2023中考数学真题含解析

2023最新整理中考数学真题含解析

选择题

1.（2021乌兰察布中考）定义新运算“⑥”，规定：a®h=a-2b.若关于x的不等式x领"

>3的解集为x>-1,则m的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可.

【解答】^'：a®b=a-2b,

•==x-2m.

•・"所>3,

-2加>3,

/.x>2/n+3.

•.•关于x的不等式的解集为x>-1,

2/n+3=-1,

・・m==-2.

故选：B.

2.（2021南京中考）一般地，如果炉=Q"为正整数，且九>1）,那么x叫做。的〃次

方根，下列结论中正确的是（）

A.16的4次方根是2B.32的5次方根是±2

C.当〃为奇数时，2的〃次方根随"的增大而减小D.当〃为奇数时，2的〃次方根随〃

的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意〃次方根，列举出选项中的〃次方根，然后逐项分析即可得出答案.

【详解】A.24=16(-2)4=16,16的4次方根是±2,故不符合题意；

B.25=32，(-2)5=-32,，32的5次方根是2,故不符合题意；

<2.设》=蚯,y=④，

则产=25=32,丁5=23=8,

x15>y15,且x>l,y>l,

x>y,

二当“为奇数时，2的w次方根随〃的增大而减小，故符合题意；

D.由C的判断可得：。错误，故不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了新概念问题，〃次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的

过程中注意x是否为负数，通过简单举例验证选项是解题关键.

3.(2021常德中考)阅读理解：如果一个正整数机能表示为两个正整数“，人的平方和，

即〃2="+〃，那么称相为广义勾股数.则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13

是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股

数.依次正确的是()

A.②④B.①®④C.①@D.①④

【答案】C

【解析】

【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案.

【详解•••7=1+6或2+5或3+4

，7不是广义勾股数，即①正确；

V13=4+9=22+32

，13是广义勾股数，即②正确；

,••5=『+22,10=俨+32,15不是广义勾股数

.•.③错误；

：5=俨+22,13=22+32,65=5x13,且65不是广义勾股数

④错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的

性质，从而完成求解.

4.（2021永州中考）定义：若则x=k）gioMx称为以10为底的N的对数，简记

为IgN,其满足运算法则：lgM+lgN=lg（M・N）（M>0,N>0）.例如：因为1（）2=100,

所以2=/gl00,亦即切00=2；/g4+/g3=/gl2.根据上述定义和运算法则，计算（蛇）

2+lg2-lg5+lg5的结果为（）

A.5B.2C.1D.0

【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可.

【解答】解：（/g2）2+lg2>lg5+lg5

=欣2Ug2+/g5)+/g5

=他2+他5

=igio

=1.

故选：c.

5.（2021怀化中考）（4分）定义力=2〃+2，则方程3（8）x=4（8）2的解为（）

b

A.x=AB.x=—C.x=—D.x=A

5555

【解答】解：根据题中的新定义得：

30X=2X3+A,

x

4（g）2=2X4+2，

2

V30x=402,

.\2X3+A=2X4+A,

x2

解得：x=2,

5

经检验，x=2是分式方程的根.

5

故选：B.

6.（2021张家界中考）对于实数定义运算“☆”如下：。削7=。从一访，例如

3^2=3x22-3x2=6，则方程b^x=2根的情况为（）

A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个

不相等的实数根

【答案】D

【解析】

【分析】本题根据题目所给新定义将方程=2变形为一元二次方程的一般形式，即

ax2+bx+c^0的形式，再根据根的判别式△=〃-4ac的值来判断根的情况即可.

【详解】解：根据题意由方程hirx=2得：

x2—X—2

整理得：X2-X-2=0

根据根的判别式A=l2-4xlx(-2)=9>0可知该方程有两个不相等实数根.

故选D.

【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据/的值

来判断根的情况，注意A>0时有两个不相等的实数根；△=()时有一个实数根或两个相等

的实数根；/<0时没有实数根.

