2023年中考九年级数学高频考点 训练 -切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一切线的证明

一、综合题

1.如图，是RSABC的外接圆，NABC=90。，BD=BA,BELOC交DC的延长线于点E.

(1)若/5A£)=70。，则°；

(2)若A8=12,BC=5,求。E的长：

(3)求证：BE是。。的切线.

2.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，D为BA延长线上一点，乙4CD=.

(1)求证：DC为。0的切线；

(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F且“EF=45。，。0的半径为5,sinB=|,求

CF的长.

3.如图，四边形ABC。的顶点在。。上，8。是。。的直径，延长CO、BA交于点E,连接AC、

BD交于点、F,作垂足为点“，已知NAOE=NAC8.

(1)求证：A”是。。的切线；

(2)若OB=4,AC=6,求sin/ACB的值;

(3)若需=|,求证：CD=DH.

4.如图，。0是^ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA,BEJ.DC交DC的延长线于

点E,求证:

(1)乙ECB=/.BAD；

(2)BE是。0的切线.

5.如图，已知RSABC,NC=90。，D为BC的中点，以AC为直径的。O交AB于点E.

(2)若AE：EB=1：2,BC=6,求AE的长.

6.如图，在RSABC中，ZC=90°,NBAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点0为圆

心作OO,使。O经过点A和点D.

(D判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,NB=30。.

①求。0的半径；

②设。O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面

积.(结果保留根号和兀)

7.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作。O交AB于点D,交AC于

点G,DF1AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.

(1)求证：直线EF是。0的切线；

(2)求cosNE的值.

8.如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径的00分别交AB,BC于点D,E,点F在AB

的延长线上，2ZBCF=ZBAC.

(1)求/ADE的度数.

(2)求证：直线CF是。0的切线.

9.如图，AB是。O的直径，弦CDLAB于H,G为。O上一点，连接AG交CD于K,在CD的

延长线上取一点E,使EG=EK,EG的延长线交AB的延长线于F.

(1)求证：EF是OO的切线；

(2)连接DG,若AC〃EF时.

①求证：△KGD^AKEG；

②若cosC=1，AK=内，求BF的长.

10.在Rt△ABC中，乙4=90。，AB=AC=4,0是BC边上的点，。。与AB相切，切

点为D，AC与。。相交于点E,且力。=4E.

A

(2)如果F为DE弧上的一个动点(不与D、E重合)，过点F作。O的切线分别与边

AB、AC相交于G、H,连接0G、0H,有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，

②乙GOH的度数不变.已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；

(3)探究：在(2)的条件下，设BG=x,CH=y,试问y与％之间满足怎样的函数关

系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时尸点的位置.

11.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交BC于点D,连接AD,过点D作

DM1AC,垂足为M,AB、MD的延长线交于点N.

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)求证：DN2=BN・(BN+AC)；

(3)若BC=6,cosC=|,求DN的长.

12.如图，AB为OO的直径，P为BA延长线上一点，点C在。O上，连接PC,D为半径0A上一

点，PD=PC,连接CD并延长交。。于点E,且E是脑的中点.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若AB=8,CD・DE=15,求PA的长.

13.如图，△力BC内接于。。，。。的直径AD与弦BC相交于点E,BE=CE,过点D作。F||BC交

AC的延长线于点F.

(1)求证：DF是。。的切线；

(2)若sin乙BAD=g，AB=6,求DF的长.

14.如图，在Rt/MBC中，^BAC=90°,ZC=30°,以边AC上一点0为圆心，04为半径作。。，O

。恰好经过边BC的中点D,并与边4C相交于另一点F.

(1)求证：BD是。。的切线.

(2)若AB=6,E是半圆W上一动点，连接4E,AD,DE.填空:

①当M的长度是时，四边形2BDE是菱形；

②当鹿的长度是时，A4CE是直角三角形.

15.已知AB是。O的直径，弦CDLAB于H,过CD延长线上一点E作。O的切线交AB的延长

线于F,切点为G,连接AG交CD于K.

c

(1)如图1,求证：KE=GE；

(2)如图2,连接CA,BG,若NFGB=jZACH,求证：CA〃FE；

(3)如图3,在⑵的条件下，连接CG交AB于点N,若sinE=|,AK=V10,求CN的

长.

16.如图，已知在RtAABC中，ZC=90°，点D为AC的中点.

(1)请利用尺规作出以BC为直径的。0；(保留作图痕迹)

(2)AB交。0于点E,连接DE,求证：DE是。。的切线.

(3)若ZABC=30°,BC=6,求。0与DE、DC组成的阴影部分面积.

