空间向量基本定理习题(含答案)

空间向量基本定理习题(含答案)中点，P为𝐴𝐵的中点，Q为BN的中点，且𝑃𝑀=𝑁𝑄，若𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，则PN的长度为()A.1B.2C.3D.41.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近M的三等分点，则与MN向量相等的向量是2a+b+3c。2.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量OA，OB，OC，OP分别为a，b，c，x，则x=3a+3b+3c。3.在空间四边形OABC中，OA=a，OC=c，OM=2MA，BN=NC，则MN=2a+2b+2c。4.在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，底面是边长为1的正方形，且∠A1AB=∠A1AD=60°，A1A=3，则C1B的长为√14。5.在正四面体ABCD中，DE和BF所成角的余弦值为1/3。6.在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长度为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，则BN的长度为√7。7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C的中点，P为AB的中点，Q为BN的中点，且PM=NQ，则PN的长度为3。1.解：根据向量加减法和数乘的定义，有：$\vec{OP}=\vec{NO}+\vec{OM}+\vec{ON}$$=\vec{NO}+\vec{OM}-\vec{NO}$$=\vec{OM}$因此，$\vec{OP}$的坐标为$(3,3,3)$。2.解：根据向量加减法和数量积的定义，有：$\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}$$=(2\vec{MA}+\vec{OB})-(\vec{OA}+\vec{OM})$$=2\vec{MA}+\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OM}$因此，$\vec{MN}$的坐标为$(6,3,-3)$。3.解：根据向量加减法和数量积的定义，有：$MN^2=|\vec{MN}|^2=(\vec{OB}-\vec{OA})^2$$=(\vec{OB}-\vec{OM}+\vec{OM}-\vec{OA})^2$$=(\vec{OB}-\vec{OM})^2+2(\vec{OB}-\vec{OM})\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})+(\vec{OM}-\vec{OA})^2$$=1+2\times1\times\cos60^\circ+1$$=5$因此，$MN=\sqrt{5}$。4.解：根据向量加减法和数量积的定义，有：$|\vec{AC}|=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD}+\vec{DA})^2}$$=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD}-\vec{AA})^2}$$=\sqrt{(\vec{AB}+\vec{BD})^2-2(\vec{AB}+\vec{BD})\cdot\vec{AA}+|\vec{AA}|^2}$$=\sqrt{2-2\cos60^\circ+1}$$=\sqrt{5}$5.解：设$\vec{DA}=\vec{a},\vec{DC}=\vec{c}$，则有：$\vec{ab}\cdot\vec{bc}=\vec{ab}\cdot(\vec{ba}+\vec{ac})=\vec{ab}\cdot\vec{ba}+\vec{ab}\cdot\vec{ac}$$=\cos60^\circ+\vec{a}\cdot\vec{c}$$\vec{ab}\cdot\vec{ab}=\vec{ba}\cdot\vec{ba}=1$$\vec{bc}\cdot\vec{bc}=\vec{ba}\cdot\vec{ba}+\vec{ac}\cdot\vec{ac}+2\vec{ba}\cdot\vec{ac}$$=1+1-2\cos60^\circ=3$因此，$\cos\angleabc=\frac{\vec{ab}\cdot\vec{bc}}{|\vec{ab}|\cdot|\vec{bc}|}=\frac{\cos60^\circ+\vec{a}\cdot\vec{c}}{\sqrt{3}}=\frac{1+\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{5}{4\sqrt{3}}$。首先，这篇文章存在严重的格式错误和不完整的句子，需要进行修正和补充。同时，文章内容涉及向量和几何知识，需要进行适当的改写，以便更好地理解。修正后的文章如下：题目：已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，DE与AB交于点F，BE与CF交于点M，求BM的长度。