第02讲等差数列

第02讲等差数列1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.定义表达式：an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．2．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.3．等差中项若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.b叫做a与c的等差中项．4．等差数列的下标和公式若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an.5．等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的常用性质(1)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq\f(1,2)d.8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．一．等差数列基本量的运算例1．（1）设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.（2）已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，则.故选：B.（3）设是等差数列的前项和,若,则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，选A.（4）已知数列是等差数列，是其前n，则的值是_____.【答案】16.【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.【复习指导】：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.（5）(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】3n2－2n【详解】方法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1＋6n－5,2)＝3n2－2n.方法二(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．【复习指导】：等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．二．等差数列的判定与证明例2．（1）已知数列的前n项和公式为，则数列（

）A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列【答案】A【分析】利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项.【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.故选：A（2）数列中，，，则______.【答案】40【分析】证明数列为等差数列，求出其通项公式，代入即可.【详解】，，则数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，则，故答案为：40.（3）等差数列的前项和是，若，则实数__________.【答案】3【分析】由与的关系转化求出，由也符合求得的值.【详解】因为，当时,，因为是等差数列,所以当时，也符合上式,故；故答案为:3（4）已知数列{}满足．(=1\*romani)求证：数列是等差数列；(=2\*romanii)求数列{}的通项公式．【答案】(=1\*romani)证明见解析；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)两边取倒数可得：，即可证明；(=2\*romanii)由(=1\*romani)利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】(=1\*romani)证明：数列{}满足．两边取倒数可得：，即，∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；(=2\*romanii)由(=1\*romani)可得：，解得．（5）设是数列的前项和，且，，数列的通项为．(=1\*romani)求证：是等差数列；(=2\*romanii)设，求前项和．【答案】(=1\*romani)证明见解析；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)利用，消去，即可证明；(=2\*romanii)利用错位相减法求和.【详解】(=1\*romani)设是数列的前项和，且，，整理得，所以（常数），故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.(=2\*romanii)由于数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．设.再设，数列的前项和是，所以①，②，①－②得：，整理得：，所以．【复习指导】：判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．三．等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3．（1）某中学的“帮困助学”爱心募捐小组暑假期间走上街头进行了一次为期天的募捐活动，共收到捐款元，由于采取了积极措施，每天收到的捐款依次构成等差数列，则第天收到的捐款是（

）（单位：元）A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质可求得结果.【详解】.故选：B（2）等差数列中，，则数列的前9项之和为（

）A．24 B．27 C．48 D．54【答案】B【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】解：在等差数列中，，则所以，又，所以，所以.故选：B（3）已知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】A【分析】根据题意得，又即可求解.【详解】因为是关于的方程的两根，所以，故选：A.（4）已知等差数列的前n项和为，若，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质逐个分析即可得到答案.【详解】等差数列的前n项和满足，，则，，所以，，故A，B正确；由，可知，所以，故C正确；因为，所以，故D不正确．故选:D（5）已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，则公差d＝______．【答案】2【分析】由数列的前n项和定义、等差数列的等和性、等差数列的通项公式及等差前n项和公式计算可得.【详解】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，由等差数列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以，解得：n＝10，所以，解得d＝2．故答案为：2.【复习指导】：等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．这个性质常与求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)结合使用．命题点2等差数列和的性质例4．（1）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.（2）在等差数列中，其前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故故选：D（3）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果.【详解】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，，.故选：B.（4）在等差数列中，，其前项和为，若，则S2017的值等于()A．2016B．－2016C．2017D．－2017【答案】C【分析】由等差数列的性质可得成等差数列，再结合已知条件可得是以－2015为首项，以1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得结果【详解】设等差数列前项和为，则，（为常数）所以所以成等差数列．因为＝－2015，所以是以－2015为首项，以1为公差的等差数列．所以＝－2015＋2016×1＝1，所以，故选：C.【复习指导】：等差数列的常用性质(1)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq\f(1,2)d.（5）等差数列，前n项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案.【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则，因为，由等差数列前项和的特点，故可设，其中为非零常数，由，当时，，当时，，当时上式仍旧适合，故，同理可得，当时，，所以.故选：A.（6）已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,3n－1)，则eq\f(S11,T11)等于()A.eq\f(15,17)B.eq\f(25,32)C．1D．2【答案】

A【详解】由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6，同理可得T11＝11b6，因此，eq\f(S11,T11)＝eq\f(11a6,11b6)＝eq\f(a6,b6)＝eq\f(2×6＋3,3×6－1)＝eq\f(15,17).（7）已知数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则________；________．【答案】

【分析】根据等差数列的前n项和，可将配成前n项和形式即可求解.根据等差数列前n项和公式的式子特征，可设，，再根据即可求出.【详解】．∵数列、均为等差数列，其前项和分别为、，∴可设，，则.故答案为：；．命题点3等差数列的最值问题例5．（1）已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】A【解析】根据的函数性质，结合的正负，即可容易判断.【详解】因为数列的前n项和有最大值，故可得；又因为，故可得；且；又，由等差数列的前项和公式可知：.故满足题意的的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，其前项和的函数性质，属综合中档题. 【复习指导】：本题应用公式，等差数列的性质：若，则.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出､的关系式，再求出的临界条件，判断满足的最大自然数的值.（2）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（

）A．4045 B．4044 C．2023 D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得，，进而得出结论．【详解】等差数列的前项和为，且，，，，，，，公差，则当时最小．故选：D（3）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（

）A．4040 B．4041 C．4042 D．4043【答案】A【分析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负．【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，，∴，，∴满足的最大自然数为4040．故选：A．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，掌握等差数列的性质是解题关键．（4）已知数列是等差数列，是其前n项和，若存在最大值，则在，中最大的数是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】根据存在最大值，分析公差为负数，结合数列单调性求解最值.【详解】由题可知数列是等差数列，且前n项和存在最大值，公差，在定义域上是单调递减函数，最大.故选:A.【点睛】此题考查等差数列和前n项和性质，根据最值分析公差正负，根据公差得新数列单调性即可得解.（5）（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则

A． B．，C． D．当时，有最大值【答案】BD【分析】由等差数列前n项和公式即可判断A；由等差数列的单调性可判断B；由可判断C；由等差数列前n项和的性质可判断D.【详解】，，故选项A错误；，，，，故选项B正确；，且，，故选项C错误；由，知，当时，有最大值，故选项D正确；故选：BD．【复习指导】：(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来寻找．②运用二次函数求最值．Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．1．设为等差数列的前n项和．已知，，则（）A．为递减数列 B．C．有最大值 D．【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式求得其首项和公差，再依次判断各选项.【详解】∵数列为等差数列，，，，，∴，对于A，∵，∴数列为递增数列，故A错误；对于B，∵，故B正确；对于C，∵数列为递增数列，∴无最大值，故C错误；对于D，∵，故D错误.故选：B．2．已知A，B，C三人都去同一场所锻炼，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（

）A．3月22日 B．3月23日 C．3月24日 D．3月25日【答案】B【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日.故选：B.3．已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用与的关系，得到，进而利用等差数列的性质进行判断即可【详解】已知，所以，当时，，所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件故选：A4．数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题先通过判断数列是等差数列，再根据项数差值和公差直接求解即可.【详解】∵，∴数列是公差为4的等差数列，∵，∴，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的判断和等差数列的基础运算，是基础题.5．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．6 B．12 C．78 D．156【答案】C【分析】由条件根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.【详解】因为，又，所以，故选：C.6．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（

）A．66 B．72 C．132 D．198【答案】A【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.【详解】因为等差数列的公差,所以，则，所以，由，得，所以

或12时，该数列的前项和取得最大值，最大值为，故选：A7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（

）A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块【答案】B【分析】由等差数列前项和的性质求解．【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，是等差数列，则也成等差数列，所以，所以，，故选：B．8．已知是等差数列的前项和，若，，则（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解.【详解】由等差数列的性质得：，，成等差数列，所以，解得.故选：A9．等差数列的前n项和，若，则（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【分析】由等差数列性质得，成等差数列，设公差为d，则，可求得对应公差，则可求值【详解】由等差数列有成等差数列，设为d，则，故.故选：A10．等差数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】B【分析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.11．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（

）A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列【答案】B【分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.【详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.12．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根据等差数列的性质可知，数列也为等差数列，结合已知条件求出等差数列的首项，即可得到.【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，由得，又得.故选：A．13．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（

