《新教材》人教B版数学测评2-2-4均值不等式及其应用

2.2.4均值不等式及其应用课后篇巩固提升合格考达标练1.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13 B.12 C.14答案B解析∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有()A.a+b有最大值22+2B.a+b有最小值22+2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值22+3答案BD解析令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s≥2t,则t-1≥2t,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立;s≥2s+1,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立.故选BD3.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则xA.x>y B.x<y C.x>2y D.y<2x答案B解析x2=a+b+2ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以4.(多选题)下列不等式一定成立的是()A.x2+14>x(x>0) B.x+1x≥2(C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1x2+1>1(x答案BC解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x>0时,不等式x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1x2+15.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f(x)=4x-3+x的最大值是答案-1解析因为x<3,所以f(x)=3-(3-x)+43-x≤3-2(3-x)×43-x=3-4=-1.当且仅当3-x=43-x,即6.已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为,取得最大值时y答案32解析因为x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,所以xy≤3.当且仅当x3=y47.求函数y=(x+4)(x解y=(x+4)(x+9)x=x+36x+13,当x<0时,-x>0,-36x>0,(-x所以y=13-(-x)+-36x≤当且仅当-x=-36x,即x=-6,等号成立所以当x=-6时,ymax=13-12=1.等级考提升练8.(多选题)下列说法正确的是()A.x+1xB.x2+1的最小值为1C.3x(2-x)的最大值为2D.x2+7x2+2的最小值为2答案BD解析当x<0时,x+1x<0,故选项A错误;∵x2≥0恒成立,∴x2+1≥1,故选项B正确;∵3x(2-x)=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时取等号,∴3x(2-x)的最大值为3,故选项C错误;∵x2+7x2+2=(x2+2)+7x2+2-2≥2(x2+2)×7x2+2-2=27-2,当且仅当x9.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=(A.-3 B.2 C.3 D.8答案C解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+110.已知a>b>c,则(a-b)(答案(解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-当且仅当b=a+c11.若正数a,b,c满足1a+4b+9答案13解析由1a+4b+9c≤36a+b+c,得1a+4b+即ba+c又因为ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=ba+4ab+12.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y解∵(x+y)1x+ay=又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2y∴1+a+yx+axy≥1∴要使(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2a∴(a+1)2≥9,即a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.新情境创新练13.若a>0,b>0,且(a+b)ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+1解(1)∵(a+b)ab=1,∴(a+b)=1ab∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,