7.(2021荆州中考)定义新运算“※"：对于实数zn,n,p,q.有|/n,p]※国，n]=mn+pq,

其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3怦[4,5]=2X5+3X4=22.若关

于x的方程[/+1,x]X[5-2Z,幻=0有两个实数根，则z的取值范围是()

A.•且kwoB.c.且&woD.4总

【分析】先根据新定理得到k(7+1)+(5-2k)x=0,再整理为一般式，接着根据一元

二次方程的定义和判别式的意义得到/#0且4=(5-2左)2-4好》0,然后解不等式即

可.

【解答】解：根据题意得k(7+1)+(5-2A)x=0,

整理得去2+(5-2%)x+k=0,

因为方程有两个实数解,

所以女/0且4=(5-28)2-4^20,解得且％W0.

4

故选：C.

8.(2021绥化中考)定义一种新的运算：如果.则有“▲8=。-2+制?+|—回，那么

(―，)上2的值是()

2

c33

A.—3B.5C.-----D.一

42

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出算式，求解即可

【详解】aA/?=cC2+ab+1-b|

(-^-)^2=(-^)2+(-^-)x2+1-21

=4—1+2

=5.

故选B.

【点睛】本题考查了新定义运算、负指数基的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记

公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，

提高运算能力与技巧等.

9.(2021遵义中考)数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中

把形如〃+〃(“，b为实数)的数叫做复数，用z=a+沅表示，任何一个复数z=a+〃在

平面直角坐标系中都可以用有序数对Z(a,b)表示，如：z=l+2i表示为Z(1,2),则

z=2-i可表示为()

A.Z(2,0)B.Z(2,-1)C.Z(2,1)D.(-1,2)

【分析】根据题中的新定义解答即可.

【解答】解：由题意，得z=2-i可表示为Z（2,-1）.

故选：B.

10.（2021来宾中考）定义一种运算：=则不等式（2%+1）*（2-乃>3的

解集是（）

A.%>1或％<|B,-1<%<|

C.%>1或％<-1D.%>［或％<-1

【答案】C

【解析】解：由新定义得：：一"或［［弓2一{

解得X>1或X<-1

故选：C.

分x+122和x+1<2两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得.

此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

11.（2021贺州中考）如/={1,2,尤},我们叫集合M，其中1,2,X叫做集合M的元

素.集合中的元素具有确定性（如X必然存在），互异性（如XHl,XH2）,无序性（即

改变元素的顺序，集合不变）.若集合N={x,l,2},我们说用=2已知集合A={1,0,。},

集合8=同若A=B，则h—a的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素

对应分类讨论即可.

【详解】解：•.•集合8的元素2,a,可得，

aa

二。w0,

*0,-=0,

aa

b=0,

当工=1时，a=\,A={1,0,1},8={1,1,0},不满足互异性，情况不存在，

当J=a时，a=±l，“=1（舍），a=—1时，A={l,0,-l},B={-1,1,0},满足题意,

此时，h-a-\.

故选：C

【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即

可.

12.（2021通辽中考）定义：一次函数的特征数为[a,b],若一次函数y=-2x+，〃

的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-3的图象交于A,B两点,且点A,

x

8关于原点对称，则一次函数y=-2x+m的特征数是（）

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

【分析】将一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y=-

2x+/n+3,联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（xi,0）,

3（x2,0）,所以xi与取是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到x+乂，=W至，

X1x22

又A,2两点关于原点对称，所以为+q=0,则匹@=o,得到,"=-3,根据定义，得到

2

一次函数y=-2x4-/??的特征数是［-2,-3］.

【解答】解：将一次函数y=-2x+m向上平移3个单位长度后得到y=-2x+〃?+3,

设A（xi,0）,B（X2»0）,

"y=-2x+m+3

联立|3，

y=一

X

A2X2-（m+3）x-3=0,

,•'Xl和X2是方程的两根，

•m+3

,,xl+x2=~

又・.・4,8两点关于原点对称，

，X|+X2=o,

:・m=-3,

根据定义，一次函数y=-2x+〃z的特征数是［-2,-3J,

故选：D.

