2023年云南省昆明市安宁一中高考数学模拟试卷含答案解析版

2023年云南省昆明市安宁一中高考数学模拟试卷

一、单选题

1.（2023•西宁一模）已知集合力=｛。,①|》2+/忘2,xeN,yeN｝,则/中元素的个数

为（）

A.3B.4C.8D.9

2.（2020•新课标I）设。为正方形45co的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，

则取到的3点共线的概率为（）

1214

A.-B.-C.-D.-

5525

3.（2023•安宁市校级模拟）设｛叫是首项为-1的等比数列，公比为心则“夕<0”是“对

任意的正整数“，出,一|+出“>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023•西山区校级模拟）已知点口（-1,0）,g（1,0）,动点尸到直线x=2的距离为“，

国则（）

d2

A.点尸的轨迹是圆

B.点P的轨迹曲线的离心率等于1

2

C.点尸的轨迹方程为二+/=1

2

D.居的周长为定值4&

5.（2023•安宁市校级模拟）已知p:2x-5>0,q-.x2-x-2>0,贝!Ip是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.（2023•安宁市校级模拟）己知〃是圆上一个动点，且直线

/i:WX--3"?+〃=0与直线'：内+町-3”:-〃=0（”？,ne/?,»?+/工o）相交于点尸,

则的取值范围是（）

A.[追-1,2百+1]B.[72-1,2-72+1]C.[近-1,3应+1]D.[72-1,373+1]

第1页（共21页）

22

7.（2023•安宁市校级模拟）已知双曲线C:0-2=l（a>O,b>O）,直线/过坐标原点并与

ab

双曲线交于「，。两点（尸在第一象限），过点尸作/的垂线与双曲线交于另一个点4,直线

04交x轴于点8,若点8的横坐标为点。横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（）

A.IB.—C.&D.5/3

2

8.（2023•安宁市校级模拟）设函数/（x）的定义域为R,且f（x）=；/（x+l）,当xe（-l,0]

时，〃x）=Mx+l）,若对任意xe（-8,刈，都有/（X）?-坦，则实数机的取值范围是（）

16

A.（7,3B.（7,当C.（-00,—]D.（-00,3]

344

二、多选题

9.（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（）

A.某些平行四边形是菱形B.3xe/?,X2-3X+3<0

C.Vxe/?,|x|+x2^0D.Vxs7?>x?-ax+l=0有实数解

10.（2023•安宁市校级模拟）关于变量x,y的"个样本点（占，y,）,（x2,y2）,,（x„,

K）及其线性回归方程J=b+下列说法正确的有（）

A.相关系数r的绝对值|川越接近0,表示x,y的线性相关程度越强

B.相关指数及2的值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好

C.残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D.若亍=一2七，y=-Yyi.则点叵，区）一定在线性回归方程夕=区+3上

n<=|〃1=1

11.（2023•安宁市校级模拟）已知抛物线C:x?=4y的焦点为E,过点尸的直线与抛物线C

相交于4,8两点，下列结论正确的是（）

A.若4（4,4）,则|ZF|=5

B.若E（2,3）,则|+|42的最小值为5

C.以线段48为直径的圆与直线y=-l相切

D.若#=3而，则直线的斜率为±6

12.（2023•安宁市校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他

们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：

1,3,6,10,称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,称为正方形数，

第2页（共21页）

记三角形数构成数列{%},正方形数构成数列{“,},则下列说法正确的是(

B.1225既是三角形数，又是正方形数

C.3+L…+L史

瓦b2瓦b„20

D.XfmwN*,机22,总存在p,qeN",使得6,”=%+与成立

三、填空题

13.(2015•房山区一模)已知函数/(x)h弓)("°),则/(/(-1))=；若

1-3x(x>0)

/(2/-3)>.f(5a),则实数a的取值范围是

14.(2023•晋城一模)写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：一.

①焦点在x轴上；②离心率为2.

15.(2023•安宁市校级模拟)在三棱锥P-Z8C中，AABC=60°,NPBA=NPCA=90°,

点尸到底面/8C的距离为应，若三棱锥P-/8C的外接球表面积为6万，则/C的长

为.

