离散型随机变量的数字特征（六大题型）

7．3离散型随机变量的数字特征【题型归纳目录】题型一：利用定义求离散型随机变量的均值题型二：离散型随机变量均值的性质题型三：离散型随机变量均值的应用题型四：求离散型随机变量的方差题型五：方差的性质的应用题型六：均值与方差的综合应用【知识点梳理】1、离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为…………则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．2、两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么；3、离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为．一般地，下面的结论成立：．4、离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为…………考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为．5、几个常见的结论（1）．（2）若服从两点分布，则．【典型例题】题型一：利用定义求离散型随机变量的均值【方法技巧与总结】求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）．例1．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（

）A．该游客至多游览一个景点的概率为 B．C． D．【答案】C【解析】的所有可能取值为0，1，2，3，4．则，，所以该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确．，故B正确．，故C错误．又，所以，故D正确．故选：C．例2．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）设，随机变量的分布是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据分布列的性质可知：，结合题干条件可解得：，而，于是.故选：B例3．（2023·浙江温州·统考模拟预测）一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（

）A．分 B．4分 C．分 D．分【答案】C【解析】由题意的取值是3，4，5，，，，，故选：C．A． B． C． D．【答案】B【解析】记李明这3道题得分为随机变量，则的取值为0，5，10，15，，，，，所以．故选：B例4．（2023·全国·高三专题练习）某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，的所有可能取值为1,2,3，，所以，令，解得或，又因为，所以，即的取值范围是.故选：B题型二：离散型随机变量均值的性质【方法技巧与总结】离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量与的关系为为常数，一般思路是先求出，再利用公式求．也可以利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得．例5．（2023·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P（X=0）=0．2，P（X=1）=0．6，P（X=2）=0．2，则=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【解析】因为离散型随机变量X的分布列为P（X=0）=0．2，P（X=1）=0．6，P（X=2）=0．2，所以，所以．故选：C例6．（2023·北京·人大附中高二阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（

）123A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，解得，所以，所以；故选：C例7．（2023·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（

）A．或4 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以，解得或（舍去），故选：D例8．（2023·山西·晋中新大陆双语学校高二阶段练习）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：X01Pab则a，b的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则有，解得．故选：C．例9．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知随机变量X的分布列如下所示，则（

）．X012PaA． B． C． D．【答案】D【解析】由分布列的性质得，∴，故选：D题型三：离散型随机变量均值的应用【方法技巧与总结】解答实际问题时，（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应均值．例10．（2023春·辽宁朝阳·高二统考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.(1)求样本容量是多少？第六小组的频数是多少？(2)求a，b，c，d的值；(3)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，（i）求在各组应该抽取的人数；（ii）在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.【解析】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量.因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是.（2）由频率之和为1，得，所以.因为频率分布直方图中的满足，所以.所以代入中，得，得，解得.所以.（3）（i）因为前4组的频率之比为，且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，所以在应该抽取的人数分别是.（ii）由题意，随机变量的所有可能取值是.则故随机变量的分布列为0123故随机变量的数学期望为.例11．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）在2022年9月贵阳市疫情防控期间，某学校高一学生居家学习，为了解学生的自主学习状况，随机抽取了该年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）平均每天自主学习时间的数据（单位：分钟），并分组整理得到如下频率分布表：组别分组频数频率4108(1)学校要进一步研究学生自主学习时间与学业成绩的相关性，在这5组内的40名学生中，用分层抽样的方法再选取20人进行对照研究，求从组中抽取的人数；(2)若组中男生有3人，现从该组中随机抽取3人，以表示其中抽取男生的人数，求的分布列和数学期望；【解析】（1）因为，所以，因此，设从组的学生中选取的人数为，则有，所以从组的学生中选取的人数为3（2）由题意可知：，，，，．所以的分布列如下：0123．例12．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.【解析】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件，所以，所以小陈同学有机会答题的概率是.（2）的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以，，，，，所以的分布列为：X05101520P所以.例13．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：(1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.【解析】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为，.（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，故X可能的取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为.例14．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．【解析】（1）由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为．设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为，则，∴．（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，∴X的分布列为：X0123P∴．例15．（2023·全国·高三专题练习）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【解析】（1）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为（2）ξ的所有可能值为1，2，3.(或)（或）.综上知，ξ有分布列为：ξ123P.题型四：求离散型随机变量的方差【方法技巧与总结】求离散型随机变量的方差的类型及解决方法（1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．（2）已知分布列是两点分布：直接套用公式求解．（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况．例16．（2023·上海市奉贤中学高二期末）已知一个随机变量的分布为，且，则______．【答案】0．4【解析】由题意得，解得，故答案为：0．4例17．（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布如下表：02Pab若随机变量的期望值，则______．【答案】11【解析】由表中数据得：，解得，又，，所以，所以．故答案为：11．例18．（2023·全国·高二课时练习）某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差______．【答案】【解析】同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．记为遇到红灯的次数，则，，，．故答案为：．题型五：方差的性质的应用【方法技巧与总结】求随机变量方差的方法求随机变量的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式求解．例19．（2023·全国·高二课时练习）对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．①是反映随机变量的平均取值；