13.（2021杭州中考）已知yi和”均是以x为自变量的函数，当尤=加时，函数值分别是

M和m，若存在实数〃?，使得MI+M2=0,则称函数yi和”具有性质P.以下函数yi

和”具有性质尸的是（）

A.yi=/+2x和”=-X-1B.yi=/+2x和”=-x+1

C.yi=-上和”=-x-1D.y\=-上和”=-x+l

xx

【分析】根据题干信息可知，直接令yi+”=O,若方程有解，则具有性质P,若无解,

则不具有性质P.

【解答】解：A.令yi+”=4,贝ijf+2x-x-3=0,解得x=士返士返，即函数

22

yi和丫6具有性质P,符合题意；

B.令）*+”=7,贝1]/+21-》+8=0,整理得，X2+X+8=0,方程无解1和刃不具有有性质

P，不符合题意；

C.令），|+”=6,则-2，整理得，，+x+6=0,方程无解1和力不具有有性质P，不符

X

合题意；

D.令yi+y2=6,则-工，整理得，*-x+8=0,方程无解i和兆不具有有性质P，不符

x

合题意；

故选：A.

14.（2021雅安中考）定义：min{a,母=若函数尸加力（x+1,-N+2x+3）,

|b（a>b）

则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

【分析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解.

【解答】解：*+1=-/+2x+3,

解得k-1或*=2.

y

.1x+l（-l《x42）

-*2+2乂+3（*〈-1或乂〉2）

把k2代入尸x+1得尸3,

.•.函数最大值为尸3.

故选：C.

15.（2021济南中考）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（/%〃）和点尸'（犯〃’），若

满足加30时，〃'="一4；加<0时，"'=一〃，则称点户（租,〃'）是点「（加,〃）,的限变点.例

如:点片（2,5）的限变点是8（2,1）,点£（—2,3）的限变点是月（一2,-3）.若点P（m,〃）在

二次函数y=-f+4x+2的图象上，则当时，其限变点尸'的纵坐标〃'的取

值范围是（）

A.-2<n'<2B.1</?'<3

C.l<n'<2D.-2<n'<3

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，当0WxW3时，y=—/+4x+2的图象向下平移4个单位，当

—lWx<0时，，y=——+4x+2■的图象关于x轴对称，据此即可求得其限变点P，的纵坐

标〃'的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到"'的取值范围

【详解】；点尸（加,〃）•在二次函数y=-—+4x+2的图象上，则当—lWmW3时，其限

变点P'的图像即为图中虚线部分，如图，

当0Wm<3时，y=—f+4x+2•的图象向下平移4个单位，当一1<机<0时,

y^-x2+4x+2的图象关于％轴对称，

从图可知函数的最大值是当m=-1,时，〃'取得最大值3,

最小值是当加=0时，〃'取得最小值一2，

故选D.

【考点解剖】二次函数，平面直角坐标系，平面图形的平移变换和轴对称变换

解题的关键在于读懂新定义

【题目难度】

【点睛】本题考查「新定义，：次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图

像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键.

16.(2021岳阳中考)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互

异二次函数如图，在正方形048c中，点4(0,2),点C(2,0),则互异二次函数

y=(x-m)2-加与正方形OABC有交点时,"的最大值和最小值分别是()

A.4,-1B.-1C.4,0D.呼一

2

【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点

时，先经过点A,再逐渐经过点。，点5,点C,最后再经过点8,且在运动的过程中,

两次经过点A,两次经过点。，点B和点C,只需算出当函数经过点A及点2时m的值，

即可求出机的最大值及最小值.

【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x-m)2-的顶点(加，-在

直线y=-无上运动,

在正方形0A8C中，点A(0,2),点C(2,0),

：.B(2,2),

从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A,再

逐渐经过点。，点8,点C,最后再经过点8,且在运动的过程中，两次经过点4,两次

经过点0,点B和点C,

...只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出机的最大值及最小值.

当互异二次函数丫=(X-7M)2-,“经过点A(0.2)时，"?=0,或"2=-1;

当互异二次函数丫=(x-w)2-m经过点B(2,2)时，优或包'立..

22

2

互异二次函数y=(x-,w)-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是

-1.

2

故选：D.

17.(2021无锡中考)设P(x,yi),Q(x,”)分别是函数G，C2图象上的点，当aWx

Wb时，总有-iWyi72WI恒成立，则称函数Ci，C2在aWxWb上是“逼近函数”，a

为“逼近区间”.则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函数”：

②函数y=x-5,y=W-4x在3WxW4上是“逼近函数”；

③0＜启1是函数y=/-1,y=2?-x的“逼近区间”；

④2WxW3是函数y=x-5,-4x的“逼近区间”.

其中，正确的有()

A.②③B.①④C.①③D.②④

【分析】根据当aWxW8时，总有-1Wyi-恒成立，则称函数Ci,C2在。WxWb

上是“逼近函数”，“WxW〃为“逼近区间”，逐项进行判断即可.

【解答】解：®yi-y2=-2x-1,在1WxW2上，当x=l时，yi-”最大值为-9,当x

=2时，yi-)2最小值为-11,即-11Wyi-"W-9,故函数y=a-5,y=3x+2在IWx

W2上是“逼近函数”不正确；

②"-7+5X-5,在3WxW4上，当x=3时，力-〉2最大值为1，当x=4时，yi

最小值为-1,即-iWyi-”W1,故函数y=x-5,y=，-4x在3WxW4上是“逼

近函数”正确；

③)[-)2=-»+x-1,在OWxWl上，当x=」＞时，yi最大值为-3,当x=O或x

24

=1时，yi-”最小值为-1，即-1Wyi-V2W-3,当然-iWyi-"W1也成立，故0

4

WxWl是函数y=f-1,y=2?-x的“逼近区间”正确；

④)[-)2=-f+5x-5,在2WxW3上，当x=9时，yi-V2最大值为包，当工=2或》=

24

3时，/-”最小值为1,即lWyi-y2W9,故2WxW3是函数y=x-5,y=7-4x的

4

“逼近区间”不正确；

.♦.正确的有②③，

故选：A.

填空题

1.(2021自贡中考)(4分)如图，某学校“桃李餐厅”把W//7密码做成了数学题.小红

在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么

她输入的密码是.

账号：TaoLiCanTing

5*3©6=301848

2*6㊉7=144256

9*2㊉5=451055

桃李餐厅欢迎你!4*8㊉6=密码

【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题.

【解答】解：由三个等式，得到规律：

5*3㊉6=301848可知：5X63X66X(5+3),

2*6㊉7=144256可知：2X76X77X(2+6),

9*2㊉5=451055可知：9X52X55X(9+2),

；.4*8㊉6=4X68X66X(4+8)=244872.

故答案为：244872.

2.(2021十堰中考)对于任意实数。、从定义一种运算：a®h=a2+b2-ab^若

x0(x-l)=3,则x的值为.

【答案】—1或2

【解析】

【分析】根据新定义的运算得到XG>(X-1)=X2+(X—1)2—X(X-1)=3,整理并求解一元

二次方程即可.

【详解】解：根据新定义内容可得：X0(X-1)=X2+(X-1)2-X(X-1)=3.

整理可得》2一%一2=0，

解得西=-1,x2=2,

故答案为：一1或2.

【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.

3.（2021贵港中考）我们规定：若a=5，yi）-b—（孙”），则a，b=xix2+）1）2.例

如a=（1，3）,b=（2,4）,贝!Ja,b=lX2+3X4=2+12=14.已知a=（x+1,x-1）,

b=（x-3,4）,且-2GW3,则展E的最大值是.

【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值

的求法解答即可.

【解答】解：根据题意知：a-b=（x+1）（x-3）+4（x-1）=（x+1）2-8.

因为-2WxW3,

所以当x=3时，a*b=（3+1）2-8=8.

即a,b的最大值是8.

故答案是：8.

4.（2021鄂尔多斯中考）下列说法不正确的是（只填序号）

①7-行的整数部分为2,小数部分为/百-4.

②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为

③把直线y=2r-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y=2x-2.

④新定义运算：-2〃-1,则方程-l*x=0有两个不相等的实数根.

【分析】①利用无理数的估算即可得到结论；

②设正多边形是“边形.由题意：囱匚=60°,求出〃即可解决问题；

n

③直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；

④根据新运算得到-7-2厂1=0,再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方

程根的情况.

【解答】解：①)V4<VT?<5.

A2<7-A/17<3,

：.7-行的整数部分是2,小数部分是小数部分为5-717.故符合题意；

②解：设正多边形是〃边形.

由题意：360°=6()。,

n

・・〃=6，

...这个正多边形的内切圆的半径为相；故不符合题意；

③把直线y=〃-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为-1,故符合题意；

④根据题意得---2x-|=o,

V△=(-2)2-4=0,

方程有两个相等的实数根，故符合题意.

故答案为：①③④.

5.(2021巴中中考)y与x之间的函数关系可记为y=f(x).例如：函数y=/可记为f(x)

=?,若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有-x)=/(%),则/(x)是偶函数；

若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=则f(x)是奇函数.例

如：f(x)=/是偶函数，f(x)=」是奇函数.若f(x)—(v?+Ca-5)x+1是偶函数，

X

则实数。=.

【分析】由/(X)=苏+(4-5)X+1是偶函数，得〃(-X)2+(67-5)*(-X)+1=/+

(a-5)x+l,解得。=5.

【解答】解：・・・/a)=a?+(a-5)x+1是偶函数，

.••对于自变量取值范围内的任意一个心都有/(-X)=/(/),即〃(-x)2+(〃-5)•(-

x)+1=aj?+(4-5)x+l,

/.（10-2。）x=0,可知10-a=0,

••4=5,

故答案为：5.

6.(2021蒲泽中考)定义：［a,b,c］为二次函数y=ar2+6x+c(a70)的特征数，下面给出

特征数为1〃?，1-孙2-〃”的二次函数的一些结论：①当加=1时，函数图象的对称轴是

y轴；②当%=2时，函数图象过原点；③当巾＞0时，函数有最小值；④如果m＜0,当

x＞工时，y随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是.

2

【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为丫=，n2+(1%+2-m.①写

出对称轴方程后把，〃=1代入即可判断；②把机=2代入即可判断：③根据开口方向即可

判断：④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断.

【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为,，1-，〃，2-刈的二次函数的表达式为y

=//+(1-m)x+2-tn,

♦.•此抛物线的的对称轴为直线》=-L=上更=旦1,

2a2m2m

・•・当加=1时，对称轴为直线x=0,即y轴.故①正确；

:当加=2时，此二次函数表达式为yulr2-x,令x=0,则y=0,

・・・函数图象过原点，故②正确；

・・,当利＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；

V/n＜0,

对称轴x=Wll=工」，抛物线开口向下，

2m22m

・・・在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.

即时，y随X的增大而减小.

22m

故④错误.

故答案为：①②③.

7.（2021宁波中考）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x,y）,我们

把点5称为点A的“倒数点”.如图，矩形OCDE的顶点。为（3,0）,顶点E在），

5y）

2,

轴上，函数y=、（x>0）的图象与£>七交于点A.若点8是点A的“倒数点”，且点8在

矩形OCDE的一边上，则二QBC的面积为.

【答案】七1或二3

42

【解析】

［分析］根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE

上时；②当点B在边CQ上时；分别求出点B的坐标，然后求出KOBC的面积即可.

【详解】解：根据题意，

（11A

•.•点8称为点A（x,y）的“倒数点”，

1%y）

，龙。0,y#0,

.•.点B不可能在坐标轴上；

2

•••点A在函数y=—（x>0）的图像上，

X

设点A为(x,2),则点8为d,2)，

xx2

•.,点C为(3,0),

OC=3,

①当点B在边OE上时；

点A与点8都在边DE上,

.•.点4与点B的纵坐标相同，

即2=解得：*=2,

x2

经检验，x=2是原分式方程的解；

•••点B为(―,1)»

2

13

的面积为：S=-x3xl=二；

22

②当点3在边CO上时；

点8与点。的横坐标相同，

=3,解得：x=­,

x3

经检验，X是原分式方程的解；

・,•点3为(3,一),

6

.••&08C的面积为：S=-x3xl=i;

264

故答案为：一1或士3.

42

【点睛】本题考查/反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知

识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析.