答案解析部分

1.【答案】(1)70

(2)解：在RtZSABC中，AC=yjBC2+AB2=13,ZBDE=ZBAC,ZBED=ZCBA=90°,

/.△DEB^AABC,

♦DE_BDgnDE_12

，9AB=AC'即12=13解得，DE=

(3)证明：连接OB,

AZOBC=ZOCB,・.♦四边形ABCD内接于。O,AZBAD+ZBCD=180°,

VZBCE+ZBCD=180°,

AZBCE=ZBAD,

VBD=BA,

・・・NBDA=NBAD,

VZBDA=ZACB,

AZACB=ZBAD,

AZOBC=ZBCE,

・・・OB〃DE,

VBE1DC,

ABE1OB,

・・・BE是。O的切线.

•・・Z.ACB=Z.BCO+^OCA=90°,

•・•OB=OC,

・•・乙B=Z.BCO,

vZ.ACD=乙B,

•••Z.ACD=Z.BCO,

・・・Z.ACD+Z.OCA=90°，EPz.OCD=90°，

・•・OC为。。的切线

QAr

(2)解：(2)/?t△ACB中，AB=10sinB=弓=而，AC=6,BC=8,

•・•Z.ACD=乙B,Z-ADC=乙CDB,

・•・△CADs△BCD,

AC_AD_6_3

ABC=CD=8=4'

设4。=3%,CD=4x,

RtAOCD中，0)2=002,52+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或斗，

•••乙CEF=45°,乙ACB=90",

•••CE=CF，

设CF=a,

vZ-CEF=Z-ACD+乙CDE,

Z.CFE=NB+乙BDF,

•••Z-CDE=Z-BDF,

vZ.ACD=Z.B,

•••△CEDs△BFD,

C^_BF_

CD=JD

ci_8—ci24

4乂乎-10+3X乎'a=—,

24

CF,

3.【答案】⑴证明:由圆周角定理得，ZACB

=ZADB,

VZADE=ZACB,

.,.ZADE=ZADB,

•..BD是直径，...NDAB=NDAE=90。，

在^DAB和^DAE中，

CZ.BAD=Z.EAD

{DA=DA，

^BDA=Z.EDA

・・・△DAB^ADAE,

・・・AB=AE,又,.・OB=OD,

・・・OA〃DE,又,.,AHJ_DE,

AOA±AH,

JAH是（DO的切线

（2）解：由（1）知，ZE=ZDBE,ZDBE=ZACD,

AZE=ZACD,

••・AE=AC=AB=6.

在RQABD中，AB=6,BD=8,ZADE=ZACB,

AsinZADB=：="即sinZACB=垓

844

（3）证明：由（2）知，OA是ABDE的中位线，

；.OA〃DE,OA=|DE.

.,.△CDFsaAOF,.•名=需=.,

.,.CD=|OA=jDE,即CD=1CE,

VAC=AE,AH1CE,

；.CH=HE=1CE,

.*.CD=1CH,

.\CD=DH.

4.【答案】（1）证明：•••四边形ABCD是圆内接四边形,

/.ZECB=ZBAD.

(AB=BD

(2)证明：连结OB,OD,在△ABO和△DBO中，\B0=BO,?.△ABO^ADBO(SSS),

OA=OD

AZDBO=ZABO,VZABO=ZOAB=ZBDC,AZDBO=ZBDC,

AOB//ED,

VBE±ED,.\EB±BO,

・・・BE是。O的切线

5.【答案】(1)证明：

连接OE、EC,

VAC是。。的直径，

AZAEC=ZBEC=90°,

・・・D为BC的中点,

AED=DC=BD,

AZ1=Z2,

VOE=OC,

/.Z3=Z4,

AZ1+Z3=Z2+Z4,

即NOED=NACB,

・・•ZACB=90°,

・•・ZOED=90°,

・・・DE是。O的切线

(2)解：由(1)知：ZBEC=90°,

VftRtABECRtABCAZB=ZB,NBEONBCA,

/.△BEC^ABCA,

.BE_BC

••BC-BA'

.*.BC2=BE»BA,

VAE：EB=1：2,设AE=x,贝I」BE=2x,BA=3x,

VBC=6,

62=2x*3x,

解得：x=V6,

即AE=V6

6.【答案】（1）解：（1）直线BC与。O相切；

VOA=OD,

.-.ZOAD=ZODA,：NBAC的角平分线AD交BC边于D,AZCAD=ZOAD,

.*.ZCAD=ZODA,AOD^AC,NODB=NC=90。，即OD_LBC.又...直线BC过半径OD的外

端，

二直线BC与。O相切.

（2）解：①设OA=OD=r,在RtABDO中，ZB=30°,.\OB=2r,在RsACB中，ZB=30°,

.•.AB=2AC=6,，3r=6,解得户2.

②在RtAACB中，ZB=30°,

-

ZBOD=60°.AS扇形ODE二'。Mo?=-|兀.，所求图形面积为SAB0DS扇形0DE=2次-］兀，

7.【答案】（1）证明：如图，

方法1：连接OD、CD.