②越小，说明X越集中于；③；

④．【答案】①②③【解析】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；，，则③正确，④错误．故答案为：①②③．例20．（2023·全国·高二课时练习）离散型随机变量X的分布为：01245若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．①；②；③；④．【答案】①③【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，则，，所以①③正确；又由离散型随机变量Y满足，所以，，所以②④错误，故答案为：①③．例21．（2023·四川眉山·高二期末（文））若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________．【答案】8【解析】由题设，，故，所以新数据的标准差为8．故答案为：8例22．（2023·山西·怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（文））某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的方差为________．【答案】【解析】将没有发芽的种子数记为，则，，又，．故答案为：．题型六：均值与方差的综合应用【方法技巧与总结】（1）均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．（2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．例23．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）为了解高三学生身体素质情况，对高一年级的（1）班~（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高三年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（3）班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系并说明理由.【解析】（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人，从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率.（2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为9人，所以所有可能的取值为，所以；；则的分布列为：数学期望.（3）由散点图知：，，；，，；，，；，，；.例24．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）某经营礼品花卉的店主记录了去年当中100天的A，B两种花卉每枝的收益情况，如表所示：A种花齐：收益x（元）02天数103060B种花齐：收益y（元）012天数303040(1)如果店主向你咨询，明年就经营一种花卉，你会给出怎样的建议呢？(2)在实际中可以选择适当的比例经营这两种花卉，假设两种花卉的进货价都是每枝1元，店主计划投入10000元，请你给出一个经营方案，并说明理由．【解析】（1）记A种花卉方差为，B种花卉方差为，A种花卉收益X为-1,0,2，，，，所以，所以；B种花卉收益Y为0,1,2，，，，所以，所以,因为，所以B种花卉收益稳定，选择B种花卉经营；（2）设投入a元经营A种花卉，则投入元经营B种花卉，所以元，，当时，两种花卉收益方差最小，收益最稳定，10000-3485=6515元，故投入3485元经营A种花卉，则投入6515元经营B种花卉.例25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：甲种股票：收益x（元）02概率乙种股票：收益y（元）012概率(1)如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．【解析】（1）由题知：，，，由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，所以，投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥.（2）设投资甲种股票元，投资乙种股票元，所以，，所以，当时，取得最小，所以，应当投资甲种股票元，乙种股票元，例26．（2023·全国·高三专题练习）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【解析】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；所求概率（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．．则的分布列为：123，；设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为．，，，则的分布列为：0123．．由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．例27．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．【解析】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件，则（A）．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，则，1，2，，，，所以的分布列为：012．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则，，故，．【同步练习】一、单选题1．（2023·浙江·模拟预测）已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10~2020~3030~4040~50甲的频率乙的频率0某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，，相互独立，，，，．故选：D.2．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示：0p其中，若，且，则（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】因为，所以；，因为，所以，.故选：A.3．（2023·广东广州·统考二模）已知随机变量的分布列如下：12若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得解得故选：B.4．（2023·高二课时练习）如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因为，又，所以，，则，.故选：D.5．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为：01则当在上增大时（

）A．单调递增，最大值为B．先增后减，最大值为C．单调递减，最小值为D．先减后增，最小值为【答案】D【解析】由题知，解得，所以所以由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量X的分布列是（

）X01Pb则当a在内增大时，（

）A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大【答案】C【解析】解折：因为，所以，因为，所以所以当时，增大增大，当时，减小减小.故选：C.7．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（

）A．减小，增大 B．减小，减小C．增大，增大 D．增大，减小【答案】C【解析】由题意可得：，，所以.所以当在内增大时，增大.；.所以.所以当在内增大时，增大.故选：C8．（2023·全国·高三专题练习）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以故选：D二、多选题9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）设离散型随机变量X的分布列为：X01234q若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】对于A，由，则，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，，故D错误.故选：AB.10．（2023·全国·高二专题练习），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（）A．的值最大 B．C．随着概率的增大而减小 D．随着概率的增大而增大【答案】BD【解析】当时，，，A错误；因为，所以，即，B正确，，因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.11．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：0101下列说法中正确的是（

）A．若且，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【解析】依题意，，则，又，，所以，，所以，对于A：因为且，所以，所以，所以，故A正确；对于B：因为，由于无法确定与的大小关系，即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故B错误；对于C：因为，所以，，所以，即，即，故C正确；对于D：因为，所以，但是无法确定与的大小关系，即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故D错误；故选：AC12．（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（

）A．的可能取值为0，1，2，3 B．C． D．【答案】BD【解析】根据题意，的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，，，所以，的概率分布列为：所以，，，所以，BD选项正确，AC选项错误.故选：BD．三、填空题13．（2023·全国·高三对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.X－101Pab【答案】5【解析】依题意可得，解得，所以，所以.故答案为：5.14．（2023·高三课时练习）已知X的分布列如下表所示，设，则的值为_________．X－101P【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.15．（2023·高二课时练习）已知某随机变量满足，其中为常数，则______．【答案】0【解析】某随机变量满足，则随机变量的取值只有，所以，故.故答案为：0.16．（2023·高三课时练习）在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则方差D(ξ)的最大值为_________．【答案】【解析】由题意可得分布的分布列为：ξ01P则，故当时，取到最大值.故答案为：.四、解答题17．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）某校在2018年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组,第二组,．．．第六组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为,求的分布列和期望.【解析】（1）根据频率分布直方图,得成绩在的频率为,所以估计该校全体学生的数学平均成绩为,所以该校的数学平均成绩为107.（2）根据频率分布直方图得,这人中成绩在分以上(包括分)的有0.08×50=4人,而在的学生共有,所以的可能取值为、、、,所以,

,,

,所以的分布列为数学期望值为.18．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人.(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列及期望.【解析】（1）由题意可知，从推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人，设事件A表示“选出的数学教师人数多于语文教师人数”，表示“恰好选出1名数学教师和2名英语教师”，表示“恰好选出2名数学教师”，则彼此互斥，且，∴选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率.（2）由题可知，X的所有可能取值为；从6名教师中任选3人，恰有名数学教师的概率所以，即X的分布如下：012期望值.19．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件