高中数学第三章变化率与导数本章整合课件新人教A版选修2-1

本章整合第三章变化率与导数专题一专题二专题三专题一

空间向量与线面的位置关系用向量作为工具来研究几何,真正实现了几何中的形与代数中的数的有机结合.给立体几何的研究带来了极大的便利,不论是证明平行还是证明垂直,只需简单的运算就可以解决问题.专题一专题二专题三应用1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)用向量法证明:平面A1BD∥平面B1CD1;(2)用向量法证明:MN⊥平面A1BD.提示:(1)面面平行应转化为证明线面平行;(2)线面垂直应转化为线线垂直,最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明;此外本题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算去求解.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用2四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D

的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.提示:建立恰当的空间直角坐标系,求出所涉及的点及向量的坐标,求证两条直线的方向向量数量积为零,则两条直线垂直;二面角求解,可转化为求法向量的夹角;由平面的法向量垂直于直线的方向向量来证明线面平行.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三点评用向量法证明平行、垂直问题的步骤:(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面;(2)通过向量运算研究平行、垂直问题;(3)根据运算结果解释相关问题.专题一专题二专题三专题二

空间向量与空间角用几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角时,都需要先作出(或证出)所求空间角的平面角,费时费力,难度较大.而利用向量法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解,体现了向量法极大的优越性.专题一专题二专题三应用1如图所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE拼接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.(1)求异面直线BD与EG所成的角;(2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值.提示:求解空间角有两种常见思路,若直接能确定或易作出空间角,则直接求解;若不易作出,则考虑采用空间向量的方法,这也是空间向量应用的优势所在.专题一专题二专题三解:方法一:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴EF⊥AE.又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.过点D作DH∥AE交EF于点H,连接BH,则DH⊥平面BCFE.∵EG⊂平面BCFE,∴DH⊥EG.∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形AEHD是平行四边形,∴EH=AD=2,∴EH=BG=2.又EH∥BG,EH⊥BE,BE=2,∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG.又BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,∴EG⊥平面BHD.∵BD⊂平面BHD,专题一专题二专题三(2)∵AE⊥平面BCFE,AE⊂平面AEFD,∴平面AEFD⊥平面BCFE.由题意可知GH⊥EF,∴GH⊥平面AEFD.∵DE⊂平面AEFD,∴GH⊥DE.取DE的中点M,连接MH,MG,∵四边形AEHD是正方形,∴MH⊥DE.∵MH∩GH=H,MH⊂平面GHM,GH⊂平面GHM,∴DE⊥平面GHM,∴DE⊥MG,∴∠GMH是平面DEG与平面AEFD所成的锐二面角的平面角.专题一专题二专题三方法二:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE.又AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知,得A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),专题一专题二专题三专题一专题二专题三点评立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考虑使用综合几何方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合几何方法和空间向量方法都可以,但使用综合几何方法要作出空间角的平面角,作图中要伴随着相关的证明,对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量,按照空间角的计算公式进行计算,也就是把几何问题完全代数化了,这种方法对运算能力有较高的要求.两种方法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用.专题一专题二专题三应用2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE;(3)求二面角A1-DE-A的余弦值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题三

空间向量与空间距离空间距离在高考中考查较多的是两点间的距离和点到面的距离.前者主要利用向量的模即两点间的距离公式求解;后者利用平面的法向量代入公式求解.专题一专题二专题三提示:(1)由题意可证AD∥平面PBC,故AD到平面PBC的距离,就是点A到平面PBC的距离.(2)中先分别求出平面AEC和平面DEC的法向量,再利用公式求解.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三12345678(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.123456781234567812345678123456782(2016全国乙高考)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.12345678(1)证明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.1234567812345678123456783(2016全国丙高考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.1234567812345678123456784(2016天津高考)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.123456781234567812345678123456785(2016北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=(1)求证:PD⊥平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,若不存在,说明理由.12345678(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解:取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.1234567812345678123456786(2016山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;12345678(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.12345678(2)解法一连接OO',则OO'⊥平面ABC.又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.1234567812345678123456787(2016浙江高考)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.12345678(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.1234567812345678解法二如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.取BC的中点O,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以,KO⊥平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.12345678123456788(2015课标全国Ⅱ高考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA