成都树德中学(九中)2016年自主招生考试数学试题

成都树德中学(九中)2016年自主招生考试数学试题成都树德中学（成都九中）2016年外地生自主招生考试数学试题考试时间为120分钟，满分为150分。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、已知$a,b$满足$a^2-2a-5=0,b^2-2b-5=0$，且$a\neqb$，则$a+b+3$的值是（）（A）$5$（B）$-5$（C）$5$（D）$-5$2、若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-m<7-2x\\11-2x<b-a\end{cases}$的整数解共有4个，则关于$x$的一元二次方程$x^2-8x+m=$的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根（C）没有实数根（D）有一正一负根3、在边长为2的正方形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$P$是$BD$上一动点，过$P$作$EF\parallelAC$，分别交正方形的两条边于点$E,F$。设$BP=x$，$\triangleBEF$的面积为$y$，则能反映$y$与$x$之间关系的图象为（）A.B.C.D.4、如图，在边长为2的正方形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$P$是$BD$上一动点，过$P$作$EF\parallelAC$，分别交正方形的两条边于点$E,F$。设$BP=x$，$\triangleBEF$的面积为$y$，则能反映$y$与$x$之间关系的图象为（）所示，$O_1$的半径为3，圆$O_2$的半径为1，两圆外切于点$P$，从$O_1$上的点$A$作圆$O_2$的切线$AB$，$B$为切点，连$AP$并延长，与圆$O_2$交于点$C$，则$AC$为（）A.$2$B.$\frac{2}{\sqrt{3}}$C.$\frac{5}{\sqrt{3}}$D.$5$5、如果实数$a,b,c$满足：$a+b-2\sqrt{a-1}-4\sqrt{b-2}=3\sqrt{c-3}-\frac{2c-5}{c-5}$，则$a+b+c$的值是（）A.$2$B.$20$C.$6$D.$2\sqrt{5}$6、如图，一根木棒$AB$长为8，斜靠在与地面$OM$垂直的墙壁$ON$上，与地面的倾斜角$\angleABO=60^\circ$，若木棒沿直线$NO$下滑，且$B$端沿直线$OM$向右滑行，则木棒中点$P$也随之运动，已知$A$端下滑到$A'$时，$AA'=4\sqrt{3}-4\sqrt{2}$，则木棒中点$P$随之运动到$P'$所经过的路线长为（）(A)$\frac{3}{\sqrt{3}}$(B)$7$(C)$\frac{\pi}{16}\sqrt{3}-\frac{24}{13}$(D)$\frac{1}{\sqrt{343}}$7、已知相互垂直的直线$L_1:y=k_1x+2-k_1$与$L_2:y=k_2x+2-3k_2$交于点$P$，$O$为坐标原点，则$OP$的最大值是（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{3}+2$C.$4\sqrt{2}+9$D.$2\sqrt{2}+1$8、若图所示，$O,I$分别表示$\triangleABC$的外心与内心，已知$\angleOIB=30^\circ$，则$\angleBAC=$（图略）答案略。9、删除该段。10、如果实数x、y满足2xy−x−y=2，则x2+y2的最小值为多少？（B）3+√511、已知函数y=cosx，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边，且a2+b2≤c2，则下列不等式一定成立的是（）（A）cos(sinA)≤cos(cosB)（B）cos(sinA)≤cos(sinB)（C）cos(cosA)≤cos(sinB)（D）cos(cosA)≤cos(cosB)12、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG=CH；②GH=3；③直线GH的函数关系式y=−(1/4)x+4；④梯形ABHG的内部有一点P，当圆P与GH、GA、AB都相切时，圆P的半径为√2。其中正确的有（B）2个。13、已知抛物线y=(3/5)x2+(b−2)x+2x+2向右平移2个单位后得到抛物线τ，τ经过点A(4,1/5)。设点C(1,−3)，在抛物线τ的对称轴上确定一点D，使得AD−CD的值最大，则D点的坐标为（2,−13/5）。14、端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。某校数学兴趣小组调查了4位同学，他们的口味各有偏好，其中：小军只爱吃肉馅粽子，小丽只爱吃糖馅粽子，小童只爱吃豆沙馅粽子，小雨只爱吃枣馅粽子。现在桌子上有四只外表和重量完全一样的肉馅、糖馅、豆沙馅、枣馅粽子各一只，让四个同学各选一只，则所有同学拿到的都是自己不喜欢的口味的粽子的概率是（1/3）。