2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测题 （解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测题第I卷（选择题）一、单选题1．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合，，则（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】化简集合，再由交集的定义即得.【详解】∵或，，所以.故选：A.2．（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合，则A∩B=（

）A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，而或，故，故选：D.3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件．故选：A.4．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】举反例否定选项A,B,C；利用不等式的性质证明选项D正确.【详解】对于A，当时不成立；对于B，当时，显然不成立；对于C，当时不成立；对于D，因为，所以有，即成立.故选：D．5．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）关于x的一元二次不等式的解集为，则的取值范围（

）A．a>0 B．0<a<1 C．0<a≤1 D．a>1【答案】B【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解.【详解】要使一元二次不等式的解集为，则需满足，故选：B6．（2022·全国·高一专题练习）若命题“，”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【答案】D【分析】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用求得a的取值范围．【详解】命题“，”的否定是假命题，则命题“，”是真命题，即，解得a＞3或a＜﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）故选：D7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.8．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．【详解】对A，由，得，当，时，A错误；对B，当，时，B错误；对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：对D，由，得，所以，因为，所以D正确．故选：CD．10．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于的不等式对恒成立，当时，原不等式即为恒成立；当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：的取值范围为：.所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.故选：BC.11．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．任意的正数，且，都有C．若正数、满足，则的最小值为3D．设、为实数，若，则的最大值为【答案】BCD【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.【详解】选项A：，当时，，当且仅当时有最小值.故A不正确.选项B：对于任意正数，，而，所以，当且仅当时取得最大值.所以，当且仅当时取得最大值.故B正确.选项C：对于正数，,所以所以当且仅当，即时取得最小值.故C正确.选项D：因所以，即所以，当且仅当时等号成立.故D正确.故选：BCD.12．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知，，下列命题中正确的是（

）A．“”的最小值为B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】求得最小值排除选项A；求得最小值选B；求得最小值排除选项C；求得最小值选D.【详解】选项A：，则令，则在上为增函数，则故，则最小值为.判断错误；选项B：由，，可得，则（当且仅当时等号成立），解之得.判断正确；选项C：，，，（当且仅当时等号成立），则.判断错误；选项D：由，可得，则，又，，则则（当且仅当时等号成立），故有.判断正确.故选：BD第II卷（非选择题）三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.【答案】【分析】由解集得是方程的两实数根，利用韦达定理得，代入不等式化简后解不等式可得答案.【详解】关于的不等式的解集为，是方程的两实数根，且，由韦达定理得，，不等式化为，即，解得或，故答案为：．14．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.【答案】【分析】由判别式小于0可得．【详解】由题意，．故答案为：．15．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知a，b∈R，且，则的最小值是_____．【答案】2【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.【详解】∵，∴，当且仅当a＝1＝b时取等号，其最小值是2，故答案为：2．16.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知，，下面四个结论：①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果【详解】对于①，因为，所以，即，因为，，所以，所以①正确，对于②，因为，所以，所以，当且仅当，，即时取等号，所以②错误，对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确，对于④，因为，当且仅当，即时取等号，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，故答案为：①③④四、解答题17．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】利用二次方程与二次不等式的关系直接求解即可.（1）因为，所以的解集为；（2）因为，所以的解集为；（3）原不等式可化为，因为，所以方程无实根，又因为的图象开口向上，所以原不等式的解集为；18．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.（3）取得，根据判别式小于0可得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为．19．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围(1)因为不等式的解集是．所以－1和3是方程的解，把代入方程解得．经验证满足题意(2)若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，所以，解得，所以m的取值范围是．20．（2022·福建南平·高二期末）设全集，集合，，(1)求，(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）解一元二次不等式得集合M，按集合的交并补运算即可；（2）利用集合间的包含关系，列不等式求解.(1)解：由得，所以由得，所以(2)解：根据集合得，解得21．（2022·四川达州·高一期末（理））（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，证明：．【答案】（1）8；（2）证明见解析．【分析】(1)可化为，再由基本不等式求其最值；(2)由条件可得，结合基本不等式完成证明.【详解】解：（1）因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．（2）