16.(2023•宣威市校级模拟)已知P、0分别在直线4:x-y+l=0与直线，2：x-y-l=0上,

且「。点4(-4,4),8(4,0),则|/P|+|尸01+1081的最小值为.

四、解答题

17.(2023•安宁市校级模拟)已知函数/(x)=axcosx-2sinx,其中aeR.

(1)当a=2时,讨论/(x)在(0,2%)上的单调性；

第3页(共21页)

（2）若对任意xe（O,g都有/（x）＜3x,求实数。的取值范围.

18.（2023•安宁市校级模拟）某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结

果如下表：

邮箱数601302653061233213047006897

名称里3678165187728130028204131

有数字

的邮箱

数

频率

（1）填写上表中的频率（结果保留到小数点后两位）;

（2）人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？

19.（2023•西山区校级模拟）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和

生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止

境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫

情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即

该厂的年产量）X万件与年促销费用机万元（加20）满足x=4-——.已知生产该产品的固

m+1

定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为红更万元/万

X

件（产品年平均成本）的1.5倍.

（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

20.（2023•安宁市校级模拟）己知抛物线C:/=2px（p＞0）的准线过双曲线

---匕=1（0＜。＜1）的左焦点.

1-67a

（I）求抛物线。的方程；

（H）设抛物线C的焦点为尸，直线/:y=x-2与C交于不同的两点/,求」一+」-

I尸图1^|

的值.

21.（2023•安宁市校级模拟）已知过点（19的椭圆CJ+齐=1伍＞%＞0）上的点到焦点的

最大距离为3

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(I)求椭圆C的方程；

(2)已知过椭圆C：W+E=I(a>b>0)上一点P(x。，%)的切线方程为华+?学=1.已

a~h~a~b~

知点M为直线x=-4上任意一点，过M点作椭圆C的两条切线M4,MB,A,B为切点,

AB与OM(O为原点、)交于点。，当乙38最小时求四边形N03M的面积.

22.(2023•安宁市校级模拟)已知函数/。)=，〃+--.

e+1

(1)若函数/(编为奇函数，求实数机的值；

(2)当〃?=1时，求/(_4)+/(-3)+/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+f(2)+f(3)+f(4)

的值.

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2023年云南省昆明市安宁一中高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.（2023•西宁一模）已知集合4=｛（羽｝0|*2+了2忘2,xeN,yeN｝,则/中元素的个数

为（）

A.3B.4C.8D.9

【解答】解:集合N=｛（x,y），+/W2,xeN,yeN｝元素:

（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）共四个元素，

故选：B.

2.（2020•新课标I）设。为正方形的中心，在O,A,B,C,。中任取3点，

则取到的3点共线的概率为（）

1214

A.-DR.—L•一Un.一

5525

【解答】解：O,A,B,C,。中任取3点，共有OZ8,OAC,OAD,OBC,OBD,

OCD,ABC,ABD,ACD,8c。十种，

其中共线为z,O,C和8,O,。两种，

故取到的3点共线的概率为尸=2=1,

105

故选：A.

3.（2023•安宁市校级模拟）设｛凡｝是首项为-1的等比数列，公比为”则“4<0”是“对

任意的正整数〃，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：因为%1+/”=-/"2+（-1”/1=-（4+1）4"2，

当q<0时，无法确定g+1的正负，故无法确定。2,1+“2”的正负，

当«2„-1+%“>o时，可得一①+1）•q2"-2>0，

所以q+l<0,即q<-l,此时一定有g<0,

故g<0是对任意的正整数»,+«2„>0的必要不充分条件.

第6页（共21页）

故选：B.

4.(2023•西山区校级模拟)已知点月(-1,0),3(1,0),动点尸到直线x=2的距离为d,

粤孝则()

d2

A.点P的轨迹是圆

B.点尸的轨迹曲线的离心率等于！

2

C.点P的轨迹方程为《+/=1

2

D.△尸片匕的周长为定值4&

【解答】解：点片(-1,0),6(1,0),动点尸到直线x=2的距离为d,乜骂1=变，

d2

设动点尸的坐标为(x,y),可得：匠1)士匕力,

|2-x|2

化简得点尸的轨迹方程为二+/=1,

2

所以尸的轨迹是椭圆，所以/错误，C正确；

离心率为：上，所以8不正确；

2

△PEK的周长为定值：2a+2c=2+2&,所以力不正确；

故选：C.