15、设函数y1和y2是定义在同一个取值范围a≤x≤b上的两个函数，当函数y1−y2=0在a≤x≤b上有两个不同的解时，则称函数y1和y2是在a≤x≤b上的“关联函数”。若y1=x−mx+4和y2=x2−4x+3，则y1和y2是在（1,5）上的“关联函数”。2、在区间[-2,3]上，函数f(x)=-2x+m是“关联函数”，则m的取值范围是多少？解析：由“关联函数”的定义可得，当函数f(x)在区间[-2,3]上单调递减时，m的取值范围为[5,-8]；当函数f(x)在区间[-2,3]上单调递增时，m的取值范围为[-8,5]。因此，m的取值范围为[-8,5]。16、已知直角三角形ABC，其中AB=4，BC=6，内部一点O到AB和BC的距离均为2，点P在以O为圆心、1为半径的圆上运动，求PA+PB+PC的最小值。解析：根据三角形中位线定理，有PA+PB+PC=3PM，其中M为△ABC的重心。设O为坐标系原点，AB和BC分别平行于x轴和y轴，则A(-2,0)，B(0,4)，C(3,4)，M(1,4/3)，P(x,y)。由于P在以O为圆心、1为半径的圆上，因此有x^2+y^2=1。根据勾股定理可得△OPM为直角三角形，因此PM=sqrt(x^2+y^2-OM^2)=sqrt(1-OM^2)。由于OM=2/3，因此有PM=sqrt(5/9)。因此，PA+PB+PC=3PM=3sqrt(5/9)=sqrt(5)。17、已知锐角α满足sinα-sinαcosα-2cosα=0，求(tanα+2sin(45°-1))-1-tanα-18-82°的值。解析：将sinα-sinαcosα-2cosα=0移项并化简得到sinα(1-cosα)=2cosα，因此有tanα=2/sinα-1。将(45°-1)转化为弧度制得到π/4-π/180，代入式子中得到(tanα+2sin(π/4-π/180))-1-tanα-18-82°=2sin(π/4-π/180)-1-18-82°=2sin(π/4-π/180)-100=2sin(44°π/180)-100。18、已知x+4x+1=2，求t的值。解析：将x+4x+1=2移项并化简得到4x^2+2x-1=0，解得x=(-1±sqrt(5))/4。由于x+4x+1=2，因此有t=4/(x^2+2x)=4/(3-x)。将x=(-1+sqrt(5))/4代入得到t=2-sqrt(5)，将x=(-1-sqrt(5))/4代入得到t=2+sqrt(5)。19、数学史上流传着许多“数学王子”高斯（Gauss）的故事，其中他十岁时快速计算1+2+3+…+99+100最广为人知。他的算法是(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)=101×100/2=5050。20、已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。(1)若△ABC为直角三角形，求x的值。解析：设MA=x1，MB=x-x1，则有x1<1<x-x1。由于M、N两点重合成一点C，因此有MC=NC，即x1^2+1=(x-x1)^2+MB^2。将MB用x1表示并化简得到x^2-2x-3x1+5=0。由于△ABC为直角三角形，因此有x1^2+(x-x1)^2=x^2，解得x1=(x-2)/2。将x1代入x^2-2x-3x1+5=0中，解得x=3或x=5。(2)探究：△ABC的最大面积？解析：由于MB>1，因此BC>1。设BC=y，则有y^2-2y(x-2)+x^2-1=0。由于△ABC的面积S=1/2×AB×BC=1/2×x×y，因此有S=x/2×(y-(x-2)).将y用x表示并化简得到S=-x^2/4+3x/2-1。对S求导并令导数为0，解得x=2/3。此时△ABC的最大面积为S=8/9。C.根据余弦定理，我们可以得到三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，其中c^2=a^2+b^2-2abcosC。特殊情况下，勾股定理成立，即C为直角，则c^2=a^2+b^2。又根据新信息二，若角A和角B互补，则cosA=-cosB，即它们的余弦值互为相反数。根据以上信息，解决以下问题：（1）已知平行四边形ABCD，两对角线长为AC和BD。证明：AC+BD=AB+BC+CD+DA。（2）设三角形ABC的边BC上的中点为M，推导中线AM的长度m的公式，即用a，b，c表示出m。（3）已知三角形ABC的两边b=4，c=3，并且BC边上的中线AM的长度为m=3。求cos∠BAC。21、（本题满分12分）如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA=AB=BC，∠AOC=60∘，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC的中点。(1)连接PA、PE，证明：PA=PE；(2)连接PC，若PC+PE=23，求AB的最大值；(3)在(2)的条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为(0,−1)，点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边的交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围。522、（本