇函数，则函数在为增函数，又，所以，则，则的解集为，即不等式的解集是，故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题.8、A【解析】

利用幂指对函数的单调性，比较大小即可.【详解】解：，，，∴，故选：A【点睛】本题考查了指对函数的单调性及特殊点，考查函数思想，属于基础题.9、B【解析】

在平面直角坐标系内，画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，直至当直线在纵轴上的截距最大时，求出此时所经过点的坐标，代入目标函数中求出的最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图：在可行解域内，平行移动直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点是直线和直线的交点，解得，，故本题选B.【点睛】本题考查了线性规划求目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.10、C【解析】

由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前的值，即可得出结论．【详解】解：由，则.

由，则.

由，则.

由，则输出．

故选：C．【点睛】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题，是基础题．11、A【解析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【详解】由题意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故选A．【点睛】本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．12、D【解析】

整理得：，由复数为纯虚数列方程即可得解．【详解】因为又它是纯虚数，所以，解得：故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

由组合数的性质得出，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果.【详解】由组合数的性质得出，不考虑任何限制条件下不同点的个数为，由于，坐标中同时含和的点的个数为，综上所述：所求点的个数为，故答案为.【点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、【解析】

首先设方程的实根为，代入整理为复数的标准形式，利用实部和虚部都为0，求得实数的值.【详解】设方程的实数根为，则所以，解得：，.故答案为：【点睛】本题考查虚系数一元二次方程有实数根，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.15、【解析】

利用总体平均数为求出实数的值，然后利用方差公式可求出总体的方差.【详解】由于该总体的平均数为，则，解得.因此，这个总体的方差为.故答案为：.【点睛】本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.16、【解析】分析：函数在上是增函数等价于，从而可得结果.详解：因为函数在上是增函数，所以恒成立，因为，实数的取值范围是故答案为.点睛：本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）X

0

1

2

3

1

P

（2）【解析】

试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的1人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有1人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．18、（1）；（1）；（3）【解析】

（1）根据“区域内的动点到直线和直线的距离之积为”列方程，化简后求得曲线的方程.（1）求得两点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.（3）设出直线的方程，联立直线的方程和曲线，写出韦达定理.求得以为直径的圆的圆心和直径，根据圆与轴相切列方程，解方程求得直线的斜率.【详解】（1）设，依题意①，因为满足不等式，所以①可化为.（1）将代入曲线的方程，解得.取，设，因为为曲线上一点，故.则.即的取值范围是.（3）设直线的方程是，.联立，消去得，所以.设线段的中点为，则，所以..因为以线段为直径的圆与轴相切，所以，即，化简得.所以直线的斜率为.【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程及其性质，考查一元二次方程根与系数关系，考查中点坐标公式、点到直线距离公式，考查运算求解能力，属于难题.19、（1）（2）【解析】

（1）根据已知求出a,b，即得椭圆的标准方程；（2）由，得，得到韦达定理，再把韦达定理代入数量积化简即得解.【详解】解：（1）由题可知，，，得又，解得故椭圆的方程为，（2）由，得，设，则，，∵，，∴将，代入，得.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.20、(1)曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2).【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；（2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.详解：(1）由，得，所以，即，故曲线的直角坐标方程为.曲线的普通方程为（2）联立，得因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，又所以点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．21、(1).(2)见详解.【解析】

(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.【详解】(1)设等差数列的公差为().由题意得则化简得解得所以.(2)证明：，所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.22、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意，