第19讲：随机事件的概率讲义 高三艺考数学一轮复习

第19讲：随机事件的概率【课型】复习课【教学目标】1.了解事件的分类2.会区分频率与概率，会用频率估计概率【预习清单】【基础知识梳理】1．事件的分类：(1)一般地，我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．(4)概率的取值范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率：P(E)＝1；不可能事件的概率：P(F)＝0.2．频率与概率：(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个)常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有)稳定性，这个常数叫事件A的概率．3．几个重要事件：(1)互斥事件：不能同时发生的事件。A，B互斥事件有一个发生记为A+B，则P(A+B)＝P(A)＋P(B).（2）对立事件：若事件A与事件B互为对立事件，A+B又为必然事件，则称A,B互为对立事件。A的对立事件记为．P(A+)＝1，P()＝1－P(A)(3)相互独立事件：互不影响能同时发生的事件。A,B同时发生记为AB，则P(AB)＝P(A)P(B).【引导清单】考向一：随机事件的关系例1：从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③【解析】③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．考向二：互斥事件、对立事件的概率例2：某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券中奖的概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000)，故1张奖券中奖的概率为eq\f(61,1000).(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A+B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(10,1000)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).【训练清单】【变式训练1】（1）设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()条件。A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要（2）一袋中有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为eq\f(3,10)，则概率为eq\f(7,10)的事件是()A．恰有一个红球B．两个小球都是白球C．至多有一个红球D．至少有一个红球【解析】（1）选A.若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次都出现正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．（2）因为eq\f(7,10)＝1－eq\f(3,10)，所以概率为eq\f(7,10)的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．【变式训练2】经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下．排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．【解】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.【巩固清单】1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件【解析】选C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件【解析】选C.“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误．故选C.3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【解析】选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4，故选B.4．抛掷一枚质地均匀的骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若eq\o(B,\s\up6(－))表示B的对立事件，则一次试验中，事件A+eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)【解析】选C.抛掷一枚骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).因为eq\o(B,\s\up6(－))表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，从而P(A+eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up10(－))，则下列说法正确的是()A．A与eq\o(B,\s\up10(－))互斥B．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up10(－))互斥C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)D．P(eq\o(A,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up10(－)))＝1【解析】选C.根据互斥事件的定义可知，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))都有可能同时发生，所以A与eq\o(B,\s\up6(－))互斥，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误．6．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).7．某城市2019年的空气质量状况如表所示，污染指数T3060100110130140概率peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．【解析】由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为p＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).8．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28.若红球有21个，则黑球有________个．【解析】由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.9．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为_____________________________．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××【解析】设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.10．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解】(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1