5.(2023•安宁市校级模拟)已知p:2x-5>0,q:x2-x-2>0,则p是1?的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解答】解：p:2x-5>0,即x>*,

2

q:x2-x-2=(x+l)(x-2)>0,即x<-l或x>2,

而（|，+8）冬（-OO,-1）［J（2,+OO）

所以p是4的充分不必要条件，

故选：A.

6.(2023•安宁市校级模拟)已知〃是圆C:f+y2=］上一个动点，且直线

4:mx-ny-3m+n=0与直线l2:nx+my-3m-n=0（〃？，nwR,俄‘十/W0）相交于点P,

第7页（共21页）

则1PMi的取值范围是（）

A.[^-1,273+1]B.[72-1,25/2+1]C.[近-1,3逝+1]D.诋-1,3石+1]

【解答】解:依题意，直线/,:"zx-Ny-3w+N=0恒过定点4（3,1）,直线12:nx+my-3m-n=0

恒过定点8（1,3），

显然直线4_L4,因此，直线4与4交点P的轨迹是以线段48为直径的圆，

其方程为：（x-2）2+（y-2）2=2,圆心N（2,2）,半径而圆C的圆心C（0,0）,半径

4=1,如图：

|NC|=2jI>o+-2，两圆外离，由圆的几何性质得：，

\PM\max^NC\+rl+r2=3^2+\,

所以1PMi的取值范围是：[0-1,372+1].

故选：C.

22

7.（2023•安宁市校级模拟）已知双曲线C：--4=lS>0，b>0），直线/过坐标原点并与

双曲线交于尸，。两点（尸在第一象限），过点P作/的垂线与双曲线交于另一个点4,直线

。/交x轴于点8,若点8的横坐标为点。横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（）

石

A.1B.—C.V2D.6

2

【解答】解：已知点8的横坐标为点。横坐标的两倍，

则|8。|=|。。|,

则AOBQ=ZBOQ,

则”=-kAQ,

设P(x,y),Q(-x,-y),A(m,n),

第8页（共21页）

22，2

贝卢_匕=1,---=1,

人7b2a2b2

又/尸_L尸0,

则0=」，①

m-xy

则0=士②

tn+xx

由①X②可得：与」;=1,

m"-x

m2-x2n2-y2

乂o—7?’

ab

即a2=b2>

即a』-/,

即c2=2a2,

即£=0,

a

即双曲线的离心率为

8.(2023•安宁市校级模拟)设函数“X)的定义域为A,且/(x)=；/(x+l),当xw(-l,0]

时，/(月=工(工+1),若对任意太€(-8,机]，都有/㈤?-©■，则实数机的取值范围是()

16

A.(-co,1]B.(«,当C.(-00,-]D.(-00,3]

344

【解答】解：令0<x《l,.-.-l<x-K0,

第9页(共21页)

.•./(x-l)=x(x-l),又/(x)=3/(x-l)，

/.f(x)=3x(x-1),xe(O,1],

令—2<-1,—1<x4-1<0>

"(x+1)=a+l)(x+2)，又f(x)=l/(x+1)，

/(R)=g(x+l)(x+2)，xG(-2,-1],

结合已知：XG(A,k+\],攵cZ时，

/(x)=3Al(x-k)[x-(Ar+1)],又3*+,>0,

对XG(4,"1],左eZ时，/(女“,=//+；)=-9,即随k增大依次变小,

O1#+1Q1

二.要使对任意XW(-00,〃“都有---，令-----2---，则上W1且左£Z,

16416

oQ197X1

xe(\92]时,f(x)min=,且xc(2,3]时，f(x)min=-■—，

416416

QI

当xe(2,3]时，令/(x)=27(x-2)(x-3)=，

16

3911

贝1]。_2)。_3)=——，x=-^x=—,

1644

.一,.21a

综上，要使对任思xe(-8,m]都有/(x)》---，只需"K一.

164

故选：C.

