【微专题】2023学年九年级数学上册期中难点特训人教版旋转综合压轴题（解析版）

期中难点特训旋转综合压轴题1．如图1将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置其中∠C=90°．若固定△ABC将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时如图2．①当∠B=∠E=30°时此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等试判断小杨同学的猜想是否正确若正确请你证明小杨同学的猜想．若不正确请说明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．②如图2中作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N过E作EM⊥AC于M如图3想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD∴△ACD是等边三角形∴∠ACD=60°∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中作CH⊥AD于H．∵CA=CDCH⊥AD∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°∠CAB+∠B=90°∴∠ACH=∠B∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N过E作EM⊥AC于M如图3∵∠ACB=∠DCE=90°∴∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于NEM⊥AC于M∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE∴BC=EC在△CBN和△CEM中∠BNC=∠EMC∠1=∠3BC=EC∴△CBN≌△CEM(AAS)∴BN=EM．∵S△BDC•CD•BNS△ACE•AC•EM．∵CD=AC∴S△BDC=S△ACE．【点睛】本题考查旋转变换全等三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质等腰三角形的性质等知识解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．2．在平面直角坐标系中O为原点点A(40)点B(03)把ABO绕点B逆时针旋转得点AO旋转后的对应点为记旋转角为α．(1)如图①若α＝90°求的长；(2)如图②若α＝120°求点的坐标；(3)在（2）的条件下边OA上的一点P旋转后的对应点为当P+B取得最小值时求点的坐标（直接写出结果即可）【答案】(1)5(2)()(3)()【分析】（1）如图①先利用勾股定理计算出AB＝5再根据旋转的性质得BA＝BA′∠ABA′＝90°则可判定△ABA′为等腰直角三角形然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；（2）作O′H⊥y轴于H如图②利用旋转的性质得BO＝BO′＝3∠OBO′＝120°则∠HBO′＝60°再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；（3）由旋转的性质得BP＝BP′则O′P+BP′＝O′P+BP作B点关于x轴的对称点C连接O′C交x轴于P点如图②易得O′P+BP＝O′C利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3从而得到P（0）则O′P′＝OP＝作P′D⊥O′H于D然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长从而可得到P′点的坐标．(1)如图①∵点A（40）点B（03）∴OA＝4OB＝3∴AB＝＝5∵△ABO绕点B逆时针旋转90°得△A′BO′∴BA＝BA′∠ABA′＝90°∴△ABA′为等腰直角三角形∴AA′＝BA＝5；(2)作O′H⊥y轴于H如图②∵△ABO绕点B逆时针旋转120°得△A′BO′∴BO＝BO′＝3∠OBO′＝120°∴∠HBO′＝60°在Rt△BHO′中∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°∴BH＝BO′＝O′H＝BH＝∴OH＝OB+BH＝3+＝∴O′点的坐标为()；(3)∵△ABO绕点B逆时针旋转120°得△A′BO′点P的对应点为P′∴BP＝BP′∴O′P+BP′＝O′P+BP作B点关于x轴的对称点C连接O′C交x轴于P点如图②则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C此时O′P+BP的值最小∵点C与点B关于x轴对称∴C（0﹣3）设直线O′C的解析式为y＝kx+b把O′（）C（0﹣3）代入得解得∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3当y＝0时x﹣3＝0解得x＝则P（0）∴OP＝∴O′P′＝OP＝作P′D⊥O′H于D∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°∠BO′H＝30°∴∠DP′O′＝30°∴O′D＝O′P′＝P′D＝O′D＝∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝∴P′点的坐标为()．