2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5<0}，则S∩T=（）A.∅B.(-1/2,5/3)C.(-∞,-1/2)D.(5/3,∞)改写：求解不等式2x+1>0和3x-5<0的交集，得到S∩T=(-1/2,5/3)。2.α是第四象限角，cosα=A.>0B.=0C.<0D.无法确定改写：由于α是第四象限角，即x轴正方向的右下方，因此cosα必定大于0。3.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则与$\vec{a}$垂直的向量是（）A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向改写：求解向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的内积，得到$\vec{a}\cdot\vec{b}=3$，因此与$\vec{a}$垂直的向量为$\vec{b}-\frac{3}{14}\vec{a}$。4.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$B.$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{16}=1$C.$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$D.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$改写：根据双曲线的定义可知，焦点到双曲线上任一点的距离之差等于常数2倍离心距离。因此，离心距离为4，双曲线方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$。5.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A.36种B.48种C.96种D.192种改写：根据组合数学的知识，从4门课程中选修2门有$\binom{4}{2}=6$种方案，从另外2门课程中选修3门有$\binom{2}{3}=3$种方案，因此不同的选修方案共有$6\times3\times3=54$种，但是甲、乙、丙3人的选修方案可以互相交换，因此实际不同的选修方案数为$54\div3=18$种。6.下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A.（0，2）B.（-2，0）C.（0，-2）D.（2，0）改写：将不等式$x^2+(y-1)^2\leq1$展开，得到$x^2+y^2-2y\leq0$，即$y\leqx^2+2$。因此，位于表示的平面区域内的点是(0,2)和(0,-2)。7.如图，正棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B1与AD1所成角的余弦值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$改写：根据正棱柱的性质，可以得到$A_1B_1\perpAB$，$A_1D_1\perpAD$，因此$\cos\angleA_1B_1D_1=\cos\angleA_1B_1A+\cos\angleA_1D_1D$。又因为$AA_1=2AB$，因此$\cos\angleA_1B_1A=\frac{1}{2}$，$\cos\angleA_1D_1D=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此$\cos\angleA_1B_1D_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。8.设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，则a=A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$C.2D.4改写：根据对数函数的性质，可以得到$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。因此，$f(a)=1$，$f(2a)=2$。又因为$f(x)$在$[a,2a]$上单调递增，因此$f(x)$在$[a,2a]$上的最大值为$f(2a)=2$，最小值为$f(a)=1$。因此，最大值与最小值之差为1，即$2-1=1$，解得$a=2$。9.f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件改写：根据偶函数的定义，可以得到$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=g(x)$，$h(-x)=h(x)$。因此，当$f(x)$和$g(x)$均为偶函数时，有$h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)$，即$h(x)$也是偶函数。因此，选项A“充要条件”成立。10.函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A.$\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$B.$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$C.$\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$D.