二、多选题

9.(2023•安宁市校级模拟)下列命题的否定中，是真命题的有()

A.某些平行四边形是菱形B.x2-3x+3<0

C.X/xeR,|x|+x2^0D.VxeR,Y-ar+1=0有实数解

【解答】解：对于/,某些平行四边形是菱形，是真命题；

对于8,A=9-12=-3<0,

则原命题是假命题；

对于C,Vxe/?,\x\+x1^Q,是真命题：

对于。，只有△=/-4》0,即被-2或合2时:/+1=0有实数解，是假命题;

根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项8。中，原命题的否定是真命题.

故选：BD.

第10页(共21页)

10.（2023•安宁市校级模拟）关于变量x,y的"个样本点yj，（W，%），…，（怎，

北）及其线性回归方程？=R+&，下列说法正确的有（）

A.相关系数r的绝对值|r|越接近0,表示x,y的线性相关程度越强

B.相关指数后的值越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好

C.残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D.若下Jy=-Yy,.,则点叵，歹）一定在线性回归方程夕=八+（5上

【解答】解：由线性相关系数的意义可知，当厂的绝对值|r|越接近0时，两个随机变量的

线性相关性越弱，故选项/错误；

用相关指数后来刻画回归效果，尸越大，说明模型的拟合效果越好，故选项8正确；

拟合效果的好坏是由残差的平方和来体现的，残差的平方和越大，说明拟合效果越差，故选

项C错误；

样本中心一定在线性回归方程上，故选项。正确.

故选：BD.

11.（2023•安宁市校级模拟）已知抛物线C：/=4y的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线C

相交于4,8两点，下列结论正确的是（）

A.若4（4,4）,则|/用=5

B.若£（2,3）,则|ZE|+M尸|的最小值为5

C.以线段N5为直径的圆与直线y=-l相切

D.若#=3而，则直线48的斜率为±6

【解答】解：•.•抛物线方程为f="，

焦点/（0,1）,准线方程为夕=-1,

对于4选项，由力（4,4）,得尸|=4+1=5,故/选项正确；

对于8选项，过点4作准线y=-l的垂线，垂足为

则|4E|+1Z产|=|ZE|+1|+1=4,

当且仅当4,E,H三点共线时，取等号，

+的最小值为4,故8选项错误；

对于C选项，设点/,8的坐标分别为区，乂），（％,y2）,

第11页（共21页）

直线AB的方程为卜=去+1,

联立方程!厂=勺，得/-4日-4=0,

y=+1

x,+x2=4欠,不工2=-4,弘+y2=4k2+2,

22

.-.\AB\=y,+y2+2=4k+4,二线段43的中点为G(2k,2k+l),

.•.点G到直线y=-l的距离为1=2r+2=1/8|,

.•.以为直径的圆与直线y=7相切，故C选项正确；

对于。选项，,/AF=3FB,(-x,,1-必)=3(匕，y2-1),

可得3X2=,

解得T，故0选项错误.

故选：AC.

12.（2023•安宁市校级模拟）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他

们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数:

I,3,6,10,称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,称为正方形数,

记三角形数构成数列{%},正方形数构成数列{2},则下列说法正确的是（）

第12页（共21页）

B.1225既是三角形数，又是正方形数

^111133

C.—+—+—+…+—<—

瓦b2瓦b„20

D.V〃zwN*,加22,总存在p,qeN*,使彳导耳=”“+为成立

【解答】解:三角形数构成数列{4}:1,3,6,10,

易发现〃2-％=2，a3-a2=3,…，an-an_}=n(n^2),

累力口得W（"l）；+〃）,

所以％=硬＞2,”=1也成立；

正方形数构成数列也,}:1,4,9,16,

易发现&-4=3,4-&=5,…，"一=2〃-1(〃22),

累加得“_4=(2〃+2)(〃—1),得到〃=i也成立;

g,12£1、

对A，—=------=2(-------)，

ann(n4-1)nn+1

所以'++-L=2(1匚)=3-,故选项N错误；

axa2a3an"+1〃+l

M"_1_M

对8,令/=---=1225,解得〃=49；令”="2=1225,解得〃=35,故选项8正确;

对C,—=~~<—=2(------------)

bnn~4/厂-12n-12n+1

所以_L+_L+_L+_+_L=i+_L+1

2〃+l)

ab2b}b„42/1-1

整理得,j史一，<史,故选项C正确;

2n+l202n+l20

第13页（共21页）

对。,取〃?=p=q,且加cN*，令加2=网qtl)+"<〃；__12,有〃”=。桁+。加_],

故VmwN",加》2,总存在p,qwN*,使得成立，故选项。正确；

故选：BCD.