TBC是直径，

ACD±AB.

VAC=BC.

・・・D是AB的中点.

・・・O为CB的中点，

AOD//AC.

VDF1AC,

AOD±EF.

JEF是圆O的切线.

方法2：VAC=BC,

AZA=ZABC,

VOB=OD,

AZDBO=ZBDO,

•.*ZA+ZADF=90°

JZEDB+ZBDO=ZA+ZADF=90°.

即NEDO90。，

/.OD±ED

JEF是圆O的切线.

(2)解:连BG.

IBC是直径,

.\ZBDC=90o.

,CD二yjAC2-AD2=8.

VAB*CD=2SAABC=AC*BG,

・口AB・CD_96_48

•・BG-~10-T-

・，・CG=y/BC2-BG2=署・

VBG1AC,DF±AC,

・・・BG〃EF.

AZE=ZCBG,

AcosZE=cosZCBG=舞=卷

8.【答案】(1)解：••.△ABC是等边三角形,

AZACB=ZACE=60°,

AZADE=180°-ZACE=120°

(2)解：:。。的直径是AC,

AZAEC=90°,即AE_LBC.

又YAB=AC,

/.ZBAE=ZCAE.

V2ZBCF=ZBAC,

AZBCF=ZCAE.

VZCAE+ZECA=90°,

AZBCF+ZECA=90o,即NACF=900.

又AC是直径，

・,・直线CF是。O的切线

9【答案】(1)证明：如图，连接OG「・,EG=EK,

・•・ZKGE=ZGKE=ZAKH,

XOA=OG,AZOGA=ZOAG,

VCD1AB,.\ZAKH+ZOAG=90o,

AZKGE+ZOGA=9()0,

.•.EF是。O的切线.

(2)解：①YACaEF,ZE=ZC,

又NC=NAGD,.*.ZE=ZAGD,

又NDKG=NCKE,

KGD^AKGE.

②连接OG,如图所示「.•cosC=&，AK=VlO,

设cosC=3=翼=k,ACH=4/c,AC=5k,则AH=3k

5AC

KE=GE,AC〃EF,ACK=AC=5k,AHK=CK-CH=k.

在RSAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,

即(3/c)2+k2=(V10)2，k=l，CH=4，AC=5，贝UAH=3，

设。O半径为R,在RSOCH中，OC=R,OH=R-3k,CH=4k,

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,(/?-3)2+42=R2，二/?=曾

在RtAOGF中，cosC=cosZ-GOF=言=空，OF=，

5OF24

10.【答案】（1）解：如图，连接OA,OD,OE,

/.ZADO=90°,

〈AD=AE,OD=OE,AO=AO,

AOD^AAOE,

AZADO=ZAEO=90°,

JAC是0O的切线，点E为切点;

(2)解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG,

•.Z=90。，AB=AC=4,

.,.ZB=ZC=45°,BC=4V2,

ZADO=ZAEO=90°,OD=OE,

.\ZDOB=ZEOC=45O,△BOD^ACOE,

.,.OB=OC,BD=CE,

.,.ZEOD=90°,ZAOB=90°,ZBAO=45°,

；.BD=OD=DA=CE=|AB=2,

VAB,AC,GH都是。O的切线，

.*.HF=HE,GD=GF,

四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD

=BC+CE+BD+GH+HF+FG

=BC+CE+BD+2GH

=4+4V2+2GH,

：GH是变量，

二四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；

VAB,AC,GH都是。O的切线，

根据切线长定理，得

GO平分/DOF,HO平分/EOF,

ZGOH=ZGOF+ZHOF=1ZDOF+|NEOF=1(ZDOF+ZEO)

=1ZEOD,

VZEOD=90o,

/.ZGOH=45°,是个定值，故该结论符合题意

(3)解：根据题意，GD=GF=x-2,HE=HF=y-2,

，GH=x+y-4,AG=4-x,AH=4-y,

在直角三角形AGH中，

AG2+AH2=GH2,

,,(x-2)2+(y—2)2=(%+y—4?,

整理，得

y=§,且2<x<4,

x

当x二y时,・\AG=AH,

AAG：AB=AH：AC,

，GH〃BC,

A0F1GH,

VBG=CH,ZB=ZC,BO=CO,

・•・△BOG^ACOH,

AGO=HO,

・・・GF二FH,

/.A,F,O三点一线，

.\ZDOF=ZEOF,

・•・弧DF二弧EF,

故点F是弧DE的中点.

