《高等代数》课程教学大纲

高等代数课程教学大纲（HigherAlgebra）学时数：80学时其中：实验学时：0课外学时：0学分数：5适用专业：信息与计算科学课程的性质、目的和任务《高等代数》是信息与计算科学专业一门必修的学科基础课。通过本课程的学习，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。并为后续课程提供代数基础。课程教学的基本要求本课程主要分为两部分：多项式理论和线性代数。多项式理论以数域上的一元多项式因式分解理论为中心；线性代数主要讲授行列式、线性方程组理论、矩阵、线性空间。（一）多项式掌握一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。正确理解多项式的整除概念和性质，理解和掌握带余除法。掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质。理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。理解多项式的导数及重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法。掌握多项式函数及多项式根的概念。掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理。掌握有理系数多项式有理根的求法。（二）行列式1、掌握n级行列式的概念与性质。2、会运用行列式的性质以及降阶和三角化的方法，较熟练地计算行列式。3、掌握Cramer法则。（三）线性方程组理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用矩阵的初等变换解一般线性方程组。理解n维向量空间的概念。正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念和性质。理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地用矩阵的初等变换求矩阵的秩。掌握线性方程组有解的判定定理及其应用。掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件。掌握线性方程组解的结构。了解二元高次方程组的解法。（四）矩阵掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地运用。掌握可逆矩阵的概念及判定。掌握矩阵乘积的行列式及秩的定理。掌握初等矩阵的概念、初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的理论与方法。（五）二次型掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系。掌握矩阵的合同概念及其性质。理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法。理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性。掌握正定二次型的概念和判别法。线性空间掌握线性空间的概念及其基本性质，初步了解公理化的思想方法。正确理解和掌握线性空间向量组的线性相关性的概念和性质。掌握有限维线性空间的基与维数的概念及其求法，理解基在线性空间理论中起到的重要作用。掌握线性空间中向量坐标的概念及其意义课程的教学内容、重点和难点第一章多项式一元多项式定义和运算性质多项式的整除性整除的基本性质，带余除法定理。多项式的最大公因式最大公因式概念、性质，辗转相除法，多项式的互素。多项式的因式分解定理。因式分解及唯一性定理，标准分解式多项式的重因式多项式函数多项式函数的概念，余数定理，多项式根的概念，根与一次因式的关系，多项式根的个数。复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）有理数域上多项式的可约性和有理根本原多项式的定义，Gauss引理，整系数多项式在有理数域上的可约问题，Eisenstein判别法，有理数域上多项式的有理根。重点：整除，最大公因式，互素，标准分解式，代数基本定理。难点：整除，最大公因式，Eisenstein判别法。第二章行列式一、排列的概念，逆序数及排列的奇偶性，对换及其对排列的影响。二、级行列式的定义和性质。三、行列式的计算与矩阵的初等变换。行列式依行依列展开Cramer法则Laplace定理和行列式的乘法法则重点：n级行列式的计算，矩阵的初等变换，Vandermonde行列式。难点：n级行列式的计算，矩阵的初等变换。第三章线性方程组一、线性方程组的消元法二、维向量空间。向量组的线性相关性矩阵的秩线性方程组有解的判别法线性方程组解的结构二元高次方程组重点：线性方程组的初等变换，向量组的线性相关性，极大无关组，向量组的等价，求矩阵的秩，线性方程组解的结构。难点：向量组的线性相关性，线性方程组解的结构。第四章矩阵矩阵的运算逆矩阵矩阵乘积的行列式与秩初等矩阵重点：求逆矩阵，初等矩阵与初等变换的关系。难点：初等矩阵与初等变换的关系。第五章二次型二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是线性代数的研究对象之一。本章介绍化二次型为标准型以及正定二次型的判别。二次型的矩阵表示标准形唯一性正定二次型的定义及充要条件重点：矩阵的合同，求标准形和规范形，正定二次型的判定条件。难点：正定二次型的判定条件。第六章线性空间一、集合与映射。二、线性空间的定义与性质。三、向量组的线性相关性。四、基和维数。基和维数的定义，基的性质。四、坐标。重点：向量组的线性相关性，基和维数的求法。难点：基和维数的求法。四、课程各教学环节的要求本课程以课堂教学为主。每次课都布置一定数量的课后作业，使学生理解和掌握课堂上所讲授的内容。学期中间安排若干次测验形式的大作业。考试采取闭卷的形式，主要考核学生对本课程的知识内容和解决问题技巧的掌握的熟练程度。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一多项式1621822二行列式1021214三线性方程组1221416四矩阵1421619五二次型6288六线性空间1021213合计68128092课程与其它课程的联系《高等代数》是数学专业必修的代数类基础课，是后续的专业课如常微分方程、离散数学等课程的先修课。七、教材与教学参考书（一）教材北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编．高等代数（第三版）．北京：高等教育出版社．2003（二）教学参考书：[1]张禾瑞,郝炳新编.高等代数（第四版）.北京：高等教育出版社.1999[2]北京大学数学系几何与代教研室代数小组.高等代数附册习题答案与提示(第二版).北京：高等教育出版社．1992[3]MichaelStecher