【点睛】本题考查了几何变换综合题解题的关键是熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．3．如图点O是等边三角形ABC内的一点∠BOC＝150°将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度得到△ADC连接ODOA．(1)求∠ODC的度数；(2)试判断AD与OD的位置关系并说明理由；(3)若OB＝2OC＝3求AO的长（直接写出结果）．【答案】(1)60°(2)见解析(3)【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度得到△ADC可知∠ADC=∠BOC=150°即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°故AD⊥OD；（3）在Rt△AOD中由勾股定理即可求得AO的长．（1）由旋转的性质得：．∴即．∵为等边三角形∴．∴．∴为等边三角形．（2）．由旋转的性质得．∵∴．即．（3）由旋转的性质得AD=OB=2∵△OCD为等边三角形∴OD=OC=3在Rt△AOD中由勾股定理得：AO===【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换涉及直角三角形判定、勾股定理等知识解题的关键是掌握旋转的性质旋转不改变图形的大小和形状．4．已知△ABC是边长为4的等边三角形边AB在射线OM上且OA＝5点D是射线OM上的动点当点D不与点A重合时将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE连接DE(1)如图1①点C到射线OM的距离为．②求证：△CDE是等边三角形．(2)设OD＝t①如图2当5＜t＜9时△BDE的周长是否存在最小值？若存在请求出此最小值；若不存在请说明理由．②当△BDE是直角三角形时求t的值．（直接写出结果）【答案】(1)①2；②证明见解析(2)①存在；2+4；②t＝1或13【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AH＝BH＝2∠ACH＝30°可得AH＝即可求解；②由旋转的性质可得∠DCE＝60°DC＝EC可证△CDE是等边三角形；（2）①由旋转的性质可得BE＝AD可得C△DBE＝CD+4当CD⊥AB时△BDE的周长最小即可求解；②分四种情况讨论由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．(1)解：①解：如图1过点C作CH⊥AB于H∵△ABC是等边三角形CH⊥AB∴AH＝BH＝2∠ACH＝30°∴CH＝AH＝∴点C到射线OM的距离为故答案为：；②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE∴∠DCE＝60°DC＝EC∴△CDE是等边三角形；(2)解：①存在当5＜t＜9时由旋转的性质得BE＝AD∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE由（1）知△CDE是等边三角形∴DE＝CD∴C△DBE＝CD+4由垂线段最短可知当CD⊥AB时△BDE的周长最小∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；②存在当t＝9时∵当点D与点B重合时DBE不能构成三角形∴当点D与点B重合时不符合题意当0≤t＜5时由旋转可知而∠ABE＝60°∠BDE＜60°∴∠BED＝90°由（1）可知△CDE是等边三角形∴∠DEB＝60°∴∠CEB＝30°∵∠CEB＝∠CDA∴∠CDA＝30°∵∠CAB＝60°∴∠ACD＝∠ADC＝30°∴DA＝CA＝4∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1∴t＝1；当5＜t＜9时由∠DBE＝120°＞90°∴此时不存在；如图当t＞9时由旋转的性质可知∠DBE＝60°又由（1）知∠CDE＝60°∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴只能∠BDE＝90°从而∠BCD＝30°∴BD＝BC＝4∴OD＝13∴t＝13综上所述：当t＝1或13时以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是几何变换综合题考查了旋转的性质等边三角形的判定和性质三角形周长的计算直角三角形的判定熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．如图四边形AOBC是正方形点C的坐标是（40）．（Ⅰ）正方形AOBC的边长为点A的坐标是．（Ⅱ）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°点ABC旋转后的对应点为A′B′C′求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（Ⅲ）动点P从点O出发沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动同时另一动点Q从点O出发沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动运动时间为t秒当它们相遇时同时停止运动当△OPQ为等腰三角形时求出t的值（直接写出结果即可）．【答案】（1）4；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为；（3）.【分析】（1）连接AB根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长从而得出点A的坐标则得出正方形AOBC的面积；（2）根据旋转的性质可得OA′的长从而得出A′CA′E再求出面积即可；（3）根据P、Q点在不同的线段上运动情况可分为三种列式①当点P、Q分别在OA、OB时②当点P在OA上点Q在BC上时③当点P、Q在AC上时可方程得出t．【详解】解：（1）连接AB与OC交于点D四边形是正方形∴△OCA为等腰Rt△∴AD=OD=OC=2∴点A的坐标为.4.（2）如图∵四边形是正方形∴.∵将正方形绕点顺时针旋转∴点落在轴上.∴.∴点的坐标为.∵∴.∵四边形是正方形∴.∴.∴.∴.∵∴.∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为.（3）设t秒后两点相遇3t=16∴t=①当点P、Q分别在OA、OB时∵,OP=tOQ=2t∴不能为等腰三角形②当点P在OA上点Q在BC上时如图2当OQ=QPQM为OP的垂直平分线OP=2OM=2BQOP=tBQ=2t-4t=2（2t-4）解得：t=．③当点P、Q在AC上时不能为等腰三角形综上所述当时是等腰三角形【点睛】此题考查了正方形的性质等腰三角形的判定以及旋转的性质是中考压轴题综合性较强难度较大．6．如图在平面直角坐标系中已知△AOB是等边三角形点A的坐标是（04）点B在一象限点P（t0）是x轴上的一个动点连接AP并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转使边AO与AB重合连接ODPD得△OPD．（1）当t＝时求DP的长（2）在点P运动过程中依照条件所形成的△OPD面积为S①当t＞0时求S与t之间的函数关系式②当t≤0时要使s＝请直接写出所有符合条件的点P的坐标.【答案】（1）DP=；（2）①；②.【分析】（1）先判断出△ADP是等边三角形进而得出DP=AP即可得出结论；（2）①先求出GH=2进而求出DG再得出DH即可得出结论；②分两种情况利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵A（04）∴OA=4∵P（t0）∴OP=t∵△ABD是由△AOP旋转得到∴△ABD≌△AOP∴AP=AD∠DAB=∠PAO∴∠DAP=∠BAO=60°∴△ADP是等边三角形∴DP=AP∵∴∴；（2）①当t＞0时如图1BD=OP=t过点BD分别作x轴的垂线垂足于FH过点B作x轴的平行线分别交y轴于点E交DH于点G∵△OAB为等边三角形BE⊥y轴∴∠ABP=30°AP=OP=2∵∠ABD=90°∴∠DBG=60°∴DG=BD•sin60°=∵GH=OE=2∴∴；②当t≤0时分两种情况：∵点D在x轴上时如图2在Rt△ABD中(1)当时如图3BD=OP=-t∴∴∴或∴或（2）当时如图4BD=OP=-t∴∴∴或（舍）∴．【点睛】此题是几何变换综合题主要考查了全等三角形的判定和性质旋转的性质三角形的面积公式以及解直角三角形正确作出辅助线是解决本题的关键．7．在中．（1）如图D为BC边上一点（不与点BC重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接EC．求证：①；②．（2）如图D为外一点且仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接ECEDBD．①的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若求AD的长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①成立理由见解析；②8【分析】（1）①由旋转的性质可得AE=AD则可得到然后利用SAS证明两个三角形全等即可；②由①知得到则；（2）①由旋转的性质得AE=AD则然后利用SAS证明即可；②由（2）①知得到．然后求出得到利用勾股定理求出再由进行求解即可．【详解】（1）①证明：由旋转的性质得AE=AD∴即．在和中∴；②由①知∴∴．（2）①结论仍然成立．理由：由旋转的性质得AE=AD∴即在与中∴．②由（2）①知∴．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∴∴．∵∴．∵在中∴．∵在中由勾股定理得：∴∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定等腰直角三角形的性质与判定勾股定理解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．8．如图在平面直角坐标系中为原点点点且把绕点逆时针旋转得点旋转后的对应点为.（1）点的坐标为______.（2）解答下列问题：①设的面积为用含的式子表示并写出的取值范围.②当时求点的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）;（2）①或.②或.【分析】（1）由旋转的性质得出AC=AO=8∠OAC=90°得出C（88）即可；（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m∠ACD=∠AOB=90°∠OAC=90°得出∠ACE=90°证出四边形OACE是矩形得出DE⊥x主OE=AC=8分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时得出BE=OB-OE=m-8由三角形的面积公式得出S=m2-4m（m＞8）即可；b、当点B在线段OE上（点B不与OE重合）时BE=OE-OB=8-m由三角形的面积公式得出S=-m2+4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时即m=8△BCD不存在；②当S=6m＞8时得出m2-4m=6解方程求出m即可；当S=60＜m＜8时得出-m2+4m=6解方程求出m即可．