中国矿业大学《概率论与数理统计》课件-第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布§1.1随机变量§1.3常见离散型随机变量§1.6常见连续型随机变量§1.5连续型随机变量及其分布§1.4随机变量的分布函数§1.2离散型随机变量及其分布§1.7随机变量函数的分布学习目标

理解事件结果的数量化及随机变量定义.

理解离散型随机变量及其分布律的概念，掌握0-l分布、二项分布、超几何分布、泊松分布，了解泊松定理和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.理解分布函数的概念及性质，会求分布函数及事件的概率.

理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布.

会求随机变量函数的分布：公式法、分布函数法.为了利用数学分析从数量上研究随机现象的统计规律，本章引入随机变量及其分布函数的概念.先将随机试验的结果与实数对应起来，建立随机变量，然后再将随机变量的概率分布用分布函数来描述.学习本章要注意：（1）随机变量有哪些类型？（2）描述随机变量的概率分布有哪些方法？（3）随机变量的概率分布能互相转换吗？读一读为什么要引入随机变量？§2.1随机变量一、随机变量概念二、用随机变量表示事件三、随机变量的概率有许多随机试验的结果本身就是数量，比如：掷一颗骰子面上出现的点数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；四月份哈尔滨的最高温度；一、随机变量的定义也有一些随机试验结果虽然不是数值，但可以把它数量化.运动员与它的号码产生对应关系！e.X(e)R定义1随机试验E的样本空间S上的单值实函数：称为定义在样本空间S上一个随机变量.样本点→数值思考定义域是什么？取值有什么特点？通常用大写英文字母X,Y,Z,W,N等表示，多个随机变量可以用下标表示！例1掷一颗骰子，令X=“出现的点数”

，则X就是一个随机变量，它的取值是什么？{X4}的含义是“掷出的点数不超过4”{X为偶数}含义是“掷出的点数为偶数”注意：

X的取值是有限个！它的取值为1，2，3，4，5，6.例2

一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品.现从中取出6件，令X=“取出6件产品中的次品数”，则X就是一个随机变量.它的取值是什么？{X=0}表示“取出的产品全是正品”{X≥1}表示”取出的产品至少有一件次品”注意：

X的取值是有限个！它的取值为0，1，2，…6.例3

每天上午8:00～9:00在某路口观察，设Y＝“该时间间隔内通过的汽车数”（2）{Y<100}=“通过的汽车数小于100辆”

（3）{50<Y≤100}=“通过的汽车数大于50辆但不超过100辆”（1）Y的取值为0，1，2，3，…注意：

Y

的取值可列无穷个！例4

观察某生物的寿命（单位：小时），令

Z＝“该生物的寿命”.则Z就是一个随机变量．

它的取值为所有非负实数．(2){Z>3000}表示“该生物的寿命大于3000小时”这一随机事件．(1){Z≤1500}表示“该生物的寿命不超过1500小时”这一随机事件．注意：Z的取值是不可数无穷个！例5

掷一枚骰子，在例2中定义了随机变量X=“出现

的点数”，但还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：在一个样本空间中可以定义很多很多随机变量．在同一个样本空间上可以定义多个随机变量．出现偶数点出现奇数点点数为6点数不是6二、用随机变量表示事件是一个随机事件，它发生的概率记为：设X是随机试验E的样本空间S上一个随机变量，L是一个实数集，则样本点集合L可以取区间或区间的并集等实数集L取不同区间时对应的随机事件随机变量概率对随机变量人们更关心它落入一些区间内的概率，比如：也关心它取某个值的概率，比如：在后续内容中将经常求这些概率.

解

1000份报需要多少成本？至少卖出多少报才能不赔？例6

一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试问怎样表示“报童赔钱”这一事件？Y=“报童赔钱”=“0.15X<100”，Y=“报童赔钱”={X≤666}.一、离散型随机变量及其分布律§2.2离散型随机变量及其分布二、分布律表示方法

一、离散型随机变量及其分布律定义1

随机变量X的所有取值只有限多个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量．

k=1,2,3,4…（1）（2）定义2如果离散型随机变量X取每个值xk的概率满足下面两条,就称上式为离散随机变量X的分布律．解依据分布律的性质

a≥0,例1设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a

．二、离散型随机变量分布律表示方法（1）公式法（2）如果X取值有限个，可以用列表法X例1

某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解

X可取值为0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01;

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18;

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81.用表格表示这种分布律：X例2设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率p=0.5允许汽车通过,随机变量X表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求X的分布律．解由题意可知X=0,1,2,3.则易求得X取每个值的概率：例3某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求射击次数X的分布律．解显然，X