8.（2021成都中考）（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从

任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相

力口，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和.如图1,〃+“+如是该三角形

的顺序旋转和，呐+如+”是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2,若

从1,2,3中任取一个数作为X,从1,2,3,4中任取一个数作为”则对任意正整数z,

此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是

图1

【分析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y-2z,再画树

状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于

4的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）-（3x+2y-4z）

=x+y-2z,

画树状图为:

共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果

数为9,

所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率=9-3

124

故答案为2.

4

9.（2021上海中考）定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,正方形

ABCD的边长为2,0为正方形中心，当正方形ABCD绕0旋转时,d的取值范围

是.

【考点】新定义，旋转

【解答】解：如图2,设AD的中点为E,那么点O与正方形上所有点的连线中，OE最短,

等于LOA最大，等于0；

VOP=2为定值

当OP经过点E时，d最大为1；

当OP经过点A时，d最小为2-0

故答案为：2—

【点评】本题属于新定义，新定义的题在上海中考属常考题，理解题意是关键。

10.（2021呼和浩特中考）若把第〃个位置上的数记为初，则称加，X2,X3,…，扬有限个

有序放置的数为一个数列A.定义数列A的''伴生数列"B是：yi,V2,中，…，如，其

中加是这个数列中第"个位置上的数，〃=1，2,…，%且切=|n1n+1并规

,1，xn-lxn+l

定X0=X”,Xn+1=XI.如果数列A只有四个数，且XI，X2，X3，X4依次为3,1,2,1,则

其“伴生数列"B是.

【分析】根据“伴生数列”的定义依次取〃=1,2,3,4,求出对应的如即可.

【解答】解：当”=1时，X0=H=l=X2,

当”=2时，X1#X3,

・・”=1,

当n=3时，X2=A4，

，”=0，

当〃=4时，X3WX5=K1，

♦・>4=1，

・,・“伴生数列"B是:0,I,0,1,

故答案为0,1,0,1.

解答题

1.(2021重庆中考B卷)对于任意一个四位数相，若干位上的数字与个位上的数字之和是

百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数机为“共生数”.例如：机=

3507,因为3+7=2X(5+0),所以3507是“共生数"；-=4135,因为4+5W2X(1+3),

所以4135不是“共生数”.

(1)判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由；

(2)对于“共生数”必当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位

上的数字之和能被9整除时，记尸(«)=△.求满足F(〃)各数位上的数字之和是偶

3

数的所有人

【考点】列代数式；因式分解的应用.

【专题】新定义；运算能力.

【答案】(1)5313是“共生数”，6437不是“共生数”；

(2)2148或3069.

【分析】(1)根据题目中的定义，可直接判断5313,6437是否为“共生数”;

(2)根据定义，先用两个未知数表示尸")，然后列出含有〃的式子，找出满足要求的

结果即可.

【解答】解：(1)V5+3=2X(3+1),

A5313是”共生数“，

V6+7^2X(3+4),

.,.6437不是“共生数”；

(2)•.•〃是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，

设〃的千位上的数字为。，则十位上的数字为2m(1W.W4),

设〃的百位上的数字为6,

•••个位和百位都是0-9的数字，

.•.个位上的数字为9-6,且9-b>b,

.•.0WbW4

n=1000«+1006+20«+9-b\

：.F(«)=1000a+100b+20a+9-b=3404+338+3,

3

由于〃是“共生数”,

：.a+9-b=2X(2a+b),

即a+b=3,

可能的情况有：

(a=l(a=2(a=3,

Ib=2"Ib=l"1b=0

：.n的值为1227或2148或3069,

各位数和为偶数的有2148和3069,

：.n的值是2148或3069.

2.(2021重庆中考A卷)如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成AxB，其

中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同,个位数字之和为1(),则称数M为“合和数”,

并把数M分解成M=Ax3的过程，称为“合分解”.

例如.609=21x29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,

...609是“合和数

又如234=18x13,18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10,

.••234不是“合和数

(1)判断168,621是否是“合和数”？并说明理由;

(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即知=4*3.A的各个数位数字之和与5的

各个数位数字之和的和记为P(")；A的各个数位数字之和与3的各个数位数字之和的差

,、P(M)

的绝对值记为Q(M).令G(M)=^当G(")能被4整除时，求出所有满足条件的

M.