【详解】解：（1）∵点A（08）∴AO=8∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD∴AC=AO=8∠OAC=90°∴C（88）故答案为（88）；（2）①延长DC交x轴于点E∵点B（m0）∴OB=m∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD∴DC=OB=m∠ACD=∠AOB=90°∠OAC=90°∴∠ACE=90°∴四边形OACE是矩形∴DE⊥x主OE=AC=8分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时如图1所示：则BE=OB-OE=m-8∴S=DC•BE=m（m-8）即S=m2-4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与OE重合）时如图2所示：则BE=OE-OB=8-m∴S=DC•BE=m（8-m）即S=-m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时即m=8△BCD不存在；综上所述S=m2-4m（m＞8）或S=-m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6m＞8时m2-4m=6解得：m=4±2（负值舍去）∴m=4+2；当S=60＜m＜8时-m2+4m=6解得：m=2或m=6∴点B的坐标为（4+20）或（20）或（60）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强有一定难度．9．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放将△ADE绕点A按逆时针方向旋转如图2连接BDEC设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE⊥AC时旋转角α＝度AD与BC的位置关系是AE与BC的位置关系是；（Ⅱ）当点D在线段BE上时求∠BEC的度数；（Ⅲ）当旋转角α＝时△ABD的面积最大．【答案】（Ⅰ）；垂直；平行；（Ⅱ）；（Ⅲ）或【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形由等腰直角三角形的性质和即可求出旋转角的度数再利用角度之间的关系求出即可得到与的位置关系再根据平行线的判定即可求出与的位置关系；（Ⅱ）利用全等三角形的判定得出≌从而得出再根据角之间的关系得出从而得出的度数；（Ⅲ）由题意可知点在以点为圆心长为半径的圆周上运动在中当以为底边点到的距离最大时的面积最大即时的面积最大从而求出旋转角的度数．【详解】解：（Ⅰ）如图所示∵为等腰直角三角形∴∵∴∴∵为等腰直角三角形∴∴∴旋转角∵∴∴∴与的位置关系是垂直∵,∴∴∴∥（Ⅱ）如图所示∵∴∵与为等腰直角三角形∴在与中∴≌∴∵∴∴（Ⅲ）如图3、图4所示

∵绕点按逆时针方向旋转∴点在以点为圆心长为半径的圆周上运动∴当以为底边点到的距离最大时的面积最大∴当时的面积最大∴旋转角或时的面积最大【点睛】本题主要考查了旋转的性质等腰直角三角形的性质全等三角的判定与性质熟练掌握旋转的性质以及全等的判定根据题意画出相应图形是解答此题的关键．10．如图四边形是正方形是等边三角形为对角线（不含点）上任意一点将绕点逆时针旋转得到连接、、．（1）求证：；（2）①当点在何处时的值最小；②当点在何处时的值最小并说明理由；（3）当的最小值为时求正方形的边长．【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时AM＋BM＋CM的值最小理由见解析；（3）【分析】（1）由题意得所以容易证出；（2）①根据“两点之间线段最短”可得当点落在的中点时的值最小；②根据“两点之间线段最短”当点位于与的交点处时的值最小即等于的长（如图）；（3）作辅助线过点作交的延长线于由题意求出设正方形的边长为在中根据勾股定理求得正方形的边长为．【详解】解：（1）证明：是等边三角形．．即．又．（2）解：①当点落在的中点时、、三点共线的值最小．②如图连接当点位于与的交点处时的值最小理由如下：连接由（1）知是等边三角形．．．根据“两点之间线段最短”可知若、、、在同一条直线上时取得最小值最小值为．在和中若连接则、可以同时在直线上．当点位于与的交点处时的值最小即等于的长．（3）解：过点作交的延长线于．设正方形的边长为则．在中．解得（舍去负值）．正方形的边长为．【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理解题的关键是掌握以上知识点添加适当辅助线灵活运用．11．如图将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC使点A的对应点D恰好落在边AB上点B的对应点为E连接BE．（Ⅰ）求证：∠A＝∠EBC；（Ⅱ）若已知旋转角为50°∠ACE＝130°求∠CED和∠BDE的度数．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°,∠CED=35°【分析】