可能取的值是1,2,3,4,5,…，

P｛X=1｝=p,这样的分布律称为几何分布

P｛X=2｝=p(1-p),

P｛X=2｝=p(1-p)2,一、0-1分布二、二项分布三、泊松分布四、几何分布五、超几何分布六、巴斯卡分布§2.3常见离散型随机变量如果随机变量X的分布律为则称X服从参数为p的0-1分布．一、0-1分布比如：产品是否合格？新生儿是男是女？电力设备是否超负荷？1.伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）.①n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的．二、二项分布“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响.②伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型．

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A

或.这样的试验E称为伯努利试验

.引例：某人打靶单发命中率为现独立重复射击3次，求恰好命中2发的概率.解表示“第i次命中”表示“恰好命中两次”由此可得：n重伯努利试验中,“事件恰好发生k次”,即的概率为：2.二项分布如果随机变量X的分布律为则称服从参数为其中的二项分布，记为特别,当时,二项分布为这就是（0-1）分布，常记为（1）什么是二项式定理？（2）二项分布与它有联系吗？思考3.二项分布最可能数若，则由此可知，二项分布的分布律(右图)先是随着到其最大值后再随着的增大而减小.这个使得达到其最大值的称为该二项分布的最可能次数.的增大而增大，达当(n+1)p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]达到最大值.n=10,p=0.7kPk当(n+1)p为整数时，二项概率P{X=k}在

k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkk0表示所取的3个中的次品数，，于是所求概率为则解设注：若将本例中的“有放回”改为“无放回”，还是伯努利概型吗？此时只能用古典概型求解.例1

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求所取3个中恰有2个次品的概率．古典概型与伯努利概型有何区别？伯努利概型对试验结果没有等可能的要求！（1）每次试验条件相同；（2）每次试验只有两个结果（3）各次试验相互独立.但有下述要求：思考

例2

一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20只，问20只元件中恰好有为一级品的概率为多少？解X=“20只元件中一级品的个数”这个试验可以看作伯努利试验.例3

某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率？解

设表示击中的次数，则分布律所求概率关于小概率事件问题：（1）从本例可看出：即使这人命中率很小，但反复射击多次后几乎必然击中目标！（2）因此不可忽视小概率事件，小概率事件在一次实验中不易发生，但在大量重复实验中发生就成大概率事件．例4（彩票中奖问题）设发行的彩票中奖率是0.001（中奖率很小），假定发行的彩票数量巨大，以至于不论别人是否中奖均不会改变你抽奖时的中奖率.求买n张彩票能中奖的概率pn.此外由于中奖率是千分之一，问买1000张彩票中奖概率是否接近于1？解设X表示n

张彩票中中奖的票数，则则n

张彩票能中奖的概率为n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993买3000张彩票中奖率已达到95%，再多买2000张中奖的概率仅增加了4.3%！买多少彩票才能中奖有讲究！类似的小概率事件有很多.由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开．例5（人身保险问题）保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定：每人每年付公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元.若每人每年意外死亡率为0.006，试讨论该公司是否会亏本，其利润状况如何．

分析公司收入为120*10000=120万元

解设表示10000人中意外死亡的人数，则即公司亏本意味着：死亡人数超过了120人．（1）公司会不会亏本？（2）该公司利润不少于40万元的概率为公司盈利几乎是必然的！例680台同类型设备，各台工作相互独立，发生故障的概率p=0.01，有两种配备维修工人的方法：①4个人每人负责20台；②3个人共同负责80台.问那种方案好?(比较发生故障而不能及时维修的概率)解

设X=“第一人维护的20台中同时发生故障台数”Ai=“第i人维护的20台中发生故障而不能及时维修”由题意可得4个人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率②设Y=“80台中同时发生故障的台数”则发生故障而不能及时维修的概率总之即第②种方案的工作效率高．定理1（泊松Poisson定理)

设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数k有证明

由得对于任意固定的k有故有如果随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…，并且概率分布为：三、泊松分布其中l>0，则称X服从参数为l的泊松分布，记作根据泊松定理：二项分布当n很大且p很小时近似于泊松分布．在实际计算中，当n

≥20,p

≤0.05时,可用泊松定理;而当n≥100,np≤10时，精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015Possion

二项分布定理

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1例1设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊解由题意求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率．松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.例2某城市有1%色盲患者，问从这个城市里选出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解设选出n个人，n人中色盲患者记为随机变量X则两边取对数所以得例3有产品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率．用超几何分布求：用二项分布求：p=0.01为次品率，X~b(100,0.01)用泊松分布求：

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.泊松分布的应用在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；解

