第3章-曲线拟合的最小二乘法-计算方法课件

§3.1拟合曲线

通过观察或测量，得到一组离散数据

1结束

插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接近原函数。

拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的近似函数,这样的方法称为数据拟合第3章曲线拟合的最小二乘法§3.1拟合曲线通过观察或测量，得到一组离散数据结束数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原函数,

(x)为近似函数,(xi,f(xi))(i=1,…,n)为数据点,要求选择

(x)使当

(x)选择为多项式时,称为多项式拟合.

最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.

2插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法为最小.结束数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f§3.2线性拟合和二次拟合函数1.线性拟合

已知数据点为

由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组用直线作为近似曲线,均方误差为

3§3.2线性拟合和二次拟合函数1.线性拟合已知

4由此可出求系数拟合直线为2.二次拟合函数

已知数据点为用二次函数作为近似拟合曲线,均方误差为最小。4由此可出求系数拟合直线为2.二次拟合函数已知数由求极值的方法得法方程：由此可出求系数拟合曲线为

5由求极值的方法得法方程：由此可出求系数拟合曲线为5

6

例1设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。

解首先作平面散点图如下：xy123451234567891006例1设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合

7

从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑用二次多项式进行拟合。7从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考

8

用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454,a1=-3.657,a2=0.272。

最小二乘拟合多项式为：3非线性曲线转化为线性拟合:8用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.例3:已知数据为x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6求一个形如y=aebx的经验公式(a,b为常数).解:两边取对数得：

9例3:已知数据为x12345678y15.320.527.4

10ixiyiYixi2xiYi0115.32.727912.72791220.53.020446.04082327.43.310599.93153436.63.60001614.40004549.13.89392519.46955665.64.18363625.10166787.84.47514931.325778117.64.76736438.1384∑3629.9787204147.135410ixiyiYixi2xiYi0115.32.72791解该方程组的A=2.4368,b=0.2912由A=lna,即得a=eA=11.4369所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x

11解该方程组的A=2.4368,b=0.291211§3.3解矛盾方程组1.矛盾方程组已知数据点为作拟合直线若直线通过点(xi,yi),则否则此时统称为矛盾方程

12§3.3解矛盾方程组1.矛盾方程组已知数据点为作矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）其矩阵形式为：

13矛盾方程组：（由点和拟合曲线构成的方程组）其矩阵形式为：1

14为法方程。14为法方程。

15即法方程。定理

（1）AX=b的法方程恒有解；

（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为ATAx*=ATb.证明(略)15即法方程。定理（1）AX=b的法方程

16一般形式为：矛盾方程组的矩阵形式为：简化为16一般形式为：矛盾方程组的矩阵形式为：简化为结束其