）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列的前项和公式，可得为等差数列，由已知求出其公差，进而得到通项公式，即可得出结论.【详解】在等差数列中，，其前n项和为，则是以为首项的等差数列，设其公差为，，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前和基本量的运算，应用等差数列前项和的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.14．设数列的前n项和Sn，且，则数列的前11项为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】数列是首项为，以为公差的等差数列，，数列是以为首项和公差的等差数列，数列前项和为，故选D.15．在等差数列中，，其前项的和为．若，则A． B． C． D．【答案】D【详解】是等差数列的前项和，数列是首项为的等差数列；由条件知该数列公差为1；所以；故选D16．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.【详解】.故选：B17．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．【详解】解：由等差数列的性质可得，．故选：C．18．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列的前项和的特点和条件可设，，然后算出、即可得答案.【详解】因为=，所以可设，，，所以，，所以，故选：A.19．已知等差数列的前项和为，则（

）A．若，，则， B．若，，则，C．若，，则， D．若，，则，【答案】B【分析】根据等差数列前项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】设等差数列的公差为，A选项，若，，，，则，，则，，无法判断符号，A选项错误.B选项，，则，所以，所以.，则，所以，，B选项正确.C选项，若，，，，则，，则，则，，C选项错误.D选项，若，，则，当时，所以，但，所以D选项错误.故选：B20．已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案.【详解】因为，所以所以故，所以满足的正整数的最大值为21．故选：C．21．等差数列的前项和为，若，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．数列是递减数列 D．【答案】D【分析】由，结合可判断选项A;由等差数列的前项和可得，，结合选项A中得出的结论可判断选项B；由，，可得，，从而，可判断选项C；由可判断选项D.【详解】由，则，即，又，故A正确；，，则，故，B正确；由，，即，所以，数列是递减数列，故C正确；，D错误.故选：D22．等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据等差数列下标和性质可知，再分析的关系即可得到结果.【详解】因为为等差数列，所以，所以为定值，又因为，所以，所以为定值，故选：C.【点睛】本题考查等差数列下标和性质的运用，其中涉及到等差数列前的前n项和为，则有.23．已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件得到此数列为递减数列，进而可以推出，，，进而可得出答案.【详解】由，得到；由，得到，∴等差数列为递减数列，且，,,当时，，且最大，最小，所以最大；当时，，此时；当时，，且，，所以，综上所述，，，…，中最大的是.故选：C．【点睛】此题考查了等差数列的前项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解决本题的关键，属于中档题.24．已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【分析】由题，结合等差数列性质和前项和公式得，，进而判断时，；时，成立得答案.【详解】解：因为等差数列的前项和为，，，所以，所以，，所以，，即等差数列的公差，所以，时，；时，，所以，使得前项和取得最大值时的值为.故选：D25．（多选）已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列不是等差数列C．，，成等差数列 D．，，成等差数列【答案】BCD【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，结合等差数列的定义判断选项C，D.【详解】，时，，时，，即，.，因此数列不是单调递增数列，故A错误；又时，不满足，数列不是等差数列，故B正确；，，，因此，，成等差数列，故C正确；，，．成等差数列，故D正确.故选：BCD.26．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（

）A．为等差数列 B．的通项公式为C．为等比数列 D．的前n项和【答案】AB【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】因为，所以，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，，故A正确，C错误；所以，故B正确；因为，所以的前项和，故D错误.故选：AB.27．（多选）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，则（

）A．{an}的公差为-2 B．{an}的通项公式为an=31-3nC．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2575【答案】BC【分析】根据等差中项的性质得到，，然后求公差，即可判断A选项；根据，得到，然后求通项即可判断B选项；利用等差数列求和公式得到即可判断C选项；根据得到当时，，即可得到的前50项和为，然后代入求和即可判断D选项.【详解】设的公差为，前项和为，因为，，所以，，所以，故A错．因为，所以，故B正确，，故C正确，当时，，所以的前50项和为，故D错.故选：BC.28．（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（

）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为【答案】ABC【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；对于B选项，由，可得，故B正确；对于D选项，因为，，所以，满足的的最大值为，故D错误；对于A选项，由上述分析可知，当且时，；当且时，，所以，当且时，，当且时，，当且时，.由题意可知单调递减，所以当且时，，由题意可知单调递减，即有，所以，由不等式的性质可得，从而可得，因此，数列的最小项为第项，故A正确.故选：ABC.29．（多选）已知两个等差数列、的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用等差数列中项以及等差数列求和公式可得出，即可得出正整数的可能取值.【详解】由等差中项以及等差数列求和公式可得，又因为，.故选：ACD.30．（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】对AB，根据通项与的关系可得，即可判断；对CD，根据等差数列前项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．故选：AD31．（多选）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（