(1)设需要配备N

个维修工人，设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~b(90,0.01)例4

设同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.（1）问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?（2）问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？令则查附表3得N=4．三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为X~b(90,0.01)设“30台设备中发生故障的台数”=Y~b(30,0.01)

设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责30台好！一、分布函数的概念二、分布函数性质§2.3随机变量的分布函数三、分布函数类型为X的分布函数.记作定义1

设X是随机变量，x是任意实数，称函数分布函数值就表示X落在区间上的概率.一、分布函数的概念分布函数定义域？值域？表达式？思考当x<0时,{X≤x}=f，故F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=1/3X求X的分布函数F(x).当1≤x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=1/3+1/6=1/2当x≥2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1.解

X的取值将x轴分成四部分：X的分布函数称为阶梯形函数！这个函数只是右连续的！用分布函数求概率由于得到由这个左开右闭区间内的概率公式，可以得到随机变量取一个值的概率：由于得到两边取极限得：随机变量取一个值的概率正好就是分布函数在这点的跳跃度！类似地可以求出X落入其它区间的概率公式：这说明：随机变量X的分布函数可以全面描述该随机变量的统计特性。例2

已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布律.解

X的可能取值为3，4，5.所以X的分布律为解

(1)①当时，例3

设随机变量X的分布律为求(1)X

的分布函数；(2)②当时，则③当时，则④当时，为必然事件，则所以(2)若离散型随机变量X的分布律为可以发现X的分布函数F(x)有如下特点：（1）F(x)是阶梯形函数.（2）始终是右连续的、单调不减的、有界的；（3）间断点正好是xk且是跳跃间断点，跳跃度就是相应的概率pk．离散随机变量分布函数的特点离散型随机变量分布函数特点？思考若离散型随机变量X的分布律为由概率的可列可加性得X的分布函数为事件{X≤x}等于比x小的X的所有取值即：离散随机变量分布函数的公式二、分布函数的性质⑴单调不减性：⑶右连续性：对任意实数x0有⑵归一性：对任意实数，且，则还可证明：只要某个实函数具有上面三条性质，则它是分布函数。试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数.例2

设有函数

F(x)解例4

已知下式是一个分布函数，求其中A,B．所以例题中分布函数图形这种分布函数是连续函数吗？这种连续型分布函数可以写成积分形式：但是阶梯形分布函数不具有这样的性质！例5

已知X表示弹着点与靶心的距离，⑴击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积成正比；⑵靶子半径是2米；⑶每次射击都中靶.求X的分布函数

F(x)．解因为当时，不可能发生，当时，X由当时，总之X的分布函数为这种分布函数是连续函数吗？这种连续型分布函数也可以写成积分形式：但是阶梯形分布函数不具有这样的性质！例3

既不是阶梯型也不是连续型的分布函数也存在！下面函数满足分布函数的三条性质？求概率P{X=p}思考一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量§2.5连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量的定义定义1

设F(x)是随机变量

X的分布函数，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有则称

X为连续型随机变量，称f(x)为

X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数．（1）连续型随机变量的分布函数是密度函数的变限积分！要求会求分布函数，尤其当密度函数是分段函数时怎么求？（2）连续型随机变量的分布函数必是连续函数！概率密度的性质（1）概率密度函数当然是非负函数！更重要的是它应当具有归一性！否则不能成为密度函数！面积为1f(x)x（2）对于任意区间[a,b]，不管是开区间或闭区间，也不管半开半闭区间，概率可以用积分计算f(x)x（3）对于任意实数a有因为（5）若概率密度f(x)在x0处连续，则有事实上：如果把概率理解为质量，故X的密度上的概率与区间长度之比的极限。这里，相当于线密度。区间在这一点的值，恰好是X落在例1

设随机变量X的分布函数为试求X的密度函数．解解例2求下列函数是否为概率密度函数是显然的；故f(x)可以作为密度函数．例3设X是连续型随机变量，其概率密度为求⑴常数A；⑵；⑶X的分布函数．解

⑴由得则⑵⑶当时，当时，当时，所以由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求．例4

设随机变量X的概率密度函数为：求随机变量X的分布函数．解：根据连续型随机变量的分布函数的积分表示得概率密度函数图形：山形函数分布函数的图形练习

已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其密度函数为(1)求常数c．(2)计算解(1)令c=1000(2)一、均匀分布二、指数分布三、正态分布§2.6常见连续型随机变量定义若随机变量X的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作一、均匀分布显然：区间上的均匀分布密度函数是区间长度的倒数！均匀分布的分布函数当时，由于当时，当时，则分布函数为xf(x)abxF(x)ba密度与分布函数图像因为均匀分布的概率背景说明：随机变量