$\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$改写：对函数$y=2\cos2x$求导数，得到$y'=-4\sin2x$。因此，当$x\in\left(\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+k\frac{\pi}{2}\right)$时，有$y'>0$，即函数$y=2\cos2x$在该区间上单调递增。因此，单调增区间为$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$。11.曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(a,\frac{1}{a})$处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A.$\frac{1}{2a^2}$B.$\frac{1}{a^2}$C.$\frac{3}{2a^2}$D.$\frac{5}{2a^2}$改写：求解曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(a,\frac{1}{a})$处的导数，得到$y'=-\frac{1}{x^2}$，因此该点处的切线方程为$y-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}(x-a)$。该切线与x轴和y轴围成的三角形的底边长为$a$，高为$\frac{1}{a}$，因此三角形的面积为$\frac{1}{2a^2}$。12.抛物线$y^2=4x$的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为$\frac{1}{2}$的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A.4B.6C.8D.12改写：根据抛物线的性质，可以得到焦点坐标为$(1,0)$，准线方程为$x=1$。设直线方程为$y=\frac{1}{2}x+b$，则与抛物线相交的点坐标为$(4b^2,2b)$。又因为该点在x轴上方，因此$b>0$。由于该直线过点F，因此$4b^2=1$，解得$b=\frac{1}{2}$。因此，点A的坐标为$(2,1)$，点K的坐标为$(1,1)$。根据向量的知识，可以得到$\vec{AK}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{AF}$，因此△AKF的面积为$\frac{1}{2}\times|AK|\times|AF|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times4=2\sqrt{2}=4$。所以可以利用二倍角公式将其变为y=1+cos(2x)，再利用三角函数的性质，知道cos(2x)的单调性与cos(x)相同，而cos(x)的单调性在[0,π]上是单调递减的，所以cos(2x)的单调性在[0,π/2]上是单调递减的，所以y=2cos2x在[0,π/4]上是单调递增的，故选A。sinB=1/2，又△ABC为锐角三角形，故B=30°或150°，但B为锐角，故B=30°．（Ⅱ）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，代入c=5，a=2bsinA，B=30°，可得b=5．故答案为：B的大小为30°，b=5．18．（10分）（2007•北京卷）设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象过点（﹣1，2），（0，﹣1），（1，4），且在x＝2处的导数为7，试求f（x）．【分析】根据题意列出方程组，其中包括过三点的条件和导数为7的条件，然后解方程组即可求出f（x）．【解答】解：由题意得方程组：{a﹣b+c﹣d=2d=c﹣a﹣b﹣1a+b+c+d=﹣19a+3b+c=7解得a=1，b=﹣3，c=﹣4，d=﹣5．故答案为：f（x）=x³﹣3x²﹣4x﹣5．19．（15分）（2007•江苏卷）已知函数f（x）=x²﹣2ax﹣a﹣1（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，则它们的和为多少？【分析】（1）求导数，然后根据导数的符号确定函数的单调性；（2）根据零点的性质，可以列出方程并解出零点，然后求和即可．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=2x﹣2a，当x＜a时，f’（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，a）上单调递减；当x＞a时，f’（x）＞0，故f（x）在（a，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）由f（x）有两个零点可知方程x²﹣2ax﹣a﹣1＝0有两个实根，设它们为α，β，则有α＋β＝2a，又因为α，β为f（x）的零点，故α²﹣2aα﹣a﹣1＝0，β²﹣2aβ﹣a﹣1＝0，将两式相加可得（α＋β）²﹣2a（α＋β）﹣2（a＋1）＝0，代入α＋β＝2a，可得2a²﹣2a﹣2＝0，解得a＝1±√2，因为a＞0，故a＝1＋√2．所以α＋β＝2a＝2（1＋√2）．故答案为：（Ⅰ）（﹣∞，a）单调递减，（a，＋∞）单调递增；（Ⅱ）α＋β＝2（1＋√2）．20．（15分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x³﹣3x²﹣12x＋10（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）的极值和最小值．