三、填空题

13.(2015•房山区一模)已知函数/(乃=乂5口试°),则〃〃-l))=_-5_；若

l-3x(x>0)

f(2a2-3)>f(5a),则实数a的取值范围是.

【解答】解：•.■函数〃x)=•(/"0),,/(_1)=(1)-1=2,：.f[f(-1)]=f(2)

1—3x(x>0)

=1—3x2=-5.

再由函数的解析式可得，函数/(x)在R上是减函数，故由/(2/一3)>/(5〃)，

可得2a?-3<5a,解得」<a<3,

2

故答案为-5,(-；,3).

14.(2023•晋城一模)写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：

X2--=1・

3一

①焦点在x轴上；②离心率为2.

【解答】解：已知双曲线的焦点在x轴上，且离心率为2,

Y2y2

不妨设双曲线方程为*-与=1，

ab

则正运=2,

a

22

即b=3af

设/=1,

则满足题意的双曲线的标准方程为了2-匕=1,

3

故答案为：x2--=1.

3

15.(2023•安宁市校级模拟)在三棱锥产一/BC中，ZABC=60°,ZPBA=ZPCA=90°,

点尸到底面/8C的距离为近,若三棱锥尸-48C的外接球表面积为6万，则4c的长为

第14页(共21页)

屋

【解答】解取尸4的中点哦，连接08,0C,因为ZPai=NPC/=90。,

所以O/=OP=O8=OC,

即。为三棱锥外接球的球心，

设外接球半径为R,由$=4万斤=6万，所以解=2,

2

过。做00」面ABC交于O',连接O'A则O'A为AABC,

则0N为\ABC外接圆的半径设为r,贝IJr=O'A,

因为点尸到底面/8C的距离为0,所以00』注，

2

在AJ。。'中，R2=OO'2+r2,所以r=3_(正)2=],即厂=1,

22

在AJBC中，2/-=———,所以/C=2,“sin60o=2・l・3=6，

sinZABC2

故答案为：也.

16.(2023•宣威市校级模拟)已知尸、。分别在直线4:x-y+l=O与直线4：x-y-l=0上,

且尸。，/1，点/(-4,4),8(4,0),则|ZP|+|P0|+|Q8|的最小值为_屈+&_.

【解答】解：由直线4与4间的距离为女得I尸。1=&，过8(4,0)作直线/垂直于

/,:X-J/+1=0,如图所示：

则直线/的方程为：＞=r+4,

将5(4,0)沿着直线/往上平移72个单位到"点，有*(3,1),

连接49交直线(于点P,过户作PQJ./?于。，连接80,有BBliPQ,\BB'\^PQ\,

故四边形887。为平行四边形，

第15页(共21页)

则|P*|=|8Q|,即有|/P|+|0B|=|ZP|+|P8'|=MB'|,显然|4斤|是直线4上的点与点4,

夕距离和的最小值，

因此\AP\+\QB\的最小值，即\AP\+\PB'\的最小值|/夕|,而

\AB'\=7(-4-3)2+(4-1)2=V58,

故|/P|+|PQ|+|08|的最小值为|Z*|+|P0|=病+/.

17.(2023•安宁市校级模拟)已知函数/(x)=axcosx-2sinx,其中aeR.

(1)当a=2时，讨论“X)在(0,2乃)上的单调性；

(2)若对任意xe(0,10都有/(x)<3x,求实数0的取值范围.

【解答】解：(1)当Q=2时，J\x)=2xcosx-2sinx,

贝ij/a)=-2xsinx,

故当xw(0,万)时,f\x)<0,当xe(肛2幻时,f\x)>0,

所以/(x)在€(0,1)上单调递减，在(肛24)上单调递增.