IL【答案】(1)证明：如图，连接0D,

VAB是直径，

AZADB=90°,

又,.,AB=AC,

・・・BD=CD,ZBAD=ZCAD,

VAO=BO,BD=CD,

・・・OD〃AC,

VDM1AC,

AOD1MN,

又〈OD是半径，

・・・MN是。。的切线；

(2)证明：VAB=AC,

AZABC=ZACB,

VZABC+ZBAD=90°,ZACB+ZCDM=90°,

/.ZBAD=ZCDM,

VZBDN=ZCDM,

/.ZBAD=ZBDN,

又・・，NN=NN,

・•・△BDN^ADAN,

•BN_DN

^DN=AN'

/.DN2=BN*AN=BN*(BN+AB)=BN・(BN+AC)；

(3)解：VBC=6,BD=CD,

・・・BD=CD=3,

..八_3_CD

,COsC-5~AC9

/.AC=5,

AAB=5,

；.AD=y/AB2-BD2=V25-9=4,

BDN^ADAN,

.BN_DN=BD=3

^DN=AN~AD~4

.,.BN=IDN,DN=IAN,

44

；.BN=?(WAN)=AN，

4416

：BN+AB=AN,

.RAN+5=AN

.•.AN=学，

，DN=1AN=苧.

12.【答案】(1)证明：连接OC,OE,

.*OC=OE,

\ZOEC=ZOCE,

・・E是AB的中点，

,.AE=睦,

,.ZAOE=ZBOE=90°,

・・NOEC+NODE=90。，

ZPC=PD,

\ZPCD=ZPDC,

•,NPDONODE,

\ZPCD=ZODE,

,・ZPCD+ZOCD=ZODE+ZOEC=90°,

,.OC1PC,

•・PC是。0的切线；

(2)解：连接AC,BE,BC,

/ZACD=ZDBE,ZCAD=ZDEB,

ACD^AEBD,

.AD_CD

,前=前，

,.CD・DE=AD・BD=(AO-OD)(AO+OD)=AO2-OD2；

・・AB为。O的直径，

\ZACB=90°,

・・ZPCO=90°,

\ZACP+ZACO=ZACO+ZBCO=90°,

\ZACP=ZBCO,

.,ZBCO=ZCBO,

\ZACP=ZPBC,

VZP=ZP,

；.△ACP^ACBP,

.PC_PA

"PB=PC'

/.PC2=PB«PA=(PD+DB)(PD-AD)

=(PD+OD+OA)(PD+OD-OA)

=(PD+OD)2-OA2

=PD2+2PD«OD+OD2-OA2,

：PC=PD,

，PD2=PD2+2PD«OD+OD2-OA2,

.,.OA2-OD2=2OD«PD,

...CD・DE=2OD・PD；

VAB=8,

，OA=4,

由CD«DE=AO2-OD2；

VCD»DE=15,

.-.15M2-OD2,

.•.OD=1(负值舍去)，

AD=3,

由CD・DE=2OD・PD,

._CD・DE_15

•Mpn-~20D~^T'

，PA=PD-AD=1.

13.【答案】(1)证明：：AD为。。的直径，BE=CE,

：.AD1BC,

：.^AEC=90°,

'：DF||BC,

J.Z.ADF=/.AEC=90°,

：.DFLAD,且OD是。。的半径，

，DF是。。的切线；

(2)解：连接CD,

,sin^BAD=AB=6,

.\CE=BE=2,

JAE=7AB2-BE?=4仍

,：AD1BC,

AC=AB=6,

AE_AC

*cosZ-CAD=AC=AD1

・4g6

・F二而‘

，AD=零,

・・▲二4八DFCE

'tan^CAD=AD=AE'

DF=2

・・•荻-472,

ADF=?(注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答).

14.【答案】(1)证明：如图，连接0。,

ZC=30°,

1

^AB=抑，

是BC的中点，：.BD=^BC,

•\AB=BD,Z-BAD=乙BDA,

;OA=OD,：.^OAD=^ODA,

：.£.ODB=Z^BAO=90°,即。。JLBC,

•'BO是。。的切线.

（2）1TT;：7T或兀

15.【答案】(1)证明：如图1,连接OG.・.,EF切。O于G,

AOG1EF,

/.ZAGO+ZAGE=90°,

・.,CDJ_AB于H,

AZAHD=90°,

AZOAG+ZAKH=90°,

VOA=OG,

AZAGO=ZOAG,

AZAGE=ZAKH,

VZEKG=ZAKH,

.,.ZEKG=ZAGE,

AKE=GE

(2)证明：设NFGB=a,〈AB是直径，AZAGB=90°,

JZAGE=ZEKG=90°-a,

JZE=180°-ZAGE-NEKG=2a,

VZFGB=1ZACH,

JZACH=2a,

/.ZACH=ZE,

，CA〃FE

(3)解：作NPJ_AC于P.VZACH=ZE,/.sinZE=sinZACH=AH_

AC=

|,设AH=3a,AC=5a,

则CH=1AC?-CH?=4a9tanNCAH==寺，

・.,CA〃FE,

AZCAK=ZAGE,

VZAGE=ZAKH