【分析】（1）求导数，然后根据导数的符号确定函数的单调性；（2）对导数进行因式分解，求出导数为0时的x值，然后代入原函数求出极值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=3x²﹣6x﹣12＝3（x﹣2）（x＋2），故f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，2）单调递增，在（2，＋∞）单调递减．（Ⅱ）f’（x）=3（x﹣2）（x＋2），令f’（x）＝0，解得x＝﹣2，2，代入原函数可得f（﹣2）＝26，f（2）＝2，f（0）＝10，故f（x）的极大值为26，极小值为2．故答案为：（Ⅰ）（﹣∞，﹣2）单调递减，（﹣2，2）单调递增，（2，＋∞）单调递减；（Ⅱ）极大值为26，极小值为2．21．（20分）（2007•浙江卷）已知函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）证明：对于任意的x＞0，都有f（x）＜1．（Ⅲ）求f（x）在（1，＋∞）上的最小值．【分析】（1）求导数，然后根据导数的符号确定函数的单调性；（2）证明f（x）＜1，可以将f（x）减去1，然后证明差值小于0；（3）求出f’（x）=0的解，然后代入f（x）求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=1﹣1/x，当x＞1时，f’（x）＞0，故f（x）在（1，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣1，g（x）＝x﹣lnx﹣1，g’（x）＝1﹣1/x，当x＞1时，g’（x）＜0，故g（x）＜g（1），即f（x）＜1．（Ⅲ）f’（x）=1﹣1/x＝0，解得x＝1，代入f（x）可得最小值为f（1）＝1．故答案为：（Ⅰ）（1，＋∞）单调递增；（Ⅱ）证明得f（x）＜1；（Ⅲ）最小值为1．由三角形余弦定理，得$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB=27+25-2\times3\times5\times\frac{\sqrt{2}}{2}=7$。某商场销售一种商品，顾客可以选择一次性付款或分期付款。根据历史数据，顾客选择一次性付款的概率为0.6。如果顾客选择一次性付款，商场可以获得200元的利润；如果顾客选择分期付款，商场可以获得250元的利润。（Ⅰ）求三位购买该商品的顾客中至少有一位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求三位顾客每人购买一件该商品，商场获得的利润不超过650元的概率。【分析】（1）三位购买该商品的顾客中至少有一位采用一次性付款的对立事件是三位顾客中无人采用一次性付款。根据独立重复试验公式，可以得到三位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论。（2）三位顾客每人购买一件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的三位顾客中有一位采用分期付款。根据互斥事件的公式，可以得到结果。【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“三位顾客中至少一位采用一次性付款”，则$\bar{A}$表示事件：“三位顾客中无人采用一次性付款”。$P(\bar{A})=(1-0.6)^3=0.064$，所以$P(A)=1-P(\bar{A})=1-0.064=0.936$。（Ⅱ）记B表示事件：“三位顾客每人购买一件该商品，商场获得利润不超过650元”。$\bar{B}$表示事件：“购买该商品的三位顾客中至少有一位采用分期付款”。$B_1$表示事件：“购买该商品的三位顾客中恰有一位采用分期付款”。则$B=\bar{B}+B_1$。$P(\bar{B})=0.4^3=0.064$，$P(B_1)=C_3^1\times0.6\times0.4^2=0.432$。所以$P(B)=P(\bar{B})+P(B_1)=0.064+0.432=0.496$。因为每位顾客购买一件商品，所以三位顾客购买的商品数量为3。商场获得的利润为每位顾客的利润之和，即$200x+250y$，其中$x$表示采用一次性付款的顾客数量，$y$表示采用分期付款的顾客数量。根据题意，$x+y=3$，$200x+250y\leq650$。将不等式变形，得$8x+10y\leq26$。因为$x$和$y$都是非负整数，所以$x\leq3$，$y\leq3$。因此，可以列出所有可能的情况：$(x,y)=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$。对于每种情况，可以计算出商场获得的利润，并求出概率。最终的结果是所有情况的概率之和，即$P(B)=\frac{1}{2^3}\times(1+3+3+1)=\frac{8}{2^3}=1$。在四棱锥$S-ABCD$中，底面$ABCD$为平行四边形，侧面$SBC$垂直于底面$ABCD$，已知$\angleABC=45^\circ$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{2}$。（Ⅰ）证明：$SA\perpBC$；（Ⅱ）求直线$SD$与平面$SBC$所成角的大小。【分析】（1）作$SO\perpBC$，垂足为$O$，连接$AO$，说明$SO\perp$底面$ABCD$。利用三垂线定理，得$SA\perpBC$。（2）由（Ⅰ）知$SA\perpBC$，设$AD\parallelBC$，连接$SE$。说明$\angleESD$为直线$SD$与平面$SBC$所成的角，通过余弦定理求出$\cos\angleESD$，再用反余弦函数求出