解：首先，根据题目中给出的条件，可以得到向量公式：$\vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}$$\vec{CE}=\vec{CA}-\vec{AE}=\vec{AB}-\vec{AE}=\vec{AB}-\frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}\vec{AB}$因此，$\vec{AD}=\vec{CE}$，即AD和CE平行。又因为DE与AB交于点F，BE与CF交于点M，所以可以得到向量公式：$\vec{FM}=\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}$$\vec{FM}=\vec{FC}+\vec{CE}+\vec{EM}$将上述两个公式联立，可以得到：$\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{FC}+\vec{CE}+\vec{EM}$化简后得到：$\vec{BM}=\vec{EM}+\vec{FC}-\vec{FA}$又因为AB=AC，所以$\vec{FA}=-\vec{EA}$。因此，可以将上述公式进一步化简为：$\vec{BM}=\vec{EM}+\vec{FC}+\vec{EA}$根据三角形相似的性质，可以得到：$\frac{BM}{EA}=\frac{FM}{FA}$因此，只需要求出$\vec{FM}$和$\vec{FA}$的模长即可求出BM的长度。根据向量的模长公式，可以得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{|\vec{FA}+\vec{AB}+\vec{BM}|^2}$$|\vec{FA}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AF}|^2}$将上述公式代入，可以得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AB}+\vec{EM}+\vec{FC}|^2}$$|\vec{FA}|=\sqrt{|\vec{EA}+\vec{AB}|^2}$将向量代入，化简后得到：$|\vec{FM}|=\sqrt{17}$$|\vec{FA}|=3$因此，根据上述公式，可以得到：$BM=\frac{|\vec{FM}|}{|\vec{FA}|}\cdotEA=\sqrt{17}$因此，BM的长度为$\sqrt{17}$。2+2×1×1×2=5，因此|𝑎⃗+⃗𝑏+𝑐⃗|=√5，即向量𝑎⃗+⃗𝑏+𝑐⃗的模长为√5。对于三角形𝐴𝐵𝐶，设𝑀𝑁为中线，则|𝑀𝑁|=|𝑎⃗+𝑏+⃗𝑐|=|𝐴𝐵|/2=33/2。同时，由向量几何的知识可知，𝑀𝑁=1/2(𝐴𝐶+𝐵𝐷)，因此𝐴𝐶+𝐵𝐷=33。对于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，设𝑀为对角线𝐴𝐶的中点，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑀=⃗⃗𝐴𝐶𝐶𝑀𝐴𝐵+⃗𝐴𝐷𝐴𝐴，即向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4(𝑀𝐴⃗)的模长为向量𝐴𝐶𝐶𝑀𝐴𝐵+⃗𝐴𝐷𝐴𝐴的模长。根据向量模长的定义，将向量拆分为坐标形式，即可计算出向量的模长。对于三角形𝐴𝐵𝐶，设𝑁为中线𝐴𝐷上的中点，则|⃗𝑁𝐴|=1/2|𝐴𝐵|，|⃗𝑁𝐵|=1/2|𝐵𝐶|。根据余弦定理，可得向量⃗𝑁𝐴和⃗𝑁𝐵的模长，从而得到向量⃗𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2(𝐴𝑁⃗)的模长。同时，向量⃗𝐴𝑁和⃗𝐵𝐶的夹角均为60°，因此𝐴𝑁⃗·𝐵𝐶⃗=1/2|𝐴𝐵||𝐵𝐶|=1/2×√3，代入向量积的公式，即可计算出向量⃗𝑁𝐴𝑃的模长。对于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，设𝑃为对角线𝐴𝐶的交点，则向量⃗𝑃𝑀=1/2(⃗𝐴𝐶+⃗𝐵𝐷)。根据向量的加法和减法，可得向量⃗𝐵𝑀=⃗𝐵𝐶+⃗𝐶𝑀+1/3(⃗𝐶𝑃−3⃗𝐴𝐵)。同时，由于𝐴𝐵=2，⃗𝐴𝐷=1，⃗𝑐=(−1,0)，因此可以计算出向量⃗𝐴𝐷𝐴𝐵和向量⃗𝐴𝐶𝐶𝑀𝐴𝐵的模长，从而得到向量⃗𝐵𝑀的模长。这篇文章是一道数学题的解答。题目中有一大串公式，但是其中有些格式错误需要修正。此外，也有一些段落明显有问题需要删除。修正后的文章如下：题目描述：已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，且$|\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{c}|-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=4-2\cos60^{\circ}+1\times10^9$。求$|\overrightarrow{BM}|$。解答：设$\overrightarrow{BM}$与$\overrightarrow{AP}$所成的角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{BM}\cdot\overrightar