X取值在（a，b）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比。与小区间的位置无关。这是一种等可能性质！与几何概型的情形对应。解依题意，X

～U[0,30]

以7:00为起点0，以分为单位随机变量，例1

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀试求他候车时间少于5分钟的概率.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3．例2设随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率．解因为当时，方程有实根，故所求概率为而X的概率密度为从而二、指数分布若随机变量X的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为l的其中指数分布的分布函数为密度函数图像分布函数图像指数分布应用范围有：（1）随机服务系统中的服务时间；（2）电话问题中的通话时间；（3）无线电元件的寿命；（4）动物的寿命；（5）指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。解(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布例3(1)求该电子元件寿命超过2年的概率.年的概率为多少？由已知得X的概率密度为若

X~Ｅ(),则如果某生物已经活了s岁，它再活t岁的条件概率，与它已经活s岁无关！就好像它从0岁又活到t岁一样！故又把指数分布称为“永远年轻”的分布.指数分布的“无记忆性”事实上命题解

(1)例3

假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数,求

相继两次故障的时间间隔T的概率分布;

设备已正常运行８小时的情况下，再正常运行10小时的概率.即(2)由指数分布的“无记忆性”解由题意知，其中现在X的概率密度为例4

假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(分钟)X服从指数为的指数分布.若等待时间超过10分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次.以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率因此所以Y的分布律为于是

三、正态分布定义1

如果连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为定义2

当时，X的概率密度为则称X服从标准正态分布，记为正态分布密度函数曲线是钟形曲线！x0正态分布的密度函数正态分布的分布函数

而正态分布的重要性（1）大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布．（2）正态分布有许多良好的性质．（3）正态分布可以作为许多分布的近似分布．（4）德莫佛最早发现了二项分布概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布在十九世纪前叶首次露面。由高斯加以推广和应用，所以通常称为高斯分布．德莫佛高斯德国1993年10马克

高斯在他于1809年发表的“最小二乘法”的基础上建立的正态分布方程，是概率统计中一个非常重要的工具，广泛应用于数学、物理学等领域．正态分布性质（1）证（2）

曲线关于对称，，有（如下图）这表明对于任意（3）

当时，f(x)取得最大值x离μ越远，f(x)的值就越小．（5）

曲线在处有拐点；曲线以轴为渐近线，（6）若σ固定，而改变μ的值，则f(x)的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状，因此所决定．（如右图）的图形的位置完全由位置参数μs决定了图形中峰的陡峭程度，称σ为形状参数．正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布．（7）若m固定而s变动，可知当s越小时概率密度图形越陡，当s

越大图形越平坦．（8）若随机变量，则证只需验证Y的分布函数恰为标准正态分布的分布函数即可！①X的分布函数可以用标准正态分布表示：②X落入区间内概率可以用标准正态分布计算：（9）设随机变量x0x-x利用此性质可以计算当x<０时，分布函数F(x)的值!（10）设随机变量服从标准正态分布，则成立3s准则时容易计算：可以认为，Y的取值几乎全部集中在的区间内。这在统计学上称为“3s准则”。当由3

准则知，当解例1设随机变量，试求：⑴，⑵⑴已知，求解例2查表得查表得例3公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:

设车门高度为hcm,按设计要求即0.99查表得即设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.例4

设解

由图形可得利用了对称性不必求s2也能求出概率！例5在电压不超过200伏,在200-240伏和超过240伏三种情况下,某种元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电压求:1)该元件损坏的概率2)该元件损坏时,电压在200-240伏的概率解设分别表示电压不超过200伏,在200-240伏,超过240伏＝“元件损坏”由题意1)由全概公式2)由贝叶斯公式标准正态分布的上

分位数设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z

为X的上分位数．z0一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布§2.6随机变量的函数的分布例1

已知X的分布律为求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴故Y的分布律为一、离散型随机变量函数的分布⑵故Z的分布律为当互不相等时则可得当，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律．一般求法例2

设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似服从参数为的正态分布，奖金方法规定，若在100天内完成，则得超产奖10000元；若在若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额Y的分布律．解依题意可见Y是X的函数，且是离散型随机变量．则Y的分布律为解⑴先求Y=2X+8

的分布函数例1

设随机变量X

具有如右边概率密度，试求Y=2X+8

的概率密度(2)求导数得密度函数这就是Y=2X+8

的概率密度！二、连续型随机变量函数的分布Step1:先求的分布函数Step2:求导得Y的概率密度.一般求法：分布函数法复合函数求导！设X~U(-1,1)，求Y=X2的分布函数与概率密度.例2解由已知得当y<0时，;当y≥1时，