【答案】(1)168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；(2)M有1224，1221.

5624，5616.

【解析】

【分析】(1)首先根据题目内容，理解"合和数’'的定义：如果一个自然数M的个位数字不

为0,且能分解成Ax5,其中A勺5都是两位数，A与5的十位数字相同，个位数字之

和为10,则称数M为“合和数”，再判断168,621是否是“合和数”；

（2）首先根据题目内容，理解"合分解'’的定义.引进未知数来表示A个位及十位上的数,

~“八P（M）

同时也可以用来表示3.然后整理出：=根据能被4整除时，通过分类讨

Q（M）

论，求出所有满足条件的A/.

【详解】解：（1）

168不是“合和数”，621是“合和数”.

168=12x14，2+4/10，

.•.168不是“合和数”,

621=23/27,十位数字相同，且个位数字3+7=10,

621是“合和数

（2）设A的十位数字为加，个位数字为〃（"？，〃为自然数，且1W〃W9）,

则A=\0m+n,B=10m+10-n.

P(M)-m+n+m+l0-n=2m+\0,Q(M)—\(m+n)—(m+10—n)\=\2n—\Q^.

P(M)2m+10m+5.,

；.G(M)=------=-----=4^（左是整数）.

Q(M)|2»-10||n-5|

3<m<9，

/.8<m+5<14,

/女是整数，

..."2+5=8或m+5=12,

①当加+5=8时,

m+5=8机+5=8

-5|=1或]>-5|=2,

:.M=36x34=1224或朋=37x33=1221.

②当〃2+5=12时，

加+5=12，m+5=12

-5]=1或N一5卜3,

=76x74=5623或M=78x72=5616.

综上，满足条件的M有1224，1221.5624.5616.

【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题

目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能

力.

3.（2021赤峰中考）阅读理解：

在平面直角坐标系中，点M的坐标为（%1，y）,点N的坐标为（%2，%），且xMxi，然分2,

若例、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的

“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”.

（1）己知点A的坐标为（2,0）.

①若点8的坐标为（4,4）,则点A、3的“相关矩形”的周长为；

②若点C在直线44上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；

（2）已知点p的坐标为（3,-4）,点。的坐标为（6,-2）,若使函数>="的图象与点P、

Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出”的取值范围.

234

图1备用图1备用图2

【答案】(1)①12；②y=x-2或y=-x+2；(2)—24<%<-6

【解析】

【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、8的“相关矩形”的周长，利用点A,

点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知，AC必为正方形的

对角线，所以可得点C坐标，设直线4C的解析式为丫="+匕，代入A,C点的坐标，求出

k,b的值即可;

（2）首先确定P,。的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数＞的图象与点P、Q

X

的“相关矩形”有两个公共点，求出人的最大值和最小值即可得到结论.

【详解】解：（1）①1点4的坐标为（2,0）,点5的坐标为（4,4）,

.♦•点4、8的“相关矩形”如图所示,

.•.点A、8的“相关矩形"周长=2x（2+4）=12

故答案为：12；

②由定义知，AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,

又•••点A,C的相关矩形是正方形，且A（2,0）

.,.点C的坐标为（4,2）或（4,-2）

设直线AC的解析式为y="+。，

将（2,0）,（4,2）代入解得攵=1,b=-2

：.y=x-2

将（2,0）,（4,一2）代入解得&=一1,b=2

：.y--x+2

.•.符合题意得直线AC的解析式为y=x-2或y=-尤+2.

（2）•..点尸的坐标为（3,-4）,点。的坐标为（6,-2）,

...点P,Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3,-2）,（6,-4）

当函数>="的图象经过（3,-2）时，k=-6,

X

当函数>=V的图象经过（6,-4）时，依-24,

X

・•.函数y=七的图象与点P、。的“相关矩形”有两个公共点时，人的取值范围是:

X

一24<%—

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，

综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来.

4.(2021南通中考)定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个

函数图象的“等值点”.例如，点(1,1)是函数y=+：的图象的“等值点”.

(1)分别判断函数丫=%+2/=%2一%的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出

“等值点”的坐标；