）．A．数列是递增数列 B．C． D．，，…，中最大的是【答案】BCD【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式得到关于的不等式组进行求解，即可判定选项A错误、选项C正确；利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到判定选项B正确；利用判定选项D正确.【详解】对于A、C：因为，且，所以，，又因为，所以，解得；所以等差数列是递减数列，即选项A错误，选项C正确；对于B：因为，所以，即选项C正确；对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，则，所以，即选项D正确.故选：BCD.32．（多选）设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．只在处时才取最小值【答案】AB【分析】根据求出，由得到，，判断出AB正确；再根据作差法结合等差数列的性质判断出C选项，由，，，得到取得最小值的不止一个.【详解】，解得：，B正确；因为，所以，故，解得：，A正确；因为，，所以，，故，C错误；因为，，，故当或7处时均取最小值，D错误.故选：AB33．（多选）下列命题正确的是（

）A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列.B．已知等差数列的前项和为，若，则的值为24.C．已知等差数列与的前项和分别为与，若，则.D．已知等差数列的前项和为，，公差，若，则必有是中最大的项.【答案】ABD【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列前项和公式计算出、，即可判断B，根据下标和性质及等差数列求和公式的应用判断C，依题意可得，即可得到、，从而判断D.【详解】解：对于A：因为数列是等差数列，设公差为，则，故数列也是等差数列，故A正确；对于B：设数列的公差为，首项为，因为、，所以，解得，，所以，故B正确；对于C：已知等差数列与的前项和分别为与，若，则，故C错误；对于D：因为，所以，即，又公差，，所以，故、，所以是中最大的项，故D正确；故选：ABD34．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则___________.【答案】12【分析】先由已知数列递推式，结合等差中项公式判断得是等差数列，再利用韦达定理结合条件得到，从而利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列对任意正整数n都有，所以数列是等差数列，因为是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，所以.故答案为：12.35．在等差数列中，，则使成立的最大自然数n为_______【答案】4042【分析】由等差数列的性质可得，的正负，再通过等差数列的求和公式得到答案.【详解】由等差数列的性质可得又，所以异号，又，所以等差数列必为递减数列，，所以，使成立的最大自然数n为4042.故答案为：4042.36．已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则______.【答案】135【分析】根据等差数列的性质：数列成等差数列，且公差为等差数列的公差的9倍，根据等差数列前项和公式与首项和公差的关系，分别求出等差数列的首项和公差，进而求解即可.【详解】设等差数列的公差为，首项为，由题意知：数列成等差数列，且公差，记数列为，其前项和为，则，又因为数列的前项和为，所以，解得：，所以，，解得：，所以.故答案为：.37．等差数列中，，前项和为，若，则______.【答案】【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：38．在等差数列中，，其前项和为，若，则_____.【答案】100【分析】由等差数列性质得数列为等差数列，设其公差为d，进而得，故，进而得，再计算即可.【详解】∵数列为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d，又，解得：，又∵，∴，即∴故答案为：.39．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．【答案】【分析】根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果.【详解】故答案为：40．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为__.【答案】【分析】设等差数列的公差为，由，求出，可得，令，利用导数判断出单调性可得答案.【详解】设等差数列的公差为，∵，，∴，，联立解得：，所以，则，令，，时，，单调递增，时，，单调递减，可得时，函数取得极小值即最小值，∴时，取得最小值，.故答案为：.41．已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.【答案】14【分析】设等差数列的公差为，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得值.【详解】设等差数列的公差为，由已知条件可得，解得，故，故当时，；当时，，所以当时，取最大值.故答案为：14【点睛】本题考查利用基本量的运算求等差数列的通项公式，考查等差数列前项和的应用，考查推理能力，属于基础题.42．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为_________.【答案】5【分析】设偶数项和为，则奇数项和为，由可得的值，根据公差求得结果．【详解】设偶数项和为，则奇数项和为，由可得，故公差，故答案为：5．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到，公差，是解题的关键．43．设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为_____________.【答案】22【解析】由等差数列的前项和的公式求解，解出､的关系式，再求出的临界条件，最后得解.【详解】解：等差数列的前项和为，，所以，，，所以，其中，所以，当时，解得，，，所以的最大自然数的值为22.故答案为：22．【点睛】本题应用公式，等差数列的性质：若，则.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出､的关系式，再求出的临界条件，判断满足的最大自然数的值.44．数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的