(2)令g(x)=3x+2sinx-oxcosx，则g'(x)=3+(2-cosx+axsinx,

当QWO时，axcosx^O,所以g(x)>g(0)=0,

当0<时，g'(x)》3-3cos/+axsinx〉0,故g(x)在(。，^)上单调递增，

又g(0)=0，故g(x)>g(0)=0，

当〃>5时，g/z(x)=(26/-2)sinx+axcosx>0,故g，(x)在(0,乡上单调递增,

又g，(0)=5-a<0,g-(1)=3+y>0,

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故存在X。e（0,9使得g，（x0）=0,且当xe（O,xo）时g\x）<0,即g（x）在（0,x0）上单调递减，

所以当xe（0,x（））时，g（x）<g（0）=0.

综上，a的取值范围是（-8,5].

18.（2023•安宁市校级模拟）某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结

果如下表：

邮箱数601302653061233213047006897

名称里3678165187728130028204131

有数字

的邮箱

数

频率

（1）填写上表中的频率（结果保留到小数点后两位）；

（2）人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？

【解答】解：（1）由频率公式可算出表格中的频率从左向右依次为：

0.60,0.60,0.62,0.61,0.59,0.61,0.60,0.60.

（2）由（1）知，虽然计算出的频率不全相同，但都在常数0.60左右摆动，

因此，中国人在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60.

19.（2023•西山区校级模拟）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和

生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止

境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫

情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即

该厂的年产量）x万件与年促销费用机万元（加20）满足x=4.已知生产该产品的固

m+1

定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为时包万元/万

X

件（产品年平均成本）的1.5倍.

（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【解答】解：（1）y=1.5x8+6xx-8-16x-

x

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=4+8x—〃7

=4+8(4—)-w

m+1

=36—————m,(吟0)；

m+1

HP^=36—————m>(加20)；

m+1

（2）由（1）知y=37-（-^-+机+l）W37-2j-^-x（加+1）=29,

当且仅当一9=m+l,即加=3时取等号.

tn+1

所以厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

20.（2023•安宁市校级模拟）已知抛物线C:/=2px（p>0）的准线过双曲线

-----=1（0<4<1）的左焦点.

（I）求抛物线C的方程；

（H）设抛物线C的焦点为F,直线/:y=x-2与C交于不同的两点4,8,求一!一+

的值.

【解答】解：（I）由题意可知，双曲线的左焦点为（-1,0）,

——=—1,即p=2.

抛物线的方程为V=4x；

(II)把直线/的方程y=x-2代入「=4x,得/一8x+4=0.

,-.△=(-8)2-16=48>0.

设4项，必），8（乙，％）・

贝U演+々=8,x1x2=4.

,111]F+J+210

,•两两一Ex2+1XjX2+x1+x2+113

21.（2023•安宁市校级模拟）已知过点（1,-）的椭圆C:』+匕=1伍>6>0）上的点到焦点的

2a~h-

最大距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

22

（2）已知过椭圆。:三+q=1（。>6>0）上一点P（x°,为）的切线方程为华+峥=1.已

abab

第18页（共21页）

知点M为直线x=T上任意一点，过用点作椭圆C的两条切线M4,MB,A,8为切点,

N8与QW（。为原点）交于点。，当NMD5最小时求四边形的面积.

【解答】解：（1）椭圆C:?+£=l（a>b>0）上的点到焦点的最大距离为3,则有a+c=3,

点（1,$在椭圆C上，则有!+磊=1,又/=〃+°2,

则/=〃+（3-0）2,;.从=6"9,

1Q

由二十—v=l得4/+9/=4〃2〃，:.9a2=4h2（a2-l）,即9/=4（/一1）（6〃一9）,

a4/r

整理得（a—2）（8/+Q—6）=0,解得a=2,或a=苣泞,

由于a+c=3,a>c>0,a>—,故a=1±J193舍去,

216

..a=2,c=l,b—,

椭圆。的方程为：=••

43

(2)设M(-4,%),(y0>0),A(x,,必)，B(x2,%),

由已知，切线方程为梏+空=1,切线方程为生+里=1